RESOLUCAO EXAME UEM 2014

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1. O número $0,0004$ usando notação científica pode ser escrito na forma:

Resolução: $$\begin{align} 0,0004 &\cssId{Step1}{= 4\cdot0,0001 }\\ &\cssId{Step2}{= 4\cdot \frac{1}{10000}}\\ &\cssId{Step3}{= 4\cdot \frac{1}{10^4}}\\ &\cssId{Step4}{= 4\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^4}\\ &\cssId{Step5}{= 4\cdot 10^{-4}}\\ \end{align}$$

2. O número $\sqrt[4]{0,2} \cdot \sqrt{0,001 \cdot 400000} \cdot \sqrt[4]{0,008}$ é igual a:

Resolução: $$\begin{align} \sqrt[4]{0,2} \cdot \sqrt{0,001 \cdot 400000} \cdot \sqrt[4]{0,008} &\cssId{Step6}{= \sqrt[4]{0,2} \cdot \sqrt[4]{0,008} \cdot \sqrt{0,001 \cdot 400000}}\\ &\cssId{Step7}{= \sqrt[4]{0,2 \cdot 0,008} \cdot \sqrt{400}}\\ &\cssId{Step8}{= \sqrt[4]{0,0016} \cdot 20}\\ &\cssId{Step9}{=\displaystyle \sqrt[4]{\left(0,2\right)^4} \cdot 20}\\ &\cssId{Step10}{= 0,2 \cdot 20= 4}\\ \end{align}$$

3. Efectuando a operação: $\sqrt{45} + \sqrt{5}$ obtém-se:

Resolução: $$\begin{align} \sqrt{45} + \sqrt{5} &\cssId{Step11}{= \sqrt{3\cdot3\cdot5} + \sqrt{5}}\\ &\cssId{Step12}{= \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{5}}\\ &\cssId{Step13}{= \sqrt{9}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{5}}\\ &\cssId{Step14}{= 3\cdot\sqrt{5} + \sqrt{5}}\\ &\cssId{Step15}{= 3\cdot\sqrt{5} + 1\cdot\sqrt{5}}\\ &\cssId{Step16}{= (3 + 1)\cdot\sqrt{5}}\\ &\cssId{Step17}{= 4\cdot\sqrt{5}}\\ \end{align}$$

4. Se $\frac{3}{7}$ dum certo valor são 195 Mts, a quanto corresponde $\frac{4}{5}$ do mesmo valor?

Resolução: $$\begin{align} &\cssId{Step18}{Seja \ x \ um \ certo \ valor.}\\ &\cssId{Step19}{Assim, \ \frac{3}{7}\cdot x = 195}\\ &\cssId{Step20}{\qquad \qquad \quad \ x = 195\cdot\frac{7}{3}}\\ &\cssId{Step21}{\qquad \qquad \quad \ x = 445}\\ \\ &\cssId{Step22}{Dai \ que, \frac{4}{5}\cdot x = } &\cssId{Step23}{\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{4}{5}\cdot 445}\\ &\cssId{Step24}{\qquad \qquad \qquad \ \! = 364}\\ \end{align}$$

5.Calculando a expressão $\frac{14}{5+\frac{1}{2-\frac{1}{3}}}+\frac{16}{5-\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}$ , obtém-se:

Resolução: $$\begin{align} &\cssId{Step25}{\frac{14}{5+\frac{1}{2-\frac{1}{3}}}+\frac{16}{5-\frac{1}{2+\frac{1}{3}}}=} \\ &\cssId{Step26}{\quad = \frac{14}{5+\frac{1}{\frac{6-1}{3}}}+\frac{16}{5-\frac{1}{\frac{6+1}{3}}}} \\ &\cssId{Step27}{\quad = \frac{14}{5+\frac{1}{\frac{5}{3}}}+\frac{16}{5-\frac{1}{\frac{7}{3}}}}\\ &\cssId{Step28}{\quad = \frac{14}{5+\frac{1\cdot 3}{5}}+\frac{16}{5-\frac{1\cdot 3}{7}}}\\ &\cssId{Step29}{\quad = \frac{14}{\frac{25+ 3}{5}}+\frac{16}{\frac{35- 3}{7}}}\\ &\cssId{Step30}{\quad = \frac{14\cdot 5}{28}+\frac{16\cdot 7}{32}}\\ &\cssId{Step31}{\quad = \frac{5}{2}+\frac{7}{2}= \frac{5+7}{2}= 6} \end{align}$$

6. Dado que uma grandeza sofreu duas diminuições sucessivas, uma de 10% e outra de 30%. Então, a diminuição total desta grandeza em percentagem é:

Resolução: $$\begin{align} &\cssId{Step32}{Seja \ x \ uma \ dada \ grandeza.}\\ &\cssId{Step33}{Assim, \ a \ primeira \ diminuição \ é \ dada \ por:}\\ &\cssId{Step34}{\quad x-10 \% \cdot x= x-\frac{10}{100} \cdot x=}\\ &\cssId{Step35}{\qquad = \frac{90}{100}x}\\ \\ &\cssId{Step36}{Agora, \ a \ segunda \ diminuição \ é \ dada \ por:}\\ &\cssId{Step37}{\quad \frac{90}{100}x-30 \% \cdot \frac{90}{100}x=}\\ &\cssId{Step38}{\qquad = \frac{90}{100}x-\frac{30}{100} \cdot \frac{90}{100}x=}\\ &\cssId{Step39}{\qquad= \frac{63}{100}x}\\ \\ &\cssId{Step40}{Entao, \ a \ diminuição \ total \ é \ dada \ por:}\\ &\cssId{Step41}{\quad x-\frac{63}{100}x= \frac{37}{100}x= 37\%x}\\ \end{align}$$

7. Simplificando a expressão $\frac{x^4-2x^3y+x^2y^2}{x^4-x^2y^2}$ tem-se:

Resolução: $$\begin{align} \frac{x^4-2x^3y+x^2y^2}{x^4-x^2y^2} &\cssId{Step42}{= \frac{\cancel{x^2} \cdot (x^2-2xy+y^2)}{\cancel{x^2} \cdot (x^2-y^2)}}\\ &\cssId{Step43}{= \frac{(x-y)\cancel{(x-y)}}{(x+y)\cancel{(x-y)}}}\\ &\cssId{Step44}{= \frac{(x-y)}{(x+y)}}\\ &\cssId{Step45}{= \frac{x-y}{x+y}} \end{align}$$

8. O valor de $A = |1-\sqrt{2}|$ é:

Resolução: $$\begin{align} &\cssId{Step46}{Por \ definicao \ temos \ que}\\ &\cssId{Step47}{ A = \left\{ \begin{array}{c} 1-\sqrt{2}, \ se \ 1-\sqrt{2}>0 \\ -(1-\sqrt{2}), \ se \ 1-\sqrt{2} < 0 \\ \end{array} \right.}\\ \\ &\cssId{Step48}{Como \ 1-\sqrt{2} < 0, \ entao \ A= -(1-\sqrt{2})}\\ &\cssId{Step49}{Dai \ que \ A= -1+\sqrt{2}}\\ &\cssId{Step50}{\qquad \qquad \quad \! = \sqrt{2}-1} \end{align}$$

9. Se para cada 100 atletas 35 são mulheres, a razão entre o número de mulheres e o número de homens é de:

Resolução:

Como para cada 100 atletas 35 são mulheres então 65 são homens. então 65 são homens.

Assim a razão entre o número de mulheres e o número de homens é dado por:

$\frac{35}{65}$

Logo simplificando a fraccao temos:

$\frac{7}{13}$

10. Previa-se distribuir 1200 garrafas de refrescos a um certo número de pessoas. Afinal apareceram 4 pessoas a menos e assim cada uma das presentes recebeu mais 10 garrafas. Quantas pessoas eram?

Resolução:

Seja $x$ o numero de pessoas previstas.
Seja $y$ o numero de garrafas de refrescos.
Assim $x-4$ é o número de pessoas que apareceram e y + 10 é o numero de garrafas de refrescos que cada uma das x - 4 pessoas recebeu. $$\begin{align} &\cssId{Step51}{Agora, \left\{ \begin{array}{lll} \frac{1200}{x} = y \\ \frac{1200}{x-4} = y+10 \end{array} \right. \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} \frac{1200}{x} = y \\ \frac{1200}{x-4} = \frac{1200}{x}+10 \end{array} \right.}\\ &\cssId{Step52}{\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} \frac{1200}{x} = y \\ \frac{1200}{x-4} = \frac{1200+10x}{x} \end{array} \right.}\\ &\cssId{Step53}{\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} \frac{1200}{x} = y \\ 1200\cdot x = (1200+10x)\cdot (x-4) \end{array} \right.}\\ &\cssId{Step54}{\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} \frac{1200}{x} = y \\ 1200x = 1200x+10x^2-4800-40x \end{array} \right.}\\ &\cssId{Step55}{\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} \frac{1200}{x} = y \\ 10x^2-40x-4800=0, \end{array} \right.}\\ &\cssId{Step56}{assim, 10x^2-40x-4800=0 \Longrightarrow }\\ &\cssId{Step57}{\Longrightarrow x^2-4x-480=0 }\\ &\cssId{Step58}{\Longrightarrow (x-24)(x+20)=0 \Longrightarrow x=24 } \end{align}$$

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