EXAME RESOLVIDO UEM - 2011 - 1 a 10

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1. O número 0,4 pode ser escrito na seguinte forma:

Solução:
Para facilitar os calculos primeiro vamos transformar o número \(0,4\) em uma fracção.
Em seguida simplificamos a fracção e invertemos a base da potência de modo a tornar o expoente positivo.
Por fim determinamos as potências do numerador e denominador.
\(0,4^{-3}=(\frac{4}{10})^{-3}\) \(=(\frac{2}{5})^{-3}\) \(=(\frac{5}{2})^3\) \(=\frac{5^3}{2^3}\) \(=\frac{125}{8}\).

2. O valor \(\sqrt{2^3}+\sqrt{32}\) é igual:

Solução:
Primeiro vamos transformar o número \(32\) numa potência de base \(2\).
\(\sqrt{2^3} + \sqrt{32} = \sqrt{2^3}+\sqrt{2^5} \)
Como o indice dos radicais é \(2\), então vamos achar os maiores multipos de 2 que não são maiores que 3 e 5 e os seus respectivos restos, isto é, 2 resta 1 e 4 resta 1 respectivamente.
Assim teremos, \(\sqrt{2^2 \cdot 2^1} +\sqrt{2^4 \cdot 2^1} \).
Depois vamos tirar da raíz os factores cujo expoêntes são os múltipos de 2 que é o indice do radical.
Daí que, \(2^1\sqrt{2} +2^2\sqrt{2} \) \(=2\sqrt{2} +4\sqrt{2} \) \(=6\sqrt{2} \).

3. A quinta parte de \(\dfrac{3}{7}\) é:

Solução:
Dizer a quinta parte de um certo valor é o mesmo que dizer \(\dfrac{1}{5}\) de esse mesmo valor, isto é, \(\frac{1}{5} \) vezes esse valor.
Entretanto, a quinta parte de \(\frac{3}{7}\) é \(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7} =\frac{3}{35}\).

4. \(A\) e \(B\) estão de folga no trabalho. Sabendo-se que \(A\) tem folga de \(6\) em \(6\) dias e \(B\), de \(4\) em \(4\) dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada \(x\) dias, pode-se concluir que o valor de \(x\) é:

Solução:
Pela interpretação do enunciado desta questão podemos concluir que o valor de \(x\) é igual a \(mmc(6;4)=12\).

5. Os números \(x\) e \(y\) são tais que \( 5\le x \le 10 \) e \( 20 \le y \le 30 \). O maior valor possível de \(\frac{x}{y}\) é:

Solução:
O maior valor possível de \(\frac{x}{y}\) é a razão entre o maior valor possível de \(x\) e o menor valor possível de \( y\).
Entretanto, o maior valor possível será igual a \(\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\).

6. A expressão \( \sqrt{(-4)^2} \) é equivalente a:

Solução:
\(\sqrt{(-4)^2}=|-4|\), porque \(\sqrt{a^2}=|a|\), para \( \forall a\in I\!\!R\).
Nota: \(\sqrt{a^2}\ne (\sqrt{a})^2 \).

7. O valor \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) é igual a:

Solução:
Como \(\sqrt{2}\) e \(\sqrt{3}\) são dois números irracionais diferentes então não é possível aplicar qualquer regra matemática e obter um valor exacto de \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\).
Entretanto a resposta correcta é a da alternativa \(E\). Nenhum dos valores anteriores.

8. A expressão simplificada de \( (2+\sqrt{5}) \cdot (9-4\sqrt{5})\)

Solução:
Depois de uma breve analise a expressão desta questão, podemos concluir que o melhor procedimento é introduzir o factor \(2+\sqrt{5}\) dentro da raíz quadrada.
Assim temos, \(\sqrt{(2+\sqrt{5})^2 \cdot (9-4\sqrt{5})}\) \(=\sqrt{(4+2\cdot 2\cdot \sqrt{5} +(\sqrt{5})^2) \cdot (9-4\sqrt{5})}\) \(=\sqrt{(4+4\sqrt{5}+5) \cdot (9-4\sqrt{5})}\) \(=\sqrt{(9+4\sqrt{5}) \cdot (9-4\sqrt{5})}\) \(=\sqrt{9^2-(4\sqrt{5})^2}\) \(=\sqrt{81-4^2\cdot 5}\) \(=\sqrt{81-80}\) \(=\sqrt{1}\) \(=1\).

9. O valor de \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-10} \cdot 27^{-3}+(0,2)^{-4}\cdot 25^{-2}+\left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3} \) é:

Solução:
\( \left(\frac{1}{3}\right)^{-10} \cdot 27^{-3}+(0,2)^{-4}\cdot 25^{-2}+\left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3} \) \( =3^10 \cdot \left(3^3\right)^{-3}+(\frac{2}{10})^{-4}\cdot \left(5^2\right)^{-2}+\left(2^6\right)^{-\frac{1}{9}\cdot(-3)} \) \( =3^10 \cdot 3^{-9}+(\frac{1}{5})^{-4}\cdot 5^{-4}+2^{6 \cdot \frac{3}{9}} \) \( =3^{10-9}+(\frac{1}{5} \cdot 5)^{-4}+2^2 \) \( =3^{1}+1^{-4}+4 \) \( =3+1+4 \) \(=8\).

10. O valor da fracção \( \frac{18^2-19^2}{56^2-19^2} \) é igual a:

Solução:
\( \frac{18^2-19^2}{56^2-19^2} \) \( =\frac{(18-19)(18+19)}{(56-19)(56+19)} \) \( =\frac{-1 \cdot 37}{37 \cdot 75} \) \( =\frac{-1 \cdot \cancel{37}}{\cancel{37} \cdot 75} \) \( =-\frac{1}{75} \).

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