Exame Resolvido - UEM 2005 - Questões 1-10
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\(100\% = 1\) porque \(\frac{100}{100}=1\) ( cem por cento \(=\) cem dividido por cem).
Logo, para achar a razão \(\frac{7}{15}\) basta multiplicarmos por cem porcento. Que é o mesmo que multiplicar por um.
Assim, \(\frac{7}{15}=\frac{7}{15}\cdot 100\%\) \( =\frac{700\%}{15} \) \( = 46,666...\).
Entretanto, a razão \(\frac{7}{15}\) na forma percentual é \(46,7\%\).
Assim, \((16)^{-1,75} = (16)^{-\frac{175}{100}}\).
Sabendo que \(16=2^4\), podemos escrever a potência da seguinte maneira: \(=\left(2^4\right)^{-\frac{175}{100}}\).
Agora temos potência de uma potência. O que a regra matemática nos diz? Claro, multiplicam-se os expoentes.
\(=2^{4\cdot (-\frac{175}{100})}\) \(=2^{-\frac{175}{25}}\) \( = 2^{-7}\) \(=\frac{1}{2^7}\) \(=\frac{1}{128}\).
Entretanto, \((16)^{-1,75} = \frac{1}{128}\).
Uma pessoa distraida, "simplificaria" a raíz com o expoente, e o "resultado" seria \(2-\sqrt{5}\), e logo ao consultar as alternativas se bate de cara com a alternativa \(A\). Muita atenção!!!
Então como resolver?
Primeiro, nota que a raíz quadrada de qualquer número deve ser positiva, isto é, maior que zero. E como \(2\lt \sqrt{5}\) então \(2-\sqrt{5}\) é negativo. Sendo assim, vamos recorrer a uma regra matemática, como sempre, que diz: \(\sqrt{a^2}=|a|\).
Logo, \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|\).
Como já vimos que \(2-\sqrt{5}\) é negativo, então para encontrar o seu módulo basta multiplicar por \(-1\).
Daí que, \( |2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5})\) \(=-2+\sqrt{5}\).
Entretanto, \( \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}-2\).
Logo a soma dos recíprocos será \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{13}{42}\).
Agora, vamos resolver essa equação de modo a encontrarmos o valor de \(x\).
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{13}{42}\) \(\Rightarrow\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac{13}{42}\) \( \Rightarrow 13\cdot (x^2+x)=42\cdot (2x+1)\) \(\Rightarrow 13x^2+13x-84x-42=0\) \(\Rightarrow 13x^2-71x-42=0\).
Em seguida vamos resolver esta equação quadrática, usando a fórmula resolvente.
Começamos por determinar o valor do delta.
\(\Delta=b^2-4ac\) \(=(-71)^2-4\cdot 13 \cdot (-42)\) \(=5041+2184\) \(=7225\).
Depois vamos achar os valores de \(x_1\) e \(x_2\).
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-(-71)+\sqrt{7225}}{2\cdot 13}\) \(=\frac{71+85}{26}\) \(=\frac{156}{26}\) \(=6\).
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-(-71)-\sqrt{7225}}{2\cdot 13}\) \(=\frac{71-85}{26}\) \(=\frac{-14}{26}\) \(=-\frac{7}{13}\).
Daí temos que \(x\) é igual \(6\). Nota que \(-\frac{7}{13}\) não é solução para \(x\), visto que \(x\) é um número inteiro.
Entretanto, os números procurados são \(6\) e \(7\).
\[ \begin{align*} 6cm &\longrightarrow x\\ 9cm &\longrightarrow 18cm \end{align*}\]
Agora apartir da regra dos três simples, teremos:
\( 9cm \cdot x = 6cm \cdot 18cm \) \(\Rightarrow x=\frac{6cm \cdot 18cm}{9cm}\) \( x = 12cm \).
Entretanto, a largura da chapa deverá ser de \(12cm\).
\( \angle{EDC} \cong \angle{FAB} \) \( \Rightarrow \angle{EDC}=\angle{FAB}=64°\).
\( \angle{ADC} \cong \angle{BAD} \) \( \Rightarrow \angle{ADC}=\angle{BAD}=116°\).
Entretanto, a alternativa é \(C\).
\[ \begin{align*} 25 milhões &\longrightarrow 100\% \\ 20 milhões &\longrightarrow x \end{align*} \]
Logo com base na regra de três simples temos que:
\( 25 \cdot x = 20 \cdot 100\% \) \( \Rightarrow x=\frac{2000\%}{25} \) \( \Rightarrow x=80\% \).
Agora vamos achar a variação: \(80\%-100\%=-20\% \).
Entretanto, os gastos desceram em \(20\%\).
Assim, basta substituir cada um dos números das alternativas e verificar qual anula o polinómio desta questão.
A) \( P(-3)\) \(=(-3)^3+2\cdot (-3)^2-7\cdot (-3)-2 \) \(=-27+18+21-2\) \(=-29+39\) \(=10\).
A alternativa \(A\) não é zero do polinómio.
B) \(P(2)\) \(=2^3+2\cdot 2^2-7\cdot 2-2\) \(=8+8-14-2\) \(=0\).
A alternativa \(B\) é raíz do polinómio porque ao substituirmos \(x\) por \(2\) o resultado do polinómio é zero.
C) \(P(-2)\) \(=(-2)^3+2\cdot (-2)^2-7\cdot (-2)-2 \) \(=-8+8-14-2\) \(=12\).
A alternativa \(C\) não é raíz do polinómio.
D) \(P(-1)\) \(=(-1)^3+2\cdot (-1)^2-7\cdot (-1)-2 \) \(=-1+2+7-2\) \(=6\).
A alternativa \(D\) não é zero do polinómio.
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Se tiver alguma duvida ou sugestão sobre a resolução destas questões do exame de admissão de matemática da UEM de 2005 é só comentar e EU ajudo. Deixe a sua impressão!!!
Bons estudos a todos, e sucessos.
1. Escreva sob forma de percentagem a razão: \(\frac{7}{15}\).
Resolução:
Para resolver esta questão devemos dominar o conceito básico da percentagem na matemática.\(100\% = 1\) porque \(\frac{100}{100}=1\) ( cem por cento \(=\) cem dividido por cem).
Logo, para achar a razão \(\frac{7}{15}\) basta multiplicarmos por cem porcento. Que é o mesmo que multiplicar por um.
Assim, \(\frac{7}{15}=\frac{7}{15}\cdot 100\%\) \( =\frac{700\%}{15} \) \( = 46,666...\).
Entretanto, a razão \(\frac{7}{15}\) na forma percentual é \(46,7\%\).
2. Qual é o valor de \((16)^{-1,75}\).
Resolução:
Como o expoente esta na forma decimal, vamos fazer a transformação para forma fraccionária.Assim, \((16)^{-1,75} = (16)^{-\frac{175}{100}}\).
Sabendo que \(16=2^4\), podemos escrever a potência da seguinte maneira: \(=\left(2^4\right)^{-\frac{175}{100}}\).
Agora temos potência de uma potência. O que a regra matemática nos diz? Claro, multiplicam-se os expoentes.
\(=2^{4\cdot (-\frac{175}{100})}\) \(=2^{-\frac{175}{25}}\) \( = 2^{-7}\) \(=\frac{1}{2^7}\) \(=\frac{1}{128}\).
Entretanto, \((16)^{-1,75} = \frac{1}{128}\).
3. \( \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}\) é igual a:
Resolução:
Atenção!!! Não caias nesta armadilha!!!Uma pessoa distraida, "simplificaria" a raíz com o expoente, e o "resultado" seria \(2-\sqrt{5}\), e logo ao consultar as alternativas se bate de cara com a alternativa \(A\). Muita atenção!!!
Então como resolver?
Primeiro, nota que a raíz quadrada de qualquer número deve ser positiva, isto é, maior que zero. E como \(2\lt \sqrt{5}\) então \(2-\sqrt{5}\) é negativo. Sendo assim, vamos recorrer a uma regra matemática, como sempre, que diz: \(\sqrt{a^2}=|a|\).
Logo, \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|\).
Como já vimos que \(2-\sqrt{5}\) é negativo, então para encontrar o seu módulo basta multiplicar por \(-1\).
Daí que, \( |2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5})\) \(=-2+\sqrt{5}\).
Entretanto, \( \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}-2\).
4. Determine \( \log_2{\left(\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\right)}\), se \( \log_23=a\).
Resolução:
Vamos começar por transformar a raíz cubica para a forma de potência. Assim, \( \log_2{\sqrt[3]{\frac{3}{4}}}=\log_2{(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}}\) \(=\frac{1}{3}\log_2{\frac{3}{4}}\) \(=\frac{1}{3}(\log_23-\log_24)\) \(=\frac{1}{3}(a-2)\).5. Efectue a operação seguinte, simplificando o resultado se possível: \( \frac{4p-4}{p}:\frac{10-10p}{8p^2}\).
Resolução:
\( \frac{4p-4}{p}:\frac{10-10p}{8p^2}= \frac{4p-4}{p}\cdot \frac{8p^2}{10-10p}\) \(= \frac{4(p-1)}{p}\cdot \frac{8p^2}{10(1-p)}\) \(=\frac{32(p-1)p^2}{-10p(p-1)}\) \(=\frac{\cancelto{16}{32}\cancel{(p-1)}\cancel{p}p}{\cancelto{-5}{-10}\cancel{p}\cancel{(p-1)}}\) \(=-\frac{16}{5}p \).6. A soma de recíprocos de dois números inteiros consecutivos é \( \frac{13}{42} \). Encontre esses números.
Resolução:
Seja \(x\) e \(x+1\) dois números consecutivos. Assim, os seus recíprocos serão, \(\frac{1}{x}\) e \(\frac{1}{x+1}\).Logo a soma dos recíprocos será \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{13}{42}\).
Agora, vamos resolver essa equação de modo a encontrarmos o valor de \(x\).
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{13}{42}\) \(\Rightarrow\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac{13}{42}\) \( \Rightarrow 13\cdot (x^2+x)=42\cdot (2x+1)\) \(\Rightarrow 13x^2+13x-84x-42=0\) \(\Rightarrow 13x^2-71x-42=0\).
Em seguida vamos resolver esta equação quadrática, usando a fórmula resolvente.
Começamos por determinar o valor do delta.
\(\Delta=b^2-4ac\) \(=(-71)^2-4\cdot 13 \cdot (-42)\) \(=5041+2184\) \(=7225\).
Depois vamos achar os valores de \(x_1\) e \(x_2\).
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-(-71)+\sqrt{7225}}{2\cdot 13}\) \(=\frac{71+85}{26}\) \(=\frac{156}{26}\) \(=6\).
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-(-71)-\sqrt{7225}}{2\cdot 13}\) \(=\frac{71-85}{26}\) \(=\frac{-14}{26}\) \(=-\frac{7}{13}\).
Daí temos que \(x\) é igual \(6\). Nota que \(-\frac{7}{13}\) não é solução para \(x\), visto que \(x\) é um número inteiro.
Entretanto, os números procurados são \(6\) e \(7\).
7. O Manuel tem uma máquina fotográfica que tira chapas \( 6 \) por \( 9 \) ( \( 6cm \) de largura e \( 9 \) de comprimento ). Que largura deverá ter uma ampliação se o comprimento tiver \( 18cm \)?
Resolução:
Pela interpretação do enunciado podemos concluir que:\[ \begin{align*} 6cm &\longrightarrow x\\ 9cm &\longrightarrow 18cm \end{align*}\]
Agora apartir da regra dos três simples, teremos:
\( 9cm \cdot x = 6cm \cdot 18cm \) \(\Rightarrow x=\frac{6cm \cdot 18cm}{9cm}\) \( x = 12cm \).
Entretanto, a largura da chapa deverá ser de \(12cm\).
8. Na figura o segmento \(AB\) é paralelo ao segmento \( CD \). Identifique dois pares de ângulos congruentes e as medidas dos respectivos ângulos.
Resolução:
Atraves da figura deste exercício podemos chegar a conclusão que:\( \angle{EDC} \cong \angle{FAB} \) \( \Rightarrow \angle{EDC}=\angle{FAB}=64°\).
\( \angle{ADC} \cong \angle{BAD} \) \( \Rightarrow \angle{ADC}=\angle{BAD}=116°\).
Entretanto, a alternativa é \(C\).
9. A Vila de Gondola gastou \( 25 \) milhões de meticais para a recolha de lixo em \( 2002 \) e em \( 2003 \) a mesma vila gastou \( 20 \) milhões de meticais para os mesmos fins. Qual foi a variação dos gastos?
Resolução:
Interpretando o problema desta questão chegamos a seguinte conclusão:\[ \begin{align*} 25 milhões &\longrightarrow 100\% \\ 20 milhões &\longrightarrow x \end{align*} \]
Logo com base na regra de três simples temos que:
\( 25 \cdot x = 20 \cdot 100\% \) \( \Rightarrow x=\frac{2000\%}{25} \) \( \Rightarrow x=80\% \).
Agora vamos achar a variação: \(80\%-100\%=-20\% \).
Entretanto, os gastos desceram em \(20\%\).
10. Qual dos seguintes números é raíz do polinómio \( p(x)=x^3+2x^2-7x-2 \).
Resolução:
Uma raíz de um polinómio é o valor que anula o polinómio ao ser subistituido na variável do polinómio.Assim, basta substituir cada um dos números das alternativas e verificar qual anula o polinómio desta questão.
A) \( P(-3)\) \(=(-3)^3+2\cdot (-3)^2-7\cdot (-3)-2 \) \(=-27+18+21-2\) \(=-29+39\) \(=10\).
A alternativa \(A\) não é zero do polinómio.
B) \(P(2)\) \(=2^3+2\cdot 2^2-7\cdot 2-2\) \(=8+8-14-2\) \(=0\).
A alternativa \(B\) é raíz do polinómio porque ao substituirmos \(x\) por \(2\) o resultado do polinómio é zero.
C) \(P(-2)\) \(=(-2)^3+2\cdot (-2)^2-7\cdot (-2)-2 \) \(=-8+8-14-2\) \(=12\).
A alternativa \(C\) não é raíz do polinómio.
D) \(P(-1)\) \(=(-1)^3+2\cdot (-1)^2-7\cdot (-1)-2 \) \(=-1+2+7-2\) \(=6\).
A alternativa \(D\) não é zero do polinómio.
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Se tiver alguma duvida ou sugestão sobre a resolução destas questões do exame de admissão de matemática da UEM de 2005 é só comentar e EU ajudo. Deixe a sua impressão!!!
Bons estudos a todos, e sucessos.
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