Resoluções de Análise Matemática, Demidovitch Cap. I Ex.23

23. A função $f(x)$, determinada no campo simetrico $-l \lt x \lt l$, chama-se par, se $f(-x)=f(x)$, e impar, se $f(-x)=-f(x)$.
Verificar quais das funções dadas são pares e quais são impares:
a) $f(x)=\frac{1}{2}(a^x+a^{-x});$
Resolução:
$f(-x)=\frac{1}{2}[a^{-x}+a^{-(-x)}] =\frac{1}{2}(a^{-x}+a^x) =\frac{1}{2}(a^x+a{-x}).$
Entretanto, $f(x)=f(-x) \Longrightarrow f(x)$ é par.

b) $f(x)=\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}$
Resolução:
$f(-x)=\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}$ $= \sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}$ $=-(-\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2})$ $=-(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})=-f(x)$

Entretanto, $f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x)$ é impar.

c) $f(x)=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}$
Resolução:
$f(-x)=\sqrt[3]{(-x+1)^2}+\sqrt[3]{(-x-1)^2}$ $= \sqrt[3]{[-(x-1)]^2}+\sqrt[3]{[-(x+1)]^2}$ $=\sqrt[3]{(x-1)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2}$ $=\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{(x-1)^2}=f(x)$
Entretanto, $f(x)=f(-x) \Longrightarrow f(x)$ é par.

d) $f(x)=lg \frac{1+x}{1-x}$
Resolução:
$f(-x)=lg \frac{1+(-x)}{1-(-x)}$ $=lg \frac{1-x}{1+x}=lg(\frac{1+x}{1-x})^{-1}$ $=-lg \frac{1+x}{1-x}=-f(x)$
Entretanto, $f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x)$ é impar.

e) $f(x)=lg (x+\sqrt{1+x^2})$
Resolução:
$f(-x)=lg [-x+\sqrt{1+(-x)^2}]$ $=lg[-x+ \sqrt{1+x^2}$ $=lg \frac{(-x+\sqrt{1+x^2})(x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}+x}$ $=lg \frac{(\sqrt{1+x^2})^2-x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}$ $=lg \frac{1+x^2-x^2}{x+\sqrt{1+x^2}}$ $=lg \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$ $=lg (x+\sqrt{1+x^2}){-1}$ $=-lg(x+\sqrt{1+x^2})=-f(x)$
Entretanto, $f(x)=-f(-x) \Longrightarrow f(x)$ é impar.