Resoluções de Análise Matemática, Demidovitch Cap. I Ex.23

23. A função \( f(x) \), determinada no campo simetrico \(-l \lt x \lt l\), chama-se par, se \(f(-x)=f(x)\), e impar, se \(f(-x)=-f(x)\).
Verificar quais das funções dadas são pares e quais são impares:
a) \( f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x});\)
Resolução:
\( f(-x)=\frac{1}{2}[a^{-x}+a^{-(-x)}] =\frac{1}{2}(a^{-x}+a^x) =\frac{1}{2}(a^x+a{-x}). \)
Entretanto, \( f(x)=f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é par.

b) \( f(x)=\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\)
Resolução:
\(f(-x)=\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}\) \(= \sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}\) \(=-(-\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2}) \) \(=-(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})=-f(x) \)

Entretanto, \( f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é impar.

c) \( f(x)=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}\)
Resolução:
\(f(-x)=\sqrt[3]{(-x+1)^2}+\sqrt[3]{(-x-1)^2} \) \(= \sqrt[3]{[-(x-1)]^2}+\sqrt[3]{[-(x+1)]^2} \) \(=\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2} \) \(=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}=f(x) \)
Entretanto, \( f(x)=f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é par.

d) \( f(x)=lg \frac{1+x}{1-x}\)
Resolução:
\(f(-x)=lg \frac{1+(-x)}{1-(-x)}\) \(=lg \frac{1-x}{1+x}=lg(\frac{1+x}{1-x})^{-1}\) \(=-lg \frac{1+x}{1-x}=-f(x) \)
Entretanto, \( f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é impar.

e) \( f(x)=lg (x+\sqrt{1+x^2}) \)
Resolução:
\(f(-x)=lg [-x+\sqrt{1+(-x)^2}]\) \(=lg[-x+ \sqrt{1+x^2}\) \(=lg \frac{(-x+\sqrt{1+x^2})(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}+x}\) \(=lg \frac{(\sqrt{1+x^2})^2-x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}\) \(=lg \frac{1+x^2-x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}\) \(=lg \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \) \(=lg (x+\sqrt{1+x^2}){-1}\) \(=-lg(x+\sqrt{1+x^2})=-f(x) \)
Entretanto, \( f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x) \) é impar.