EXAME RESOLVIDO 1-10 - UEM -2004

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1. Se $\log_an=a$ então $\log_a{\sqrt[3]{b^2}}$ será igual a:

Resolução:
$\log_a{\sqrt[3]{b^2}}=\frac{2}{3}\log_ab=\frac{2}{3}a$.

2. A expressão $a^{xy}$ é equivalente a:

Resolução:
A propriedade da potência de uma potência diz que para encontrar a potência de uma potência basta multiplicar os expoentes.
Entretanto, $a^{xy}=(a^x)^y$.

3. Um recipiente $A$ ten a capacidade ($C_A$) de $\frac{2}{3}k$ litros e o recipiente $B$ ten a capacidade ($C_B$) igual a $70%$ de $k$ litros. Pode-se então dizer que:

Resolução:
$70%$ de $k$ $=70% \cdot k$ $=\frac{70}{100}k$ $=\frac{7}{10}k$.
Agora, como $\frac{2}{3}\lt \frac{7}{10}$, então $C_A \lt C_B$.

4. Sejam $mm'$ e $nn'$, dois diametros perpendiculares de uma circunferência de rail igual a $5cm$. Do ponto $B$ da circunferência são traçadas duas perpendiculares aos diametros, $BC$ e $BA$. Ache o comprimento do seguimento $AC$.

Resolução:
Analisando a figura podemos constatar que $AC=OB=r=5cm$.

5. No $\triangle ABC$, $AC=AB$, $\gamma =30°$. She duplicarmos a amplitude do ângulo $\gamma$, formando o $\triangle A'B'C'$, $A'C=B'C$, o que acontece com o ângulo $\alpha$?

Resolução:
Como $AC=AB$, então $\angle B=\angle C=\gamma=30°$. Assim, $\angle A+\angle B +\angle C=180°$ $\Rightarrow \alpha+30°+30°=180°$ $\Rightarrow \alpha =120°$.

Agora, para o $\triangle A'B'C$, termos que: $A'C=B'C$, então $\angle A'=\angle B'=\alpha '$. Assim, $\alpha ' +\alpha ' +2\gamma=180°$ $\Rightarrow 2\alpha '+2\cdot 30°=180°$ $\Rightarrow 2\alpha '=120°$ $\Rightarrow \alpha '=60°$. Entretanto, ao compararmos as amplitudes dois ângulos $\alpha e \alpha '$, podemos notar que: O ângulo diminuirá em duas vezes.

6. Exprima $b$ em função de $k$, sabendo que $4k=3a$ e que $b$ é metade de $a$.

Resolução:
Temos que $4k=3a \Rightarrow a=\frac{4k}{3}$.
Entretanto,$b=\frac{a}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{\frac{4k}{3}}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{4k}{3} \cdot \frac{1}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{2k}{3}$.

7. O resto da divisão do polinómio $P(x)=x^3+3x^2-3x-1$ por $x+2$ é:

Resolução:
Como $x+2=0$ $\Rightarrow x=-2$, então basta acharemos o valor de $P(-2)$ para encontrarmos o resto.
Assim, $P(-2)=(-2)^3+3(-2)^2-3(-2)-1$ $=-8+12+6-1$ $=9$.

8. Um funcionário ganhou $250.000,00Mt$ por um dia de trabalho incluindo o pagamento de horas extraordinárias. O seu salário exceed em $200.000Mt$ o que recebeu pelas horas extraordinárias. Qual é o seu salário sem incluir as horas extraordinárias?

Resolução:
Seja $x$ o salário incluindo as horas extraordinárias. E seja $y$ o pagamento pelas horas extraordinárias.
Assim, podemos desenvolver o seguinte sistema de equações:
$\begin{cases} x+y=250\\ x-y=200 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} x+y=250\\ x=200+y \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} 200+y+y=250\\ x-y=200 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} 2y=250-200\\ x-y=200 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} y=25\\ x=200+25 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} y=25\\ x=200+25 \end{cases}$

Entretanto, o salário sem incluir as horas extraordinárias é $225.000,00Mt$.

9. Seja $f$ uma função par de domínio $[-3;2]$ e contradomínio $[-5;3]$. Qual é o contradomínio da função $|f|$?

Resolução:
Como trata-se de módulo, e sabendo que o módulo de qualquer número é sempre positivo, então, todo o valor do contradomínio de $f$ vai passar a ser positivo para $|f|$. Entretanto, o contradomínio de $|f|$ será: $[0;5]$.

10. O ponto $P(-2;3)$ pertence à uma função $y=g(x)$. Qual é a ordenada x do ponto $Q(2;x)$ sabendo que $y=g(x)$ é uma função ímpar.

Resolução:
Como $y=g(x)$ é ímpar, então: $g(x)=-g(-x)$ $\Rightarrow g(-2)=-g[-(-2)]$ $\Rightarrow 3=-g(2)$ $\Rightarrow g(2)=-3$.
Entretanto, $Q(2;-3)$.

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