Exame Extraordinario da 12 classe 2014-Resolvido 1-10

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1. Considere as proposições: p: “2 é um número par” e q: “2 é um número primo” Qual é a escrita simbólica de “Se 2 é um número primo então 2 é par”?

Resolução:

Sempre que temos a linguagem "se... entao", é porque trata-se da $implicação$.
Entretanto, a escrita simbólica é: $\quad q \Longrightarrow p$

2. Qual é a proposição equivalente de $\displaystyle \sim (p \vee q)$ ?

Resolução: A negação de uma disjunção é a conjunção das negações. Entretanto, $\displaystyle \sim (p \vee q)$ $\quad \Leftrightarrow \quad \sim p \wedge \sim q$

3. Qual é a solução da equação $\sqrt{x^2-1}=-3$ ?

Resolução:

Define-se raiz quadrada de um número $x$ não negativo, como sendo o número não negativo $y$ tal que $y^2=x$ e escreve-se $\sqrt{x}=y$ porque $y^2=x$.
Entretanto, $\sqrt{x^2-1}=-3$ tem solução, $x\in \displaystyle \phi$

Não cair nas armadilhas das raízes!!!

4. Em $I\!\!R$ , qual é o domínio de existência da expressão $\frac{1-x}{x\cdot (x^2+4)}$ ?

Resolução:

Dado que a expressão é racional fraccionaria então:
$x\cdot (x^2+4) \ne 0$ $\Longrightarrow x \ne0 \quad \wedge \quad x^2+4\ne0$
Como $x^2+4\gt0$, basta $x \ne0$
Entretanto, $D=x:x \in I\!R \setminus \{0\}$

5. Qual é o resultado da soma da solução da equação $\frac{2}{x}-\frac{1-3x}{3}=\frac{2+3x^2}{3x}$ com o número 3?

Resolução:

Primeiro vamos achar a solução da equação:
$\frac{2}{x}-\frac{1-3x}{3}=\frac{2+3x^2}{3x}$ $\quad \Longrightarrow \quad \frac{2\cdot 3}{x\cdot 3}-\frac{(1-3x)\cdot x}{3\cdot x}=\frac{2+3x^2}{3x}$ $\quad \Longrightarrow 2\cdot 3-(1-3x)\cdot x=2+3x^2$ $\quad \Longrightarrow \quad 6-x+3x^2=2+3x^2$ $\quad \Longrightarrow 3x^2-3x^2-x=2-6$ $\quad \Longrightarrow \quad -x=-4$ $\quad \Longrightarrow x=4$
Agora achar o resultado da soma da solução da equação com o número 3:
Entretanto, $4+3=7$

6. Qual é a solução da inequação $\log_5(3x-1)\lt \log_5x$ ?

Resolução:

Como a base do logaritmo é maior que 1, vamos manter o sinal da desigualidade:
$\left\{ \begin{array}{lll} 3x-1\lt x \\ 3x-1\gt0, Dominio \\ x\gt0, \quad Dominio \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} 3x-x\lt 1 \\ 3x\gt1, \quad Dominio \\ x\gt0, \quad Dominio \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x\lt \frac{1}{2} \\ x\gt \frac{1}{3}, \quad Dominio \\ x\gt0, \quad Dominio \end{array} \right.$
Entretanto, $\frac{1}{3}\lt x\lt \frac{1}{2}$

7. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30º. Após percorrer 2000m em linha recta, qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente?

Resolução:

Vamos ilustrar a questão atraves da figura que se segue:
Assim, sendo a altura representada por $x$ , temos:
$sen 30º = \frac{x}{200m}$ $\quad \Longrightarrow \quad x=\frac{1}{2}\cdot 200m$ $\quad \Longrightarrow \quad x=100m$
Entretanto, a altura atingida pelo avião é de aproximadamente $100m$

8. Sendo x e y dois números reais quaisquer, qual das opções $\displaystyle \underline{NÃO}$ é correcta?

Resolução:

Sabendo que modulo de qualquer numero é sempre positivo, entao:
$|x\cdot y|$ é positivo.
Mas nao sabemos se y é positivo ou negativo, entao tambem nao saberemos qual é o sinal de $|x|\cdot y$.
Entretanto, não é correcto afirmar que $|x\cdot y|=|x|\cdot y$

9. Qual é a solução da equação $|x+3|=7$ ?

Resolução:

Sempre que lidamos com modulos, é conveniente separar a equacao por ramos. $\left\{ \begin{array}{lll} x+3 = 7, \quad se \ x+3\ge0 \\ -(x+3) = 7, \ se \ x+3\lt0 \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x = 7-3, \quad se \ x\ge-3 \\ -x-3 = 7, \ se \ x\lt-3 \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x = 4, \quad se \ x\ge-3 \\ x = -10, \ se \ x\lt-3 \end{array} \right.$
Entretanto, $x=-10 \quad \vee \quad x=4$

10. Qual é o número que corresponde a $C_2^6$ ?

Resolução:

$$\begin{align} C_2^6 &\cssId{Step11}{=\frac{6!}{2!(6-2)!}}\\ &\cssId{Step12}{=\frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{2! \cancel{4!}}}\\ &\cssId{Step13}{=\frac{30}{2}}\\ &\cssId{Step14}{=15} \end{align}$$

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