RESOLUÇÃO EXERCICIO 1-14 - UEM - 2016

1. Dados os conjuntos numéricos em $I\!R$, onde $A=]-14;11]$, $B=\{x:3\le x \lt 17\}$ e $U=]-18;18]$. O conjunto complementar da reunião de $A$ com $B$ é dada por:

Resolução:

$A=]-14;11]$ e $B=[3;17[$

Assim, $A\cup B=]-14;17[$
$\overline{A \cup B} = ]-18;-14] \cup [17;18]$.

2. Simplificando a expressão $\sqrt{(\sqrt{59}-\sqrt{34})(\sqrt{59}+\sqrt{34})}$ obtém-se:

Resolução:

$\sqrt{(\sqrt{59}-\sqrt{34})(\sqrt{59}+\sqrt{34})}$ $\sqrt{(\sqrt{59})^2-(\sqrt{34})^2}$ $=\sqrt{59-34}$ $=\sqrt{25}$ $=5$.

3. QUESTÃO ANULADA

4. A negação da proposição $\forall x\in I\!R$, $|x|\gt 1$ é:

Resolução:

$\forall x\in I\!R : |x| \gt 1$ $\Rightarrow \forall x\in I\!R: x\in ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$
Como a negação de $\forall$ é $\exists$, então teremos:
$\exists ! x\in I\!R: x\in [-1;1]$.

5. Sejam dados os números $a=1,2$; $b=\sqrt{2,25}$ e $c=\frac{615}{500}$. Qual das afirmações é corrects?

Resolução:

$a=1,2$, $b=\sqrt{2,25}=1,5$ e $\frac{615}{500}=1,23$
Entretanto, $a \lt c\lt b$.

6. O valor $\sqrt{\frac{25}{4}-4}$ é igual a:

Resolução:

$\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{4\cdot 4}{4}}$ $=\sqrt{\frac{25-16}{4}}$ $=\sqrt{\frac{9}{4}}$ $=\frac{3}{2}$

7. Se $x=-3$ e $y=2$, do gráfico abaixo, o ponto que representa a localização $(-x;-y)$ é:

Resolução:

$(-x;-y)$ $\Rightarrow (-(-3);-2)$ $\Rightarrow (3;-2)$ $\Rightarrow Q$.

8. O gráfico de uma função par definida num intervalo fechado $[-a;a]$ de um sistema de coordenadas cartesianas é:

Resolução:

Simétrico em relação ao eixo das ordenadas. (Ver Resolução do exercicio 29).

9. Qual é o domínio da expressão $\frac{x+1}{x^2-1}$?

Resolução:

Primeiro classificamos a expressão: Racional Fraccionária.
O que significa que o denominador deve ser diferente de zero.
Assim, $x^2-1\ne 0$ $\Rightarrow x^2\ne 1$ $\Rightarrow x\ne \pm \sqrt{1}$ $\Rightarrow x \ne \pm 1$.
Entretanto, $D:x\in ]-\infty;-1[\cup]-1;1[\cup]1;+\infty[$.

10. Sejam definidas as funções $f(x)=3x-11$ e $g(x)=3x+11$. Então os seus gráficos:

Resolução:

Como os coeficientes angular das duas funções são iguais, então os gráficos delas são duas retas paralelas.

11. Uma mercadoria no valor de $MZN 460,00$ sofreu um desconto e teve o seu preço reduzido para $MZN 331,20$. A taxa de redução utilizada no desconto é:

Resolução:

Como trata-se de desconto então o valor descontado é: $460,00-331,20=128,8$.
Assim, o valor inicial de $460,00$ corresponde a $100\%$ e o valor descontado corresponde a $x$, uma vez o esse é o valor procurado, mas em percentagem.

Entretanto, $x=\frac{128,8}{460,00}\cdot 100\%$ $x=28\%$.

12. A solução da inequação $\frac{1}{2-x}+\frac{3}{2+x} \lt 1$ é:

Resolução:

$\frac{1}{2-x}+\frac{3}{2+x} \lt 1$ $\Rightarrow \frac{1\cdot (2+x)}{(2-x)(2+x)}+\frac{3\cdot (2-x)}{(2+x)(2-x)} -\frac{(2+x)(2-x)}{(2+x)(2-x)} \lt 0$ $\Rightarrow \frac{2+x+6-3x-4+x^2}{(2+x)(2-x)} \lt 0$ $\Rightarrow \frac{x^2-2x+4}{-x^2+4} \lt 0$.

Agora, avaliando o numerador temos que $\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 4=-12 \lt 0$ e como o valor de $a$ é positivo, então a parabola esta voltada para cima e não toca no eixo dos $xx$, porque não tem zeros( $\Delta \lt 0$ ). Assim, o numerador é sempre positivo em todo o seu dominio.

Visto que o numerador é todo positivo, então basta encontrarmos a parte negativa do denominador para termos a solução.


Agora, avaliando o denominador verificamos que ela tem como zeros $x_1=-2$ e $x_2=2$, e sendo o valor de $a$ negativo, a parabola esta virada para baixo. Assim, o denominador é negativo em $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$. A parte positiva do denominador não nos interessa.

13. QUESTÃO ANULADA

14. Resolva a inequação $(\frac{2}{3})^{9-x^2} \gt 1$.

Resolução:

$(\frac{2}{3})^{9-x^2} \gt 1$ $\Rightarrow (\frac{2}{3})^{9-x^2} \gt (\frac{2}{3})^0$, pois para qualquer $a^0=1$.
Agora, como as bases são iguais, então:
$9-x^2\lt 0$, nota que alteramos o sinal de desigualidade pois $\frac{2}{3} \lt 1$.

Agora, nota que $9-x^2$ é uma expressão quadratica e cujos zeros são $x=\pm 3$ e a sua parabola do gráfico esta voltada para baixo porque $a\lt 0$.
Entretanto, $9-x^2$ é negativo ou menor que zero quando $x\in ]-\infty;-3[\cup]3;+\infty [$.

Já sabe, qualquer duvida ou sugestão deixe o seu comentario. Bons estudos