Resoluções de Análise Matemática, Demidovitch Cap. I Ex.22

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22. Seja \( f(x)=2x^4-3x^3-5x^2+6x-10.\) Achar \( \varphi (x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)] \) e \( \psi (x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)] \)

Resolução:

\begin{align}
\varphi (x)
&{=\frac{1}{2}[2x^4-3x^3-5x^2+6x-10+2(-x)^4-3(-x)^3-5(-x)^2+6(-x)-10]}\\
&{=\frac{1}{2}(2x^4-3x^3-5x^2+6x-10+2x^4+3x^3-5x^2-6x-10)}\\
&{=\frac{1}{2}(2x^4-5x^2-10+2x^4-5x^2-10)}\\
&{=\frac{1}{2}(4x^4-10x^2-20)}\\
&{=2x^4-5x^2-10}\\
\end{align}


\begin{align}
\psi (x)
&{=\frac{1}{2} \left\{ 2x^4-3x^3-5x^2+6x-10-[2(-x)^4-3(-x)^3-5(-x)^2+6(-x)-10] \right\} }\\
&{=\frac{1}{2}[2x^4-3x^3-5x^2+6x-10-(2x^4+3x^3-5x^2-6x-10)]}\\
&{=\frac{1}{2}(2x^4-3x^3-5x^2+6x-10-2x^4-3x^3+5x^2+6x+10)}\\
&{=\frac{1}{2}(-6x^3+12x)}\\
&{=-3x^3+6x}\\
\end{align}

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