Exame Extraordinario da 12 classe 2014-Resolvido 1-10

1. Considere as proposições: p: “2 é um número par” e q: “2 é um número primo” Qual é a escrita simbólica de “Se 2 é um número primo então 2 é par”?

Resolução:

Sempre que temos a linguagem "se... entao", é porque trata-se da \(implicação \).
Entretanto, a escrita simbólica é: \(\quad q \Longrightarrow p \)

2. Qual é a proposição equivalente de \(\displaystyle \sim (p \vee q)\) ?

Resolução: A negação de uma disjunção é a conjunção das negações. Entretanto, \( \displaystyle \sim (p \vee q) \) \(\quad \Leftrightarrow \quad \sim p \wedge \sim q\)

3. Qual é a solução da equação \(\sqrt{x^2-1}=-3\) ?

Resolução:

Define-se raiz quadrada de um número \(x\) não negativo, como sendo o número não negativo \(y\) tal que \(y^2=x\) e escreve-se \(\sqrt{x}=y\) porque \(y^2=x\).
Entretanto, \(\sqrt{x^2-1}=-3 \) tem solução, \( x\in \displaystyle \phi\)

Não cair nas armadilhas das raízes!!!

4. Em \(I\!\!R\) , qual é o domínio de existência da expressão \(\frac{1-x}{x\cdot (x^2+4)}\) ?

Resolução:

Dado que a expressão é racional fraccionaria então:
\( x\cdot (x^2+4) \ne 0 \) \(\Longrightarrow x \ne0 \quad \wedge \quad x^2+4\ne0\)
Como \( x^2+4\gt0 \), basta \( x \ne0\)
Entretanto, \( D=x:x \in I\!R \setminus \{0\} \)

5. Qual é o resultado da soma da solução da equação \(\frac{2}{x}-\frac{1-3x}{3}=\frac{2+3x^2}{3x}\) com o número 3?

Resolução:

Primeiro vamos achar a solução da equação:
\( \frac{2}{x}-\frac{1-3x}{3}=\frac{2+3x^2}{3x} \) \( \quad \Longrightarrow \quad \frac{2\cdot 3}{x\cdot 3}-\frac{(1-3x)\cdot x}{3\cdot x}=\frac{2+3x^2}{3x} \) \( \quad \Longrightarrow 2\cdot 3-(1-3x)\cdot x=2+3x^2 \) \( \quad \Longrightarrow \quad 6-x+3x^2=2+3x^2 \) \( \quad \Longrightarrow 3x^2-3x^2-x=2-6 \) \( \quad \Longrightarrow \quad -x=-4 \) \( \quad \Longrightarrow x=4 \)
Agora achar o resultado da soma da solução da equação com o número 3:
Entretanto, \( 4+3=7 \)

6. Qual é a solução da inequação \(\log_5(3x-1)\lt \log_5x\) ?

Resolução:

Como a base do logaritmo é maior que 1, vamos manter o sinal da desigualidade:
\( \left\{ \begin{array}{lll} 3x-1\lt x \\ 3x-1\gt0, Dominio \\ x\gt0, \quad Dominio \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} 3x-x\lt 1 \\ 3x\gt1, \quad Dominio \\ x\gt0, \quad Dominio \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x\lt \frac{1}{2} \\ x\gt \frac{1}{3}, \quad Dominio \\ x\gt0, \quad Dominio \end{array} \right. \)
Entretanto, \( \frac{1}{3}\lt x\lt \frac{1}{2} \)

7. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30º. Após percorrer 2000m em linha recta, qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente?

Resolução:

Vamos ilustrar a questão atraves da figura que se segue:

Assim, sendo a altura representada por \(x\) , temos:
\( sen 30º = \frac{x}{200m} \) \( \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{1}{2}\cdot 200m \) \( \quad \Longrightarrow \quad x=100m \)
Entretanto, a altura atingida pelo avião é de aproximadamente \( 100m \)

8. Sendo x e y dois números reais quaisquer, qual das opções \(\displaystyle \underline{NÃO}\) é correcta?

9. Qual é a solução da equação \( |x+3|=7 \) ?

Resolução:

Sempre que lidamos com modulos, é conveniente separar a equacao por ramos. \( \left\{ \begin{array}{lll} x+3 = 7, \quad se \ x+3\ge0 \\ -(x+3) = 7, \ se \ x+3\lt0 \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x = 7-3, \quad se \ x\ge-3 \\ -x-3 = 7, \ se \ x\lt-3 \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x = 4, \quad se \ x\ge-3 \\ x = -10, \ se \ x\lt-3 \end{array} \right. \)
Entretanto, \( x=-10 \quad \vee \quad x=4 \)

10. Qual é o número que corresponde a \( C_2^6 \) ?

Resolução:

\begin{align} C_2^6 &\cssId{Step11}{=\frac{6!}{2!(6-2)!}}\\ &\cssId{Step12}{=\frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{2! \cancel{4!}}}\\ &\cssId{Step13}{=\frac{30}{2}}\\ &\cssId{Step14}{=15} \end{align}

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