Resolução 1-10 Exame UEM-2013
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1. A interseção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(10\) com o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(15\) é o conjunto de todos os números naturais múltiplos de:
Seja \(B=\)"o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(15"\).
Assim, \(A=\{10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;...\}\)
\(B=\{15;30;45;60;75;90;105;120;...\}\)
Definição De Interseção De Conjuntos
Intersecção de Conjuntos é definida como um conjunto composto pelos elementos comuns de dois ou mais conjuntos.
Logo pela definição acima podemos concluir que: \(A\cap B = \{30; 60; 90; 120;...\}\).
Entretanto, a interseção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(30\).
2. Escolhe um número racional que não é inteiro:
É um número que pode ser escrito dividindo dois números inteiros. (Nota: os números inteiros não têm frações.)
A palavra racional vem da palavra "razão".
Entretanto, \(3,277\) é um número racional porque pode ser escrito na forma de fracção.
3. O preço de um artigo, primeiro, aumenta \(30\%\), e depois, diminui \(30\%\). Em que percentagem se altera o preço inicial do artigo pelo resultado das duas operações?
Primeira operação: aumenta \( 30\%\).
Então, \(x+30\% x\) \(=x + \frac{30}{100}x\) \(=\frac{100x+30x}{100}\) \(=\frac{130x}{100}\).
Segunda operação: diminui \(30\%\).
Então, \( \frac{130x}{100}-30\% \cdot \frac{130x}{100}\) \(=\frac{130x}{100}-\frac{30}{100} \cdot \frac{130x}{100}\) \(=\frac{130x}{100}-\frac{39x}{100}\) \(=\frac{130x-39x}{100}\) \(=\frac{91x}{100}\) \(=91\%x\).
Entretanto, \(100\% - 91\% = 9\% \).
4. Sejam \(m\) e \(n\) o número de elementos de \(M=\{-3;-2;4;6\}\) e \(N=\{2;3\}, respectivamente. Considere a relação dada pela lei \(m\gt n\). Os pares ordenados \((m;n\) que constituem a relação são:
Assim, os pares ordenados serão: \(\{(4;2),(4;3),(6;2),(6;3)\}\).
\[\frac{(a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\]
Em seguida vamos calcular o mmc.
\[=\frac{(a+b)\left(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}\right)}{\frac{a^2}{a^2b^2}-\frac{b^2}{a^2b^2}}\]
Agora para as fracções com denominador comum podemos transformar numa fracção unica.
\[=\frac{(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}}{\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}}\]
Como \(a^2-b^2\) é uma diferença de quadrados podemos escrever da seguinte maneira \((a-b)(a+b)\).
\[=\frac{\frac{(a+b)(b-a)}{ab}}{\frac{(a+b)(a-b)}{a^2b^2}}\]
Depois vamos transformar a fracção principal em produto.
\[=\frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)(a-b)}\]
Agora podemos simplificar os factores comum.
\[=\frac{(b-a)ab}{a-b} \]
Como \(b-a=-(a-b)\) então teremos,
\[=\frac{-(a-b)ab}{a-b}=-ab\]
6. A expressão \( \frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt[4]{a}} \) é equivalente a:
Aplicando a regra acima podemos achar, \(\sqrt{a^3}=a^{\frac{3}{2}}\), \(\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}\) e \(\sqrt[4]{a}=a^{\frac{1}{4}}\).
Assim, \(\frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt[4]{a}} \) \(=\frac{\sqrt{a\cdot a^{\frac{3}{2}}}}{a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{4}}} \)
Em seguida vamos aplicar a regra matemática que diz: \(a^x \cdot a^y=a^{x+y}\).
\(=\frac{\sqrt{a^{1+\frac{3}{2}}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}} \) \(=\frac{\sqrt{a^{\frac{5}{2}}}}{a^{\frac{11}{12}}} \) \(=\frac{a^{\frac{\frac{5}{2}}{2}}}{a^{\frac{11}{12}}} \) \(=\frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{11}{12}}} \)
Depois vamos aplicar a regra que diz: \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\)
\(=a^{\frac{5}{4}-\frac{11}{12}}\) \(=a^{\frac{1}{3}}\)
7. A expressão \((\sqrt{5}-3)^2 (14+6\sqrt{5})\) é igual a:
Ao substituirmos o resultado na expressão dada temos \((14-6\sqrt{5})(14+6\sqrt{5}) \) que é um caso notável do tipo \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), assim \((14-6\sqrt{5})(14+6\sqrt{5}) \) \(=(14^2-(6\sqrt{5})^2\) \(=196-36\cdot 5 \) \(=16\).
8. O número \( \left[ (7\sqrt{7})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{1}{10}})^{-5} \right] \cdot (\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{1}{3}}) \) é igual a:
\(=\left[(\sqrt{7^3})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{-1}{2}})\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=(7^{-\frac{1}{2}}+3^{\frac{-1}{2}}) \cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=(\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=(\sqrt{\frac{1}{7}})^2-(\sqrt{\frac{1}{3}})^2\) \(=\frac{1}{7}-\frac{1}{3}\) \(=\frac{3-7}{3\cdot 7}\) \(=-\frac{4}{21}\).
9. Sabe-se que a área de um quadrado e o seu perimetro são expressos pelo mesmo número. Então, a medida do lado deste quadrado é igual a:
Entretanto, o lado deste quadrado é igual a \(4\).
Nota: O \(0\) não pode ser solução do problema porque não existe um quadrado de lado igual a \(0\).
10. O volume do polígono desenhado na figura é:
Como volume é igual a área da base vezes a altera. Então,
\(V_A=(2\cdot 3)\cdot 5=30\)
\(V_B=(4\cdot 3)\cdot 2=24\)
Entretanto, \(V_A+V_B=30+24=54\).
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1. A interseção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(10\) com o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(15\) é o conjunto de todos os números naturais múltiplos de:
Resolução:
Seja \(A="\)o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(10"\).Seja \(B=\)"o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(15"\).
Assim, \(A=\{10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;...\}\)
\(B=\{15;30;45;60;75;90;105;120;...\}\)
Definição De Interseção De Conjuntos
Intersecção de Conjuntos é definida como um conjunto composto pelos elementos comuns de dois ou mais conjuntos.
Logo pela definição acima podemos concluir que: \(A\cap B = \{30; 60; 90; 120;...\}\).
Entretanto, a interseção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(30\).
2. Escolhe um número racional que não é inteiro:
Resolução:
Definição de número racional:É um número que pode ser escrito dividindo dois números inteiros. (Nota: os números inteiros não têm frações.)
A palavra racional vem da palavra "razão".
Entretanto, \(3,277\) é um número racional porque pode ser escrito na forma de fracção.
3. O preço de um artigo, primeiro, aumenta \(30\%\), e depois, diminui \(30\%\). Em que percentagem se altera o preço inicial do artigo pelo resultado das duas operações?
Resolução:
Seja \(x\) o valor do preço de um artigo.Primeira operação: aumenta \( 30\%\).
Então, \(x+30\% x\) \(=x + \frac{30}{100}x\) \(=\frac{100x+30x}{100}\) \(=\frac{130x}{100}\).
Segunda operação: diminui \(30\%\).
Então, \( \frac{130x}{100}-30\% \cdot \frac{130x}{100}\) \(=\frac{130x}{100}-\frac{30}{100} \cdot \frac{130x}{100}\) \(=\frac{130x}{100}-\frac{39x}{100}\) \(=\frac{130x-39x}{100}\) \(=\frac{91x}{100}\) \(=91\%x\).
Entretanto, \(100\% - 91\% = 9\% \).
4. Sejam \(m\) e \(n\) o número de elementos de \(M=\{-3;-2;4;6\}\) e \(N=\{2;3\}, respectivamente. Considere a relação dada pela lei \(m\gt n\). Os pares ordenados \((m;n\) que constituem a relação são:
Resolução:
Na realidade o que nos é pedido neste exercício é um conjunto de pares ordenados em que o primeiro elemento do par pertença a \(M\) e que seja maior que o segundo, sendo que este pertença a \(N\).Assim, os pares ordenados serão: \(\{(4;2),(4;3),(6;2),(6;3)\}\).
5. Simplificando a expressão \((a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) : \left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}\right)\) obtém-se:
Resolução:
Primeiro vamos escrever a dada expressão da seguinte forma:\[\frac{(a+b)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}\]
Em seguida vamos calcular o mmc.
\[=\frac{(a+b)\left(\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}\right)}{\frac{a^2}{a^2b^2}-\frac{b^2}{a^2b^2}}\]
Agora para as fracções com denominador comum podemos transformar numa fracção unica.
\[=\frac{(a+b)\cdot \frac{b-a}{ab}}{\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}}\]
Como \(a^2-b^2\) é uma diferença de quadrados podemos escrever da seguinte maneira \((a-b)(a+b)\).
\[=\frac{\frac{(a+b)(b-a)}{ab}}{\frac{(a+b)(a-b)}{a^2b^2}}\]
Depois vamos transformar a fracção principal em produto.
\[=\frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a+b)(a-b)}\]
Agora podemos simplificar os factores comum.
\[=\frac{(b-a)ab}{a-b} \]
Como \(b-a=-(a-b)\) então teremos,
\[=\frac{-(a-b)ab}{a-b}=-ab\]
6. A expressão \( \frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt[4]{a}} \) é equivalente a:
Resolução:
Para resolver este exercício vamos usar a regra matemática que diz \(\sqrt[c]{a^b}=a^{\frac{b}{c}}\).Aplicando a regra acima podemos achar, \(\sqrt{a^3}=a^{\frac{3}{2}}\), \(\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}\) e \(\sqrt[4]{a}=a^{\frac{1}{4}}\).
Assim, \(\frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot \sqrt[4]{a}} \) \(=\frac{\sqrt{a\cdot a^{\frac{3}{2}}}}{a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{\frac{1}{4}}} \)
Em seguida vamos aplicar a regra matemática que diz: \(a^x \cdot a^y=a^{x+y}\).
\(=\frac{\sqrt{a^{1+\frac{3}{2}}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}} \) \(=\frac{\sqrt{a^{\frac{5}{2}}}}{a^{\frac{11}{12}}} \) \(=\frac{a^{\frac{\frac{5}{2}}{2}}}{a^{\frac{11}{12}}} \) \(=\frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{11}{12}}} \)
Depois vamos aplicar a regra que diz: \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\)
\(=a^{\frac{5}{4}-\frac{11}{12}}\) \(=a^{\frac{1}{3}}\)
7. A expressão \((\sqrt{5}-3)^2 (14+6\sqrt{5})\) é igual a:
Resolução:
Primeiro vamos desenvolver o seguinte caso notável \((\sqrt{5}-3)^2\) \(=(\sqrt{5})^2-2\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} +3^2\) \(=5-6\sqrt{5}+9\) \(=14-6\sqrt{5}\).Ao substituirmos o resultado na expressão dada temos \((14-6\sqrt{5})(14+6\sqrt{5}) \) que é um caso notável do tipo \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), assim \((14-6\sqrt{5})(14+6\sqrt{5}) \) \(=(14^2-(6\sqrt{5})^2\) \(=196-36\cdot 5 \) \(=16\).
8. O número \( \left[ (7\sqrt{7})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{1}{10}})^{-5} \right] \cdot (\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{1}{3}}) \) é igual a:
Resolução:
\(\left[(7\sqrt{7})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{1}{10}})^{-5}\right]\cdot (\frac{1}{\sqrt{7}} - \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=\left[(\sqrt{7^2\cdot 7})^{-\frac{1}{3}}+3^{\frac{1}{10}\cdot (-5)}\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=\left[(\sqrt{7^3})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{-1}{2}})\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \)\(=\left[(\sqrt{7^3})^{-\frac{1}{3}}+(3^{\frac{-1}{2}})\right]\cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=(7^{-\frac{1}{2}}+3^{\frac{-1}{2}}) \cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=(\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{\frac{1}{3}}) \cdot (\sqrt{\frac{1}{7}}- \sqrt{\frac{1}{3}}) \) \(=(\sqrt{\frac{1}{7}})^2-(\sqrt{\frac{1}{3}})^2\) \(=\frac{1}{7}-\frac{1}{3}\) \(=\frac{3-7}{3\cdot 7}\) \(=-\frac{4}{21}\).
9. Sabe-se que a área de um quadrado e o seu perimetro são expressos pelo mesmo número. Então, a medida do lado deste quadrado é igual a:
Resolução:
Seja \(A_{\square} =x\) e \(P_{\square} = x\), assim, sabendo que a área do quadrado é dada por \(A_{\square} =l^2\) e o perimetro é dado por \(P_{\square} =4l\), então \(l^2=4l\) \(\Rightarrow l^2-4l=0\) \(\Rightarrow l(l-4)=0\) \(\Rightarrow l=0 \vee l-4=0\) \(l=0 \vee l=4\).Entretanto, o lado deste quadrado é igual a \(4\).
Nota: O \(0\) não pode ser solução do problema porque não existe um quadrado de lado igual a \(0\).
10. O volume do polígono desenhado na figura é:
Resolução:
Primeiro vamos dividir o polígono em duas partes para facilitar os nosso calculos.
Como volume é igual a área da base vezes a altera. Então,
\(V_A=(2\cdot 3)\cdot 5=30\)
\(V_B=(4\cdot 3)\cdot 2=24\)
Entretanto, \(V_A+V_B=30+24=54\).
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