EXAME RESOLVIDO 1-10 - UEM -2004

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1. Se \(\log_an=a\) então \(\log_a{\sqrt[3]{b^2}}\) será igual a:

Resolução:
\(\log_a{\sqrt[3]{b^2}}=\frac{2}{3}\log_ab=\frac{2}{3}a\).

2. A expressão \(a^{xy} \) é equivalente a:

Resolução:
A propriedade da potência de uma potência diz que para encontrar a potência de uma potência basta multiplicar os expoentes.
Entretanto, \(a^{xy}=(a^x)^y\).

3. Um recipiente \(A\) ten a capacidade (\(C_A\)) de \(\frac{2}{3}k\) litros e o recipiente \(B\) ten a capacidade (\(C_B\)) igual a \(70%\) de \(k\) litros. Pode-se então dizer que:

Resolução:
\(70% \) de \( k\) \(=70% \cdot k\) \(=\frac{70}{100}k\) \(=\frac{7}{10}k\).
Agora, como \(\frac{2}{3}\lt \frac{7}{10}\), então \(C_A \lt C_B\).

4. Sejam \(mm'\) e \(nn'\), dois diametros perpendiculares de uma circunferência de rail igual a \(5cm\). Do ponto \(B\) da circunferência são traçadas duas perpendiculares aos diametros, \(BC\) e \(BA\). Ache o comprimento do seguimento \(AC\).

Resolução:
Analisando a figura podemos constatar que \(AC=OB=r=5cm\).

5. No \(\triangle ABC\), \(AC=AB\), \(\gamma =30°\). She duplicarmos a amplitude do ângulo \(\gamma\), formando o \(\triangle A'B'C'\), \(A'C=B'C\), o que acontece com o ângulo \(\alpha\)?

Resolução:
Como \(AC=AB\), então \(\angle B=\angle C=\gamma=30°\). Assim, \( \angle A+\angle B +\angle C=180°\) \(\Rightarrow \alpha+30°+30°=180°\) \(\Rightarrow \alpha =120°\).

Agora, para o \(\triangle A'B'C\), termos que: \(A'C=B'C\), então \(\angle A'=\angle B'=\alpha '\). Assim, \(\alpha ' +\alpha ' +2\gamma=180°\) \(\Rightarrow 2\alpha '+2\cdot 30°=180°\) \( \Rightarrow 2\alpha '=120°\) \(\Rightarrow \alpha '=60°\). Entretanto, ao compararmos as amplitudes dois ângulos \(\alpha e \alpha '\), podemos notar que: O ângulo diminuirá em duas vezes.

6. Exprima \(b\) em função de \(k\), sabendo que \(4k=3a\) e que \(b\) é metade de \(a\).

Resolução:
Temos que \(4k=3a \Rightarrow a=\frac{4k}{3}\).
Entretanto,\(b=\frac{a}{2}\) \(\Rightarrow b=\frac{\frac{4k}{3}}{2}\) \(\Rightarrow b=\frac{4k}{3} \cdot \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow b=\frac{2k}{3}\).

7. O resto da divisão do polinómio \(P(x)=x^3+3x^2-3x-1\) por \(x+2\) é:

Resolução:
Como \(x+2=0\) \(\Rightarrow x=-2\), então basta acharemos o valor de \(P(-2)\) para encontrarmos o resto.
Assim, \(P(-2)=(-2)^3+3(-2)^2-3(-2)-1\) \(=-8+12+6-1\) \(=9\).

8. Um funcionário ganhou \(250.000,00Mt\) por um dia de trabalho incluindo o pagamento de horas extraordinárias. O seu salário exceed em \(200.000Mt\) o que recebeu pelas horas extraordinárias. Qual é o seu salário sem incluir as horas extraordinárias?

Resolução:
Seja \(x\) o salário incluindo as horas extraordinárias. E seja \(y\) o pagamento pelas horas extraordinárias.
Assim, podemos desenvolver o seguinte sistema de equações:
\(
\begin{cases}
x+y=250\\
x-y=200
\end{cases}
\)
\(\Rightarrow \begin{cases}
x+y=250\\
x=200+y
\end{cases} \)
\(\Rightarrow \begin{cases}
200+y+y=250\\
x-y=200
\end{cases} \)
\(\Rightarrow \begin{cases}
2y=250-200\\
x-y=200
\end{cases} \)
\(\Rightarrow \begin{cases}
y=25\\
x=200+25
\end{cases} \)
\(\Rightarrow \begin{cases}
y=25\\
x=200+25
\end{cases} \)

Entretanto, o salário sem incluir as horas extraordinárias é \(225.000,00Mt\).

9. Seja \(f\) uma função par de domínio \([-3;2]\) e contradomínio \([-5;3]\). Qual é o contradomínio da função \(|f|\)?

Resolução:
Como trata-se de módulo, e sabendo que o módulo de qualquer número é sempre positivo, então, todo o valor do contradomínio de \(f\) vai passar a ser positivo para \(|f|\). Entretanto, o contradomínio de \(|f|\) será: \([0;5]\).

10. O ponto \(P(-2;3)\) pertence à uma função \(y=g(x)\). Qual é a ordenada x do ponto \(Q(2;x)\) sabendo que \(y=g(x)\) é uma função ímpar.

Resolução:
Como \(y=g(x)\) é ímpar, então: \(g(x)=-g(-x)\) \(\Rightarrow g(-2)=-g[-(-2)]\) \(\Rightarrow 3=-g(2)\) \(\Rightarrow g(2)=-3\).
Entretanto, \(Q(2;-3)\).

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