RESOLUÇÃO EXERCICIO 1-14 - UEM - 2016

1. Dados os conjuntos numéricos em \(I\!R\), onde \(A=]-14;11]\), \(B=\{x:3\le x \lt 17\} \) e \( U=]-18;18]\). O conjunto complementar da reunião de \(A\) com \(B\) é dada por:

Resolução:

\(A=]-14;11]\) e \(B=[3;17[\)

Assim, \(A\cup B=]-14;17[\)
\( \overline{A \cup B} = ]-18;-14] \cup [17;18]\).

2. Simplificando a expressão \(\sqrt{(\sqrt{59}-\sqrt{34})(\sqrt{59}+\sqrt{34})}\) obtém-se:

Resolução:

\(\sqrt{(\sqrt{59}-\sqrt{34})(\sqrt{59}+\sqrt{34})}\) \(\sqrt{(\sqrt{59})^2-(\sqrt{34})^2}\) \(=\sqrt{59-34}\) \(=\sqrt{25}\) \(=5\).

3. QUESTÃO ANULADA

4. A negação da proposição \( \forall x\in I\!R\), \(|x|\gt 1\) é:

Resolução:

\(\forall x\in I\!R : |x| \gt 1\) \( \Rightarrow \forall x\in I\!R: x\in ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\)
Como a negação de \(\forall\) é \(\exists\), então teremos:
\(\exists ! x\in I\!R: x\in [-1;1]\).

5. Sejam dados os números \(a=1,2\); \(b=\sqrt{2,25}\) e \(c=\frac{615}{500}\). Qual das afirmações é corrects?

Resolução:

\(a=1,2\), \(b=\sqrt{2,25}=1,5\) e \(\frac{615}{500}=1,23\)
Entretanto, \( a \lt c\lt b \).

6. O valor \(\sqrt{\frac{25}{4}-4}\) é igual a:

Resolução:

\(\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{4\cdot 4}{4}}\) \(=\sqrt{\frac{25-16}{4}}\) \(=\sqrt{\frac{9}{4}}\) \(=\frac{3}{2}\)

7. Se \(x=-3\) e \(y=2\), do gráfico abaixo, o ponto que representa a localização \((-x;-y)\) é:

Resolução:

\((-x;-y)\) \(\Rightarrow (-(-3);-2)\) \(\Rightarrow (3;-2)\) \(\Rightarrow Q\).

8. O gráfico de uma função par definida num intervalo fechado \([-a;a]\) de um sistema de coordenadas cartesianas é:

Resolução:

Simétrico em relação ao eixo das ordenadas. (Ver Resolução do exercicio 29).

9. Qual é o domínio da expressão \(\frac{x+1}{x^2-1}\)?

Resolução:

Primeiro classificamos a expressão: Racional Fraccionária.
O que significa que o denominador deve ser diferente de zero.
Assim, \(x^2-1\ne 0\) \(\Rightarrow x^2\ne 1\) \(\Rightarrow x\ne \pm \sqrt{1}\) \(\Rightarrow x \ne \pm 1\).
Entretanto, \( D:x\in ]-\infty;-1[\cup]-1;1[\cup]1;+\infty[\).

10. Sejam definidas as funções \(f(x)=3x-11\) e \(g(x)=3x+11\). Então os seus gráficos:

Resolução:

Como os coeficientes angular das duas funções são iguais, então os gráficos delas são duas retas paralelas.

11. Uma mercadoria no valor de \(MZN 460,00\) sofreu um desconto e teve o seu preço reduzido para \(MZN 331,20\). A taxa de redução utilizada no desconto é:

Resolução:

Como trata-se de desconto então o valor descontado é: \(460,00-331,20=128,8\).
Assim, o valor inicial de \(460,00\) corresponde a \(100\%\) e o valor descontado corresponde a \(x\), uma vez o esse é o valor procurado, mas em percentagem.

Entretanto, \( x=\frac{128,8}{460,00}\cdot 100\%\) \(x=28\%\).

12. A solução da inequação \(\frac{1}{2-x}+\frac{3}{2+x} \lt 1\) é:

Resolução:

\(\frac{1}{2-x}+\frac{3}{2+x} \lt 1\) \(\Rightarrow \frac{1\cdot (2+x)}{(2-x)(2+x)}+\frac{3\cdot (2-x)}{(2+x)(2-x)} -\frac{(2+x)(2-x)}{(2+x)(2-x)} \lt 0\) \(\Rightarrow \frac{2+x+6-3x-4+x^2}{(2+x)(2-x)} \lt 0\) \(\Rightarrow \frac{x^2-2x+4}{-x^2+4} \lt 0\).

Agora, avaliando o numerador temos que \(\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 4=-12 \lt 0\) e como o valor de \(a\) é positivo, então a parabola esta voltada para cima e não toca no eixo dos \(xx\), porque não tem zeros( \(\Delta \lt 0\) ). Assim, o numerador é sempre positivo em todo o seu dominio.

Visto que o numerador é todo positivo, então basta encontrarmos a parte negativa do denominador para termos a solução.


Agora, avaliando o denominador verificamos que ela tem como zeros \(x_1=-2\) e \(x_2=2\), e sendo o valor de \(a\) negativo, a parabola esta virada para baixo. Assim, o denominador é negativo em \(]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[\). A parte positiva do denominador não nos interessa.

13. QUESTÃO ANULADA

14. Resolva a inequação \((\frac{2}{3})^{9-x^2} \gt 1\).

Resolução:

\((\frac{2}{3})^{9-x^2} \gt 1\) \(\Rightarrow (\frac{2}{3})^{9-x^2} \gt (\frac{2}{3})^0\), pois para qualquer \(a^0=1\).
Agora, como as bases são iguais, então:
\(9-x^2\lt 0\), nota que alteramos o sinal de desigualidade pois \(\frac{2}{3} \lt 1\).

Agora, nota que \(9-x^2\) é uma expressão quadratica e cujos zeros são \(x=\pm 3\) e a sua parabola do gráfico esta voltada para baixo porque \(a\lt 0\).
Entretanto, \(9-x^2\) é negativo ou menor que zero quando \( x\in ]-\infty;-3[\cup]3;+\infty [\).

Já sabe, qualquer duvida ou sugestão deixe o seu comentario. Bons estudos