Resolução 1-10 Exame UEM-2013

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1. A interseção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de $10$ com o conjunto de todos os números naturais múltiplos de $15$ é o conjunto de todos os números naturais múltiplos de:

Resolução:

Seja $A="$o conjunto de todos os números naturais múltiplos de $10"$.
Seja $B=$"o conjunto de todos os números naturais múltiplos de $15"$.

Assim, $A=\{10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;...\}$
$B=\{15;30;45;60;75;90;105;120;...\}$

Definição De Interseção De Conjuntos
Intersecção de Conjuntos é definida como um conjunto composto pelos elementos comuns de dois ou mais conjuntos.
Logo pela definição acima podemos concluir que: $A\cap B = \{30; 60; 90; 120;...\}$.

Entretanto, a interseção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os números naturais múltiplos de $30$.

2. Escolhe um número racional que não é inteiro:

Resolução:

Definição de número racional:
É um número que pode ser escrito dividindo dois números inteiros. (Nota: os números inteiros não têm frações.)
A palavra racional vem da palavra "razão".

Entretanto, $3,277$ é um número racional porque pode ser escrito na forma de fracção.

3. O preço de um artigo, primeiro, aumenta $30\%$, e depois, diminui $30\%$. Em que percentagem se altera o preço inicial do artigo pelo resultado das duas operações?

Resolução:

Seja $x$ o valor do preço de um artigo.
Primeira operação: aumenta $30\%$.
Então, $x+30\% x$ $=x + \frac{30}{100}x$ $=\frac{100x+30x}{100}$ $=\frac{130x}{100}$.

Segunda operação: diminui $30\%$.
Então, $\frac{130x}{100}-30\% \cdot \frac{130x}{100}$ $=\frac{130x}{100}-\frac{30}{100} \cdot \frac{130x}{100}$ $=\frac{130x}{100}-\frac{39x}{100}$ $=\frac{130x-39x}{100}$ $=\frac{91x}{100}$ $=91\%x$.

Entretanto, $100\% - 91\% = 9\%$.

4. Sejam $m$ e $n$ o número de elementos de $M=\{-3;-2;4;6\}$ e $N=\{2;3\}, respectivamente. Considere a relação dada pela lei \(m\gt n$. Os pares ordenados $(m;n$ que constituem a relação são:

Resolução:

Na realidade o que nos é pedido neste exercício é um conjunto de pares ordenados em que o primeiro elemento do par pertença a $M$ e que seja maior que o segundo, sendo que este pertença a $N$.
Assim, os pares ordenados serão: $\{(4;2),(4;3),(6;2),(6;3)\}$.

5. Simplificando a expressão $(a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) : \left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}\right)$ obtém-se:

Resolução:

Primeiro vamos escrever a dada expressão da seguinte forma:
$$\frac{(a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}$$
Em seguida vamos calcular o mmc.
$$=\frac{(a+b)\left(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}\right)}{\frac{a^2}{a^2b^2}-\frac{b^2}{a^2b^2}}$$
Agora para as fracções com denominador comum podemos transformar numa fracção unica.
$$=\frac{(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}}{\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}}$$
Como $a^2-b^2$ é uma diferença de quadrados podemos escrever da seguinte maneira $(a-b)(a+b)$.
$$=\frac{\frac{(a+b)(b-a)}{ab}}{\frac{(a+b)(a-b)}{a^2b^2}}$$
Depois vamos transformar a fracção principal em produto.
$$=\frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)(a-b)}$$
Agora podemos simplificar os factores comum.
$$=\frac{(b-a)ab}{a-b}$$
Como $b-a=-(a-b)$ então teremos,
$$=\frac{-(a-b)ab}{a-b}=-ab$$

6. A expressão $\frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt[4]{a}}$ é equivalente a:

Resolução:

Para resolver este exercício vamos usar a regra matemática que diz $\sqrt[c]{a^b}=a^{\frac{b}{c}}$.
Aplicando a regra acima podemos achar, $\sqrt{a^3}=a^{\frac{3}{2}}$, $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$ e $\sqrt[4]{a}=a^{\frac{1}{4}}$.
Assim, $\frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt[4]{a}}$ $=\frac{\sqrt{a\cdot a^{\frac{3}{2}}}}{a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{4}}}$
Em seguida vamos aplicar a regra matemática que diz: $a^x \cdot a^y=a^{x+y}$.
$=\frac{\sqrt{a^{1+\frac{3}{2}}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}$ $=\frac{\sqrt{a^{\frac{5}{2}}}}{a^{\frac{11}{12}}}$ $=\frac{a^{\frac{\frac{5}{2}}{2}}}{a^{\frac{11}{12}}}$ $=\frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{11}{12}}}$
Depois vamos aplicar a regra que diz: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

$=a^{\frac{5}{4}-\frac{11}{12}}$ $=a^{\frac{1}{3}}$

7. A expressão $(\sqrt{5}-3)^2 (14+6\sqrt{5})$ é igual a:

Resolução:

Primeiro vamos desenvolver o seguinte caso notável $(\sqrt{5}-3)^2$ $=(\sqrt{5})^2-2\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} +3^2$ $=5-6\sqrt{5}+9$ $=14-6\sqrt{5}$.

Ao substituirmos o resultado na expressão dada temos $(14-6\sqrt{5})(14+6\sqrt{5})$ que é um caso notável do tipo $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, assim $(14-6\sqrt{5})(14+6\sqrt{5})$ $=(14^2-(6\sqrt{5})^2$ $=196-36\cdot 5$ $=16$.

8. O número $\left[ (7\sqrt{7})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{1}{10}})^{-5} \right] \cdot (\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$ é igual a:

Resolução:

$\left[(7\sqrt{7})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{1}{10}})^{-5}\right]\cdot (\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$ $=\left[(\sqrt{7^2\cdot 7})^{-\frac{1}{3}}+3^{\frac{1}{10}\cdot (-5)}\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}})$ $=\left[(\sqrt{7^3})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{-1}{2}})\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}})$
$=\left[(\sqrt{7^3})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{-1}{2}})\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}})$ $=(7^{-\frac{1}{2}}+3^{\frac{-1}{2}}) \cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}})$ $=(\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}})$ $=(\sqrt{\frac{1}{7}})^2-(\sqrt{\frac{1}{3}})^2$ $=\frac{1}{7}-\frac{1}{3}$ $=\frac{3-7}{3\cdot 7}$ $=-\frac{4}{21}$.

9. Sabe-se que a área de um quadrado e o seu perimetro são expressos pelo mesmo número. Então, a medida do lado deste quadrado é igual a:

Resolução:

Seja $A_{\square} =x$ e $P_{\square} = x$, assim, sabendo que a área do quadrado é dada por $A_{\square} =l^2$ e o perimetro é dado por $P_{\square} =4l$, então $l^2=4l$ $\Rightarrow l^2-4l=0$ $\Rightarrow l(l-4)=0$ $\Rightarrow l=0 \vee l-4=0$ $l=0 \vee l=4$.
Entretanto, o lado deste quadrado é igual a $4$.
Nota: O $0$ não pode ser solução do problema porque não existe um quadrado de lado igual a $0$.

10. O volume do polígono desenhado na figura é:

Resolução:

Primeiro vamos dividir o polígono em duas partes para facilitar os nosso calculos.

Como volume é igual a área da base vezes a altera. Então,
$V_A=(2\cdot 3)\cdot 5=30$
$V_B=(4\cdot 3)\cdot 2=24$

Entretanto, $V_A+V_B=30+24=54$.


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