EXAME RESOLVIDO UEM - 2011 - 1 a 10

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1. O número 0,4 pode ser escrito na seguinte forma:

Solução:
Para facilitar os calculos primeiro vamos transformar o número $0,4$ em uma fracção.
Em seguida simplificamos a fracção e invertemos a base da potência de modo a tornar o expoente positivo.
Por fim determinamos as potências do numerador e denominador.
$0,4^{-3}=(\frac{4}{10})^{-3}$ $=(\frac{2}{5})^{-3}$ $=(\frac{5}{2})^3$ $=\frac{5^3}{2^3}$ $=\frac{125}{8}$.

2. O valor $\sqrt{2^3}+\sqrt{32}$ é igual:

Solução:
Primeiro vamos transformar o número $32$ numa potência de base $2$.
$\sqrt{2^3} + \sqrt{32} = \sqrt{2^3}+\sqrt{2^5}$
Como o indice dos radicais é $2$, então vamos achar os maiores multipos de 2 que não são maiores que 3 e 5 e os seus respectivos restos, isto é, 2 resta 1 e 4 resta 1 respectivamente.
Assim teremos, $\sqrt{2^2 \cdot 2^1} +\sqrt{2^4 \cdot 2^1}$.
Depois vamos tirar da raíz os factores cujo expoêntes são os múltipos de 2 que é o indice do radical.
Daí que, $2^1\sqrt{2} +2^2\sqrt{2}$ $=2\sqrt{2} +4\sqrt{2}$ $=6\sqrt{2}$.

3. A quinta parte de $\dfrac{3}{7}$ é:

Solução:
Dizer a quinta parte de um certo valor é o mesmo que dizer $\dfrac{1}{5}$ de esse mesmo valor, isto é, $\frac{1}{5}$ vezes esse valor.
Entretanto, a quinta parte de $\frac{3}{7}$ é $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7} =\frac{3}{35}$.

4. $A$ e $B$ estão de folga no trabalho. Sabendo-se que $A$ tem folga de $6$ em $6$ dias e $B$, de $4$ em $4$ dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada $x$ dias, pode-se concluir que o valor de $x$ é:

Solução:
Pela interpretação do enunciado desta questão podemos concluir que o valor de $x$ é igual a $mmc(6;4)=12$.

5. Os números $x$ e $y$ são tais que $5\le x \le 10$ e $20 \le y \le 30$. O maior valor possível de $\frac{x}{y}$ é:

Solução:
O maior valor possível de $\frac{x}{y}$ é a razão entre o maior valor possível de $x$ e o menor valor possível de $y$.
Entretanto, o maior valor possível será igual a $\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$.

6. A expressão $\sqrt{(-4)^2}$ é equivalente a:

Solução:
$\sqrt{(-4)^2}=|-4|$, porque $\sqrt{a^2}=|a|$, para $\forall a\in I\!\!R$.
Nota: $\sqrt{a^2}\ne (\sqrt{a})^2$.

7. O valor $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ é igual a:

Solução:
Como $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ são dois números irracionais diferentes então não é possível aplicar qualquer regra matemática e obter um valor exacto de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.
Entretanto a resposta correcta é a da alternativa $E$. Nenhum dos valores anteriores.

8. A expressão simplificada de $(2+\sqrt{5}) \cdot (9-4\sqrt{5})$

Solução:
Depois de uma breve analise a expressão desta questão, podemos concluir que o melhor procedimento é introduzir o factor $2+\sqrt{5}$ dentro da raíz quadrada.
Assim temos, $\sqrt{(2+\sqrt{5})^2 \cdot (9-4\sqrt{5})}$ $=\sqrt{(4+2\cdot 2\cdot \sqrt{5} +(\sqrt{5})^2) \cdot (9-4\sqrt{5})}$ $=\sqrt{(4+4\sqrt{5}+5) \cdot (9-4\sqrt{5})}$ $=\sqrt{(9+4\sqrt{5}) \cdot (9-4\sqrt{5})}$ $=\sqrt{9^2-(4\sqrt{5})^2}$ $=\sqrt{81-4^2\cdot 5}$ $=\sqrt{81-80}$ $=\sqrt{1}$ $=1$.

9. O valor de $\left(\frac{1}{3}\right)^{-10} \cdot 27^{-3}+(0,2)^{-4}\cdot 25^{-2}+\left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3}$ é:

Solução:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-10} \cdot 27^{-3}+(0,2)^{-4}\cdot 25^{-2}+\left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3}$ $=3^10 \cdot \left(3^3\right)^{-3}+(\frac{2}{10})^{-4}\cdot \left(5^2\right)^{-2}+\left(2^6\right)^{-\frac{1}{9}\cdot(-3)}$ $=3^10 \cdot 3^{-9}+(\frac{1}{5})^{-4}\cdot 5^{-4}+2^{6 \cdot \frac{3}{9}}$ $=3^{10-9}+(\frac{1}{5} \cdot 5)^{-4}+2^2$ $=3^{1}+1^{-4}+4$ $=3+1+4$ $=8$.

10. O valor da fracção $\frac{18^2-19^2}{56^2-19^2}$ é igual a:

Solução:
$\frac{18^2-19^2}{56^2-19^2}$ $=\frac{(18-19)(18+19)}{(56-19)(56+19)}$ $=\frac{-1 \cdot 37}{37 \cdot 75}$ $=\frac{-1 \cdot \cancel{37}}{\cancel{37} \cdot 75}$ $=-\frac{1}{75}$.

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