Oficina do Estudante

254. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\lg(1+10x)}{x}\) Resolução: \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\lg(1+10x)}{x}\) \(=\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x}\cdot \lg(1+10x)\right]\) \(=\displaystyle \lim_{x \to 0} \left[\lg(1+10x)^{\frac{1}{x}} \right]\) \(=\lg \left[\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+10x)^{\frac{10}{10x}} \right]\) \(=\lg \left[\displaystyle \lim_{x \to 0} (1+10x)^{\frac{1}{10x}} \right]^{10}\) \(=\lg e^{10}\) \(=10 \cdot \lg e\)

23. A função \( f(x) \), determinada no campo simetrico \(-l \lt x \lt l\), chama-se par, se \(f(-x)=f(x)\), e impar, se \(f(-x)=-f(x)\). Verificar quais das funções dadas são pares e quais são impares: a) \( f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x});\) Resolução: \( f(-x)=\frac{1}{2}[a^{-x}+a^{-(-x)}] =\frac{1}{2}(a^{-x}+a^x) =\frac{1}{2}(a^x+a{-x}). \) Entretanto, \( f(x)=f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é par. b) \( f(x)=\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\) Resolução: \(f(-x)=\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}\) \(= \sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}\) \(=-(-\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2}) \) \(=-(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})=-f(x) \) Entretanto, \( f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é impar. c) \( f(x)=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}\) Resolução: \(f(-x)=\sqrt[3]{(-x+1)^2}+\sqrt[3]{(-x-1)^2} \) \(= \sqrt[3]{[-(x-1)]^2}+\sqrt[3]{[-(x+1)]^2} \) \(=\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2} \) \(=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}=f(x) \) Entretanto, \( f(x)=f(-x) \Longrightarr...

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 22. Seja \( f(x)=2x^4-3x^3-5x^2+6x-10.\) Achar \( \varphi (x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)] \) e \( \psi (x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)] \) Resolução: \begin{align} \varphi (x) &{=\frac{1}{2}[2x^4-3x^3-5x^2+6x-10+2(-x)^4-3(-x)^3-5(-x)^2+6(-x)-10]}\\ &{=\frac{1}{2}(2x^4-3x^3-5x^2+6x-10+2x^4+3x^3-5x^2-6x-10)}\\ &{=\frac{1}{2}(2x^4-5x^2-10+2x^4-5x^2-10)}\\ &{=\frac{1}{2}(4x^4-10x^2-20)}\\ &{=2x^4-5x^2-10}\\ \end{align} \begin{align} \psi (x) &{=\frac{1}{2} \left\{ 2x^4-3x^3-5x^2+6x-10-[2(-x)^4-3(-x)^3-5(-x)^2+6(-x)-10] \right\} }\\ &{=\frac{1}{2}[2x^4-3x^3-5x^2+6x-10-(2x^4+3x^3-5x^2-6x-10)]}\\ &{=\frac{1}{2}(2x^4-3x^3-5x^2+6x-10-2x^4-3x^3+5x^2+6x+10)}\\ &{=\frac{1}{2}(-6x^3+12x)}\\ &{=-3x^3+6x}\\ \end{align}

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 21. \( y=\sqrt{sen 2x};\) Resolução: A função é IRRACIONAL INTEIRA e o radicando é TRANSCEDENTE TRIGONOMETRICA. Assim, \( sen 2x \ge 0 \) \(\Longrightarrow\) \( 2k \pi \le 2x \le \pi+2k \pi, \) \(k \in \mathbb{Z} \) \(\Longrightarrow\) \( k \pi \le x \le \frac{\pi}{2}+k \pi, \) \(k \in \mathbb{Z} \) Entretanto, \( D_y=x:x\in [k \pi ; \frac{\pi}{2}+k \pi], \) \(k \in \mathbb{Z} \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 20. \( y=arcsen \left( lg\frac{x}{10} \right);\) Resolução: \( |lg\frac{x}{10}| \le 1\) \(\Longrightarrow\) \(\left\{ \begin{array}{rll} lg\frac{x}{10} \le 1, & \hbox{se} & lg\frac{x}{10} \ge 0, x \gt 0 \\ -lg\frac{x}{10} \le 1, & \hbox{se} & lg\frac{x}{10} \lt 0, x \gt 0 \end{array}\right.\) \(\Longrightarrow\) \(\left\{ \begin{array}{rll} \frac{x}{10} \le 10, & \hbox{se} & \frac{x}{10} \ge 1, x \gt 0 \\ \frac{x}{10} \ge 10^{-1}, & \hbox{se} & \frac{x}{10} \lt 1, x \gt 0 \end{array}\right.\) \(\Longrightarrow\) \( \left\{ \begin{array}{rll} x \le 100, & \hbox{se} & x \ge 10, x \gt 0 \\ x \ge 1, & \hbox{se} & x \lt 10, x \gt 0 \end{array}\right.\) Entretanto, \( D_y=x:x\in [1 ; 100] \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 19. \( y=arccos\frac{2x}{1+x};\) Resolução: \( |\frac{2x}{1+x}| \le 1\) \(\Longrightarrow\) \(\left\{ \begin{array}{rll} \frac{2x}{1+x} \le 1, & \hbox{se} & \frac{2x}{1+x} \ge 0, x \ne -1 \\ -\frac{2x}{1+x} \le 1, & \hbox{se} & \frac{2x}{1+x} \lt 0, x \ne -1 \end{array}\right.\) \(\Longrightarrow\) \(\left\{ \begin{array}{rll} 2x \le 1+x, & \hbox{se} & x \lt -1, x \ge 0 \\ -2x \le 1+x, & \hbox{se} & -1 \lt x \lt 0 \end{array}\right.\) \(\Longrightarrow\) \( \left\{ \begin{array}{rll} x \le 1, & \hbox{se} & x \lt -1, x \ge 0 \\ x \ge -\frac{1}{3}, & \hbox{se} & -1 \lt x \lt 0 \end{array}\right.\) Entretanto, \( D_y=x:x\in [-\frac{1}{3} ; 1] \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 18. \(y=lg \frac{x^3-3x+2}{x+1};\) Resolução: Como a função é TRANSCEDENTE LOGARITMICA, o logaritmando deve ser maior que zero. Assim, \( \frac{x^2-3x+2}{x+1} \gt 0, \) com \( x+1 \ne 0\) \(\Longrightarrow\) \( \frac{(x-1)(x-2)}{x+1} \gt 0, \). Agora atraves da tabela de variação de sinais temos: Entretanto, \( D_y=x:x\in ]-1 ; 1[ \cup ]2;+\infty[ \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 17. \(y=lg \frac{2+x}{2-x};\) Resolução: Como a função é TRANSCEDENTE LOGARITMICA, o logaritmando deve ser maior que zero. Assim, \( \frac{2+x}{2-x} \gt 0, \) com \( 2-x \ne 0\). Agora atraves da tabela de variação de sinais temos: Entretanto, \( D_y=x:x\in ]-2 ; 2[ \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 16. \(y=\sqrt{x-x^3};\) Resolução: \(y=\sqrt{x-x^3}\) é IRRACIONAL INTEIRA, dai que o radicando deve ser maior ou igual a zero e, Assim, \( x-x^3 \ge 0 \) \(\Longrightarrow\) \( x(1-x)(1+x) \ge 0 \) Agora atraves da tabela de variação de sinais temos: Entretanto, \( D_y=x:x\in ]-\infty ; -1] \cup [0;1] \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 15. \(y=\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{2+x}};\) Resolução: \( \sqrt{-x} \) é IRRACIONAL INTEIRA, dai que o radicando deve ser maior ou igual a zero e,   \( \frac{1}{\sqrt{2+x}} \) é IRRACIONAL FRACCIONARIA, dai que o radicando deve ser maior. Assim, \( -x \ge 0 \) \( \wedge \) \(2+x \gt 0 \) \(\Longrightarrow\) \( x \le 0 \) \( \wedge \) \(x \gt -2 \) Entretanto, \( D_y=x:x\in ]-2 ; 0] \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 14**. \(y=x\sqrt{2+x-x^2};\) Resolução:   Deve ser \(2+x-x^2 \ge 0,\) ou \(x^2-x-2 \le 0,\) isto é, \(x+1)(x-2) \le 0.\) Donde, ou \( x+1 \ge 0, x-2 \le 0,\)  isto é \(-1 \le x \le 2;\) ou \(x+1 \le 0, x-2 \ge 0,\) isto é, \(x \le -1, x \ge 2,\) o que não é possivel. Assim, \(-1 \le x \le 2. \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 13.   a) \(y=\sqrt{x^2-2};\) Resolução:   Como a função é IRRACIONAL INTEIRA, o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é: \(x^2-2 \ge 0\) \(\Longrightarrow\) \( x^2 \ge 2 \) \(\Longrightarrow\) \( x \ge \pm \sqrt{2} \) Entretanto, \(D_y=x:x\in ]-\infty ; -\sqrt{2}[ \cup [\sqrt{2} ; +\infty [\) b) \(y=x\sqrt{x^2-2};\) Resolução:   Primeiro vamos introduzir o \( x \) na raiz quadrada: Assim, \(x\sqrt{x^2-2}=\sqrt{x^4-2x^2} \) Como a função é IRACIONAL INTEIRA, o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é: \(x^4-2x^2 \ge 0\) \(\Longrightarrow\) \( x^2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \ge 0\). Entretanto, \(D_y=x:x\in ]-\infty ; -\sqrt{2}[ \cup [\sqrt{2} ; +\infty [ \cup \{ 0 \}\)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 12. \(y=\frac{1}{4-x^2};\) Resolução: Como a função é RACIONAL FRACCIONARIA, o denominador deve ser diferente de zero: \(4-x^2 \ne 0\) \(\Longrightarrow\) \( 4 \ne x^2 \) \(\Longrightarrow\) \( x \ne \pm 2 \) Entretanto, \( D_y=x:x \in IR \backslash \{ \pm 2 \} \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 11. Determinar o campo de existencia das funções: a) \(y=\sqrt{x+1};\) Resolução: Como a função é IRRACIONAL INTEIRA, basta resolver a seguinte inequação: \(x+1 \ge 0\) \(\Longrightarrow\) \( x \ge -1\) Entretanto, \(D_y=x:x\in [-1;+\infty [ \). b) \(y=\sqrt[3]{x+1};\) Resolução: Como a função tem sentido para \( \forall x\in IR,\) então \(D_y=x:x\in IR \)

Registra-se no blog e continue a receber livros de qualidade 1.** Demonstrar que se \(a\) e \(b\) são números reais, então \[ || a | - |b|| \le | a - b | \le | a |+| b |. \] Resolução: Como \(a=(a-b)+b\), então \(|a|\le|a-b|+|b|.\) Donde \(|a-b|\ge|a|-|b|\) e \(|a-b|=|b-a| \ge |b|-|a|. \) Portanto, \(|a-b| \ge |a|-|b|.\) Além disso, \(|a-b|=|a+(-b)| \le |a|+|-b| = |a|+|b|.\) 2. Demonstrar as seguintes igualdades: a) \(|ab| = |a|\cdot|b|;\) Resolução: Para começar vamos analisar o primeiro membro, \( |ab|= \left\{ \begin{array}{rll} a\cdot b, & \hbox{se} & a \ge 0,b \ge 0 \\ -a\cdot b, & \hbox{se} & a \lt 0,b \ge 0 \\ a\cdot (-b), & \hbox{se} & a \ge 0,b \lt 0 \\ -a\cdot (-b), & \hbox{se} & a \lt 0,b \lt 0 \end{array}\right.\) \(=\left\{ \begin{array}{rll} ab, & \hbox{se} & a \ge 0,b \ge 0 \\ -ab, & \hbox{se} & a \lt 0,b \ge 0 \\ -ab, & \hbox{se} & a \ge 0,b \lt 0 \\ ab, & \hbox{se} & a \lt 0,b \l...