Exame Resolvido - UEM 2005 - Questões 1-10

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1. Escreva sob forma de percentagem a razão: $\frac{7}{15}$.

Resolução:

Para resolver esta questão devemos dominar o conceito básico da percentagem na matemática.
$100\% = 1$ porque $\frac{100}{100}=1$ ( cem por cento $=$ cem dividido por cem).

Logo, para achar a razão $\frac{7}{15}$ basta multiplicarmos por cem porcento. Que é o mesmo que multiplicar por um.

Assim, $\frac{7}{15}=\frac{7}{15}\cdot 100\%$ $=\frac{700\%}{15}$ $= 46,666...$.

Entretanto, a razão $\frac{7}{15}$ na forma percentual é $46,7\%$.

2. Qual é o valor de $(16)^{-1,75}$.

Resolução:

Como o expoente esta na forma decimal, vamos fazer a transformação para forma fraccionária.
Assim, $(16)^{-1,75} = (16)^{-\frac{175}{100}}$.
Sabendo que $16=2^4$, podemos escrever a potência da seguinte maneira: $=\left(2^4\right)^{-\frac{175}{100}}$.
Agora temos potência de uma potência. O que a regra matemática nos diz? Claro, multiplicam-se os expoentes.
$=2^{4\cdot (-\frac{175}{100})}$ $=2^{-\frac{175}{25}}$ $= 2^{-7}$ $=\frac{1}{2^7}$ $=\frac{1}{128}$.

Entretanto, $(16)^{-1,75} = \frac{1}{128}$.

3. $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$ é igual a:

Resolução:

Atenção!!! Não caias nesta armadilha!!!
Uma pessoa distraida, "simplificaria" a raíz com o expoente, e o "resultado" seria $2-\sqrt{5}$, e logo ao consultar as alternativas se bate de cara com a alternativa $A$. Muita atenção!!!

Então como resolver?
Primeiro, nota que a raíz quadrada de qualquer número deve ser positiva, isto é, maior que zero. E como $2\lt \sqrt{5}$ então $2-\sqrt{5}$ é negativo. Sendo assim, vamos recorrer a uma regra matemática, como sempre, que diz: $\sqrt{a^2}=|a|$.
Logo, $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$.
Como já vimos que $2-\sqrt{5}$ é negativo, então para encontrar o seu módulo basta multiplicar por $-1$.
Daí que, $|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5})$ $=-2+\sqrt{5}$.

Entretanto, $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}-2$.

4. Determine $\log_2{\left(\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\right)}$, se $\log_23=a$.

Resolução:

Vamos começar por transformar a raíz cubica para a forma de potência. Assim, $\log_2{\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}=\log_2{(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}}$ $=\frac{1}{3}\log_2{\frac{3}{4}}$ $=\frac{1}{3}(\log_23-\log_24)$ $=\frac{1}{3}(a-2)$.

5. Efectue a operação seguinte, simplificando o resultado se possível: $\frac{4p-4}{p}:\frac{10-10p}{8p^2}$.

Resolução:

$\frac{4p-4}{p}:\frac{10-10p}{8p^2}= \frac{4p-4}{p}\cdot \frac{8p^2}{10-10p}$ $= \frac{4(p-1)}{p}\cdot \frac{8p^2}{10(1-p)}$ $=\frac{32(p-1)p^2}{-10p(p-1)}$ $=\frac{\cancelto{16}{32}\cancel{(p-1)}\cancel{p}p}{\cancelto{-5}{-10}\cancel{p}\cancel{(p-1)}}$ $=-\frac{16}{5}p$.

6. A soma de recíprocos de dois números inteiros consecutivos é $\frac{13}{42}$. Encontre esses números.

Resolução:

Seja $x$ e $x+1$ dois números consecutivos. Assim, os seus recíprocos serão, $\frac{1}{x}$ e $\frac{1}{x+1}$.
Logo a soma dos recíprocos será $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{13}{42}$.

Agora, vamos resolver essa equação de modo a encontrarmos o valor de $x$.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{13}{42}$ $\Rightarrow\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac{13}{42}$ $\Rightarrow 13\cdot (x^2+x)=42\cdot (2x+1)$ $\Rightarrow 13x^2+13x-84x-42=0$ $\Rightarrow 13x^2-71x-42=0$.

Em seguida vamos resolver esta equação quadrática, usando a fórmula resolvente.
Começamos por determinar o valor do delta.
$\Delta=b^2-4ac$ $=(-71)^2-4\cdot 13 \cdot (-42)$ $=5041+2184$ $=7225$.

Depois vamos achar os valores de $x_1$ e $x_2$.
$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ $=\frac{-(-71)+\sqrt{7225}}{2\cdot 13}$ $=\frac{71+85}{26}$ $=\frac{156}{26}$ $=6$.

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ $=\frac{-(-71)-\sqrt{7225}}{2\cdot 13}$ $=\frac{71-85}{26}$ $=\frac{-14}{26}$ $=-\frac{7}{13}$.

Daí temos que $x$ é igual $6$. Nota que $-\frac{7}{13}$ não é solução para $x$, visto que $x$ é um número inteiro.

Entretanto, os números procurados são $6$ e $7$.

7. O Manuel tem uma máquina fotográfica que tira chapas $6$ por $9$ ( $6cm$ de largura e $9$ de comprimento ). Que largura deverá ter uma ampliação se o comprimento tiver $18cm$?

Resolução:

Pela interpretação do enunciado podemos concluir que:
$$\begin{align*} 6cm &\longrightarrow x\\ 9cm &\longrightarrow 18cm \end{align*}$$

Agora apartir da regra dos três simples, teremos:
$9cm \cdot x = 6cm \cdot 18cm$ $\Rightarrow x=\frac{6cm \cdot 18cm}{9cm}$ $x = 12cm$.

Entretanto, a largura da chapa deverá ser de $12cm$.

8. Na figura o segmento $AB$ é paralelo ao segmento $CD$. Identifique dois pares de ângulos congruentes e as medidas dos respectivos ângulos.

Resolução:

Atraves da figura deste exercício podemos chegar a conclusão que:
$\angle{EDC} \cong \angle{FAB}$ $\Rightarrow \angle{EDC}=\angle{FAB}=64°$.
$\angle{ADC} \cong \angle{BAD}$ $\Rightarrow \angle{ADC}=\angle{BAD}=116°$.

Entretanto, a alternativa é $C$.

9. A Vila de Gondola gastou $25$ milhões de meticais para a recolha de lixo em $2002$ e em $2003$ a mesma vila gastou $20$ milhões de meticais para os mesmos fins. Qual foi a variação dos gastos?

Resolução:

Interpretando o problema desta questão chegamos a seguinte conclusão:
$$\begin{align*} 25 milhões &\longrightarrow 100\% \\ 20 milhões &\longrightarrow x \end{align*}$$

Logo com base na regra de três simples temos que:
$25 \cdot x = 20 \cdot 100\%$ $\Rightarrow x=\frac{2000\%}{25}$ $\Rightarrow x=80\%$.

Agora vamos achar a variação: $80\%-100\%=-20\%$.
Entretanto, os gastos desceram em $20\%$.

10. Qual dos seguintes números é raíz do polinómio $p(x)=x^3+2x^2-7x-2$.

Resolução:

Uma raíz de um polinómio é o valor que anula o polinómio ao ser subistituido na variável do polinómio.
Assim, basta substituir cada um dos números das alternativas e verificar qual anula o polinómio desta questão.

A) $P(-3)$ $=(-3)^3+2\cdot (-3)^2-7\cdot (-3)-2$ $=-27+18+21-2$ $=-29+39$ $=10$.
A alternativa $A$ não é zero do polinómio.

B) $P(2)$ $=2^3+2\cdot 2^2-7\cdot 2-2$ $=8+8-14-2$ $=0$.
A alternativa $B$ é raíz do polinómio porque ao substituirmos $x$ por $2$ o resultado do polinómio é zero.

C) $P(-2)$ $=(-2)^3+2\cdot (-2)^2-7\cdot (-2)-2$ $=-8+8-14-2$ $=12$.
A alternativa $C$ não é raíz do polinómio.

D) $P(-1)$ $=(-1)^3+2\cdot (-1)^2-7\cdot (-1)-2$ $=-1+2+7-2$ $=6$.
A alternativa $D$ não é zero do polinómio.

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Se tiver alguma duvida ou sugestão sobre a resolução destas questões do exame de admissão de matemática da UEM de 2005 é só comentar e EU ajudo. Deixe a sua impressão!!!
Bons estudos a todos, e sucessos.