Oficina do Estudante

Ir para: 1-10 | 11-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49 50. O termo geral \(a_n\) da sequência \(-1; \frac{5}{2}; -\frac{25}{6}; \frac{125}{24}; -\frac{625}{120};...\) (a sequência começa de \(a_1\)) é: Resolução: Para nos facilitar os calculos vamos separar o numerador do denominador. Para o numerador teremos: \(-1; 5; -25; 125; -625;...\) Agora vamos ignorar o sinal negativo por algum momento, então teremos: \(1;5;25;125;625;...\) que é equivalente à \( 5^0; 5^1; 5^2; 5^3; 5^4;...\) que por sua vez é igual à \( 5^{1-1}; 5^{2-1}; 5^{3-1}; 5^{4-1}; 5^{5-1};...\). Então o termos geral desta sequência é \(5^{n-1}=\frac{5^n}{5}\). Voltando para a sequência do numerador incluindo o sinal negativo, podemos verificar que somente os termos de ordem ímpar é que são negativos. Então, o termo geral do numerador é \(\frac{(-5)^n}{5}\). Para o denominador teremos: \(1; 2; 6; 24; 120;...\), o que corresponde a \(1!; 2!; 3!; 4!; 5!;...\), assim o termo geral do denominador é \(n!\). Entretant

Ir para: 1-10 | 11-19 | 20-29 | 30-39 | 50-57 40. À direita está representado o gráfico de uma função quadrática \( y=ax^2+bx+c\), cujos parâmetros satisfazem as desigualidades: Resolução: Como a parabola está virada para baixo então é claro que o valor do coeficiente \(a\) é negativo, isto é, \(a \lt 0\). E também podemos verificar claramente que o vértice da parabola esta deslocado mais para a direita em relação ao eixo das ordenadas, entretanto o valor do coeficiente \(b\) é negativo, isto é, \(b\lt 0\). Do mesmo modo o vértice da parabola está deslocado mais para baixo em relação ao eixo das abcissas, então o valor do coeficiente \(c\) é negativo, isto é, \(c \lt 0 \). Entretanto, \( a \lt 0\), \( b \lt 0 \) e \( c \lt 0 \). 41. Sabendo que a função quadrática \(f(x)=x^2+2px-3\) atinge o seu mínimo no ponto \(x=1\), calcule a ordenada do ponto do gráfico de \(f\) com abcissa \(x=2\). Resolução: Como a primeira derivada de uma função pode nos ajudar a achar os extremos

Ir para: 1-10 | 11-19 | 20-29 30. A soma de todas as raizes da equação \(x^2-\sqrt{x^2}=4\) é igual a: Resolução: \( x^2-|x|=4\) \( \Rightarrow |x|=x^2-4\) \(\Rightarrow \begin{cases} x=x^2-4\\ -x=x^2-4 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} x^2-x-4=0\\ x^2+x-4=0 \end{cases} \). Agora vamos achar a soma das raizes de cada uma das equações: Para \(x^2-x-4=0\): \(\quad S_1=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1\) Para \(x^2+x-4=0\): \(\quad S_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1\). Como a soma das raizes de \(x^2-\sqrt{x^2}=4\) é igual a soma das raizes de \(x^2-x-4=0\) e das raizes de \(x^2+x-4=0\), então teremos \(S_1+S_2=1+(-1)=0\). Entretanto, a soma das raizes da equação dada é \(0\). 31. Se \( 2\lt x\lt 3 \) e \( -2 \lt y \lt -1\) então pode-se garantir que a grandeza \( xy \) pertence ao intervalo: Resolução: Primeiro devemos multiplicar os extremos dos intervais entre si, isto é: \(2 \cdot (-2) \); \(2 \cdot (-1)\); \( 3 \cdot (-2) \); \(3 \cdot (-1)\). Ao efectuarmos as mul

Ir para: 1-10 | 11-19 | 30-39 20. Para o triângulo \(ABD\) dado na figura são verdadeiras as igualidades \(AC=BC=DC\), \(C\) pertence ao lado \(BD\), e \(\angle{ADB} = 35° \). Então o \(\angle{ABC} \) é igual a: Resolução: Como \(AC=BC\), então \(\angle{ABC}=\angle{CAB}=\alpha\). Do mesmo modo \(AC=DC\), então \(\angle{CAD}=\angle{ADC}=35°\). Assim, para o triângulo \(ABD\), teremos que \( \angle{BAD}=\alpha+35°\). Logo, \(\angle{DBA}+\angle{BAD}+\angle{ADB}=180°\) \(\Rightarrow \alpha+(\alpha+35°)+35°=180°\) \(\Rightarrow 2\alpha =180°-70°\) \(\Rightarrow \alpha=55°\). Entretanto, \(\angle{ABD}=55°\). 21. Os números que exprimem o lado, a diagonal, e a área de um quadrado formam uma progressão aritmética, nesta ordem. A diagonal do quadrado mede: Resolução: Primeiro vamos desenhar o quadrado com is seus respectivos dados: Agora vamos expressar a diagonal em função do lado. Assim, atraves do teorema de pitagoras temos que: \(d^2=l^2+l^2\) \( \Rightarrow d=\sqrt{2l^2} \) \(

Ir para: 1-10 | 20-29 | 30-39 11. Se a relação dos volumes de duas bolas é \(1:27\), então a relação das superfícies destas bolas é: Resolução: Sabendo que o volume de uma bola é dada por \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\), e como a razão de proporcionalidade entre duas bolas é \(1:27\). Então, teremos que \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{27}\) \(\Rightarrow \frac{\frac{4}{3}\pi r_1{^3}}{\frac{4}{3}\pi r_2^{3}}=\frac{1}{3^3}\) \(\Rightarrow \frac{\cancel{\frac{4}{3}\pi} r_1{^3}}{\cancel{\frac{4}{3}\pi} r_2^{3}}=(\frac{1}{3})^3\) \( \Rightarrow \frac{r_1^{3}}{r_2^{3}}=(\frac{1}{3})\) \( \Rightarrow (\frac{r_1}{r_2})^3=(\frac{1}{3})^3\) \( \Rightarrow \frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{3}\). Agora, como a área a superfície de uma bola é dada por \(S=4 \pi r^2\) então a razão de proporção das superfícies das duas bolas será dada por: \( \frac{S_1}{S_2}=\frac{4 \pi r_1^{2}}{4 \pi r_2^{2}}\) \( =\frac{\cancel{4 \pi } r_1^{2}}{\cancel{4 \pi} r_2^{2}}\) \( = \frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}\) \( = (\frac{ r_1}{r_2})^2\)

Ir para: 11-19 | 20-29 | 30-39 1. A interseção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(10\) com o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(15\) é o conjunto de todos os números naturais múltiplos de: Resolução: Seja \(A="\)o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(10"\). Seja \(B=\)"o conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(15"\). Assim, \(A=\{10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;...\}\) \(B=\{15;30;45;60;75;90;105;120;...\}\) Definição De Interseção De Conjuntos Intersecção de Conjuntos é definida como um conjunto composto pelos elementos comuns de dois ou mais conjuntos. Logo pela definição acima podemos concluir que: \(A\cap B = \{30; 60; 90; 120;...\}\). Entretanto, a interseção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os números naturais múltiplos de \(30\). 2. Escolhe um número racional que não é inteiro: Resolução: Definição de número racional: É um número que pode ser escrito dividindo doi