Oficina do Estudante

Ir para: 1-10 | 11-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49 50. O termo geral $a_n$ da sequência $-1; \frac{5}{2}; -\frac{25}{6}; \frac{125}{24}; -\frac{625}{120};...$ (a sequência começa de $a_1$) é: Resolução: Para nos facilitar os calculos vamos separar o numerador do denominador. Para o numerador teremos: $-1; 5; -25; 125; -625;...$ Agora vamos ignorar o sinal negativo por algum momento, então teremos: $1;5;25;125;625;...$ que é equivalente à $5^0; 5^1; 5^2; 5^3; 5^4;...$ que por sua vez é igual à $5^{1-1}; 5^{2-1}; 5^{3-1}; 5^{4-1}; 5^{5-1};...$. Então o termos geral desta sequência é $5^{n-1}=\frac{5^n}{5}$. Voltando para a sequência do numerador incluindo o sinal negativo, podemos verificar que somente os termos de ordem ímpar é que são negativos. Então, o termo geral do numerador é $\frac{(-5)^n}{5}$. Para o denominador teremos: $1; 2; 6; 24; 120;...$, o que corresponde a $1!; 2!; 3!; 4!; 5!;...$, assim o termo geral do denominador é $n!$. Entretant...

Ir para: 1-10 | 11-19 | 20-29 | 30-39 | 50-57 40. À direita está representado o gráfico de uma função quadrática $y=ax^2+bx+c$, cujos parâmetros satisfazem as desigualidades: Resolução: Como a parabola está virada para baixo então é claro que o valor do coeficiente $a$ é negativo, isto é, $a \lt 0$. E também podemos verificar claramente que o vértice da parabola esta deslocado mais para a direita em relação ao eixo das ordenadas, entretanto o valor do coeficiente $b$ é negativo, isto é, $b\lt 0$. Do mesmo modo o vértice da parabola está deslocado mais para baixo em relação ao eixo das abcissas, então o valor do coeficiente $c$ é negativo, isto é, $c \lt 0$. Entretanto, $a \lt 0$, $b \lt 0$ e $c \lt 0$. 41. Sabendo que a função quadrática $f(x)=x^2+2px-3$ atinge o seu mínimo no ponto $x=1$, calcule a ordenada do ponto do gráfico de $f$ com abcissa $x=2$. Resolução: Como a primeira derivada de uma função pode nos ajudar a achar os extremos...

Ir para: 1-10 | 11-19 | 20-29 30. A soma de todas as raizes da equação $x^2-\sqrt{x^2}=4$ é igual a: Resolução: $x^2-|x|=4$ $\Rightarrow |x|=x^2-4$ $\Rightarrow \begin{cases} x=x^2-4\\ -x=x^2-4 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x^2-x-4=0\\ x^2+x-4=0 \end{cases}$. Agora vamos achar a soma das raizes de cada uma das equações: Para $x^2-x-4=0$: $\quad S_1=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$ Para $x^2+x-4=0$: $\quad S_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$. Como a soma das raizes de $x^2-\sqrt{x^2}=4$ é igual a soma das raizes de $x^2-x-4=0$ e das raizes de $x^2+x-4=0$, então teremos $S_1+S_2=1+(-1)=0$. Entretanto, a soma das raizes da equação dada é $0$. 31. Se $2\lt x\lt 3$ e $-2 \lt y \lt -1$ então pode-se garantir que a grandeza $xy$ pertence ao intervalo: Resolução: Primeiro devemos multiplicar os extremos dos intervais entre si, isto é: $2 \cdot (-2)$; $2 \cdot (-1)$; $3 \cdot (-2)$; $3 \cdot (-1)$. Ao efectuarmos as mul...

Ir para: 1-10 | 11-19 | 30-39 20. Para o triângulo $ABD$ dado na figura são verdadeiras as igualidades $AC=BC=DC$, $C$ pertence ao lado $BD$, e $\angle{ADB} = 35°$. Então o $\angle{ABC}$ é igual a: Resolução: Como $AC=BC$, então $\angle{ABC}=\angle{CAB}=\alpha$. Do mesmo modo $AC=DC$, então $\angle{CAD}=\angle{ADC}=35°$. Assim, para o triângulo $ABD$, teremos que $\angle{BAD}=\alpha+35°$. Logo, $\angle{DBA}+\angle{BAD}+\angle{ADB}=180°$ $\Rightarrow \alpha+(\alpha+35°)+35°=180°$ $\Rightarrow 2\alpha =180°-70°$ $\Rightarrow \alpha=55°$. Entretanto, $\angle{ABD}=55°$. 21. Os números que exprimem o lado, a diagonal, e a área de um quadrado formam uma progressão aritmética, nesta ordem. A diagonal do quadrado mede: Resolução: Primeiro vamos desenhar o quadrado com is seus respectivos dados: Agora vamos expressar a diagonal em função do lado. Assim, atraves do teorema de pitagoras temos que: $d^2=l^2+l^2$ $\Rightarrow d=\sqrt{2l^2}$ \(...

Ir para: 1-10 | 20-29 | 30-39 11. Se a relação dos volumes de duas bolas é $1:27$, então a relação das superfícies destas bolas é: Resolução: Sabendo que o volume de uma bola é dada por $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, e como a razão de proporcionalidade entre duas bolas é $1:27$. Então, teremos que $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{27}$ $\Rightarrow \frac{\frac{4}{3}\pi r_1{^3}}{\frac{4}{3}\pi r_2^{3}}=\frac{1}{3^3}$ $\Rightarrow \frac{\cancel{\frac{4}{3}\pi} r_1{^3}}{\cancel{\frac{4}{3}\pi} r_2^{3}}=(\frac{1}{3})^3$ $\Rightarrow \frac{r_1^{3}}{r_2^{3}}=(\frac{1}{3})$ $\Rightarrow (\frac{r_1}{r_2})^3=(\frac{1}{3})^3$ $\Rightarrow \frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{3}$. Agora, como a área a superfície de uma bola é dada por $S=4 \pi r^2$ então a razão de proporção das superfícies das duas bolas será dada por: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4 \pi r_1^{2}}{4 \pi r_2^{2}}$ $=\frac{\cancel{4 \pi } r_1^{2}}{\cancel{4 \pi} r_2^{2}}$ $= \frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}$ $= (\frac{ r_1}{r_2})^2$ ...

Ir para: 11-19 | 20-29 | 30-39 1. A interseção do conjunto de todos os números naturais múltiplos de $10$ com o conjunto de todos os números naturais múltiplos de $15$ é o conjunto de todos os números naturais múltiplos de: Resolução: Seja $A="$o conjunto de todos os números naturais múltiplos de $10"$. Seja $B=$"o conjunto de todos os números naturais múltiplos de $15"$. Assim, $A=\{10;20;30;40;50;60;70;80;90;100;...\}$ $B=\{15;30;45;60;75;90;105;120;...\}$ Definição De Interseção De Conjuntos Intersecção de Conjuntos é definida como um conjunto composto pelos elementos comuns de dois ou mais conjuntos. Logo pela definição acima podemos concluir que: $A\cap B = \{30; 60; 90; 120;...\}$. Entretanto, a interseção dos dois conjuntos é um conjunto de todos os números naturais múltiplos de $30$. 2. Escolhe um número racional que não é inteiro: Resolução: Definição de número racional: É um número que pode ser escrito dividindo doi...