Resolução Exame da 12ª Classe - 2014 - 1ª época

1. Qual das expressões é uma preposição?

Resolução:

Primeiro devemos saber o que é uma preposição?
Uma proposição é uma declaração que pode ser verdadeira ou falsa, mas não ambas. Por exemplo, "Hoje é sexta-feira" é uma proposição. Esta declaração pode ser verdadeira ou falsa, mas não ambas. É comum definir uma notação abreviada para proposições: Seja P a proposição "Hoje é sexta-feira". Se a afirmação for verdadeira, então P tem valor logico verdadeiro. Se for falso, então P tem valor logico falso.

Agora, analisando as alternativas desta questão, podemos afirmar que:
$A) \quad 5\gt 8$ é falsa. Entretanto, $5\gt 8$ é uma preposição.
$B) \quad 3x-7$, é uma expressão que não tem valor lógico, isto é; não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Logo não é uma preposição.
$C) \quad x+5\lt 0$, esta inequação linear não tem valor lógico porque não sabemos qual é o valor de $x$, visto que ela depende de $x$. Entretanto, não é preposição.
$D\quad \sqrt{4}+5$, não tem valor lógico, não é falsa e nem é verdadeira. Logo não é uma preposição.

2. Sendo $p$ e $q$ duas proposições falsas, qual é a preposição verdadeira?

Resolução:

Vamos analisar cada uma das alternativas.
$A) \quad p \wedge q = F \wedge F = F$
$B) \quad p \vee q = F \vee F = F$
$C) \quad ~(p \Rightarrow q) =~(F\Rightarrow F)=~V=F$
$D) \quad ~(p\vee q)=~(F\vee F)=~F=V$.

3. Qual das expressões é algébrica irracional?

Resolução:

Se numa expressão algébrica tivermos uma raiz em que dentro dessa raíz existe uma ou mais variáveis ​​(ou se tivermos uma variavel elevada a um numero fracionário) na expressão então essa expressão denomina-se algébrica irracional.

Entretanto, a expressão algébrica irracional é a da alternativa $C \quad \sqrt{x+7}$.
NOTA: Na alternativa $B$ temos uma raíz, mas dentro desta raíz não tem variável. Daí que ela não é uma expressão algébrica irracional.

4. Qual é o domínio de existência da expressão $\frac{1}{x}+\sqrt{x}$?

Resolução:
Os valores das variáveis, para os quais a expressão algébrica faz sentido, são chamados de valores permitidos da variável. O conjunto de todos os valores permitidos da variável ​​é chamado domínio da expressão algébrica.

As expressões fracionárias não fazem sentido para valores de variáveis, que convertem o denominador em zero.
Assim, a expressão fracionária $\frac{1}{x}$ tem sentido para todos $x$, além de $x = 0$, isto é, $x\ne 0$.
A expressão irracional não faz sentido para todos os valores da variável, que tornam a expressão negativa sob a raiz de indice par.
Assim, a expressão irracional $\sqrt{x}$ faz sentido apenas para aqueles $x\ge 0$.

Mas como já tinhamos visto que $x\ne 0$, então o domínio é: $x\gt 0$.

5. Qual é a expressão simplificada de $\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x^3-4x}$?

Resolução:

Como no denominador o $x$ é um factor comum, então:
$\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x^3-4x}$ $=\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x(x^2-4)}$ e visto que $x^2-4$ é uma diferença de quadrados então teremos:
$=\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x(x-2)(x+2)}$. Em seguida vamos dividir o polinomio do numerador por $x-2$ usando a regra de Ruffini.

$\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x-2} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 2 & 1 & -8 & -4\\ \hline 2 & \downarrow & 4 & 10 & 4\\ \hline & 2 & 5 & 2 & 0\\ \hline \end{array}$
Como o resto da divisão é zero, daí temos que: $\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x-2}=2x^2+5x+2$.

Em seguida vamos fazer o mesmo processo para $x+2$.
$\frac{2x^2+5x+2}{x+2}$
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 2 & 5 & 2\\ \hline -2 & \downarrow & -4 & -2\\ \hline & 2 & 1 & 0\\ \hline \end{array}$
Aqui também o resto da divisão dos dois polinómios é zero, então o resultado desta divisão é: $\frac{2x^2+5x+2}{x+2}=2x+1$

Entretanto, $\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x(x-2)(x+2)}$ $=\frac{2x+1}{x}$.

6. Qual é a solução da equação $25^x+5^x=2$?

Resolução:

Nota que $25=5^2$, então podemos transformar a equação para:
$(5^2)^x+5^x=2$ $\Rightarrow (5^x)^2+5^x=2$, agora vamos transformar esta equação exponencial em uma equação quadratica, para tal fazemos o seguinte:
Seja $5^x=t$, então:
$(5^x)^2+5^x=2$ $\Rightarrow t^2+t=2$ $\Rightarrow t^2+t-2=0$.
Em seguida vamos resolver esta equação quadratica:
$a=1$; $b=1$ e $c=-2$
Agora vamos achar o valor do $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$ $=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)$ $=1+8$ $=9$.
Depois de termos encontrado o valor de $\Delta$, vamos calcular os valores de $t_1$ e $t_2$.
$t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ $=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}$ $=\frac{-1+3}{2}$ $=\frac{2}{2}$ $=1$.
$t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ $=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 1}$ $=\frac{-1-3}{2}$ $=\frac{-4}{2}$ $=-2$.

Como ja determinamos os valores de $t$, então podemos achar os valores de $x$.
$5^x=t$ $\Rightarrow 5^x=t_1 \vee 5^x=t_2$ $\Rightarrow 5^x=1 \vee 5^x=-2$ $\Rightarrow x=0 \vee x\in \emptyset$ $\Rightarrow x=0$.

7. Qual é a solução da inequação $\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}\ge 0$?

Resolução:

Para resolver uma inequação fraccionaria devemos ter $0$ no segundo membro (neste caso já está facilitado para nós). E no primeiro membro devemos ter uma unica fracção.
Assim, vamos transformar o primeiro membro em um unica fracção:
$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}\ge 0$ $\Rightarrow \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\ge 0$ $\Rightarrow \frac{2x-2-x-1}{(x-1)(x+1)}\ge 0$ $\Rightarrow \frac{x-3}{(x-1)(x+1)}\ge 0$.

Agora vamos calcular os zeros do numerador e o denominador.
$x-3=0$ $\Rightarrow x=3$; $x+1=0$ $\Rightarrow x=-1$ e $x-1=0$ $\Rightarrow x=1$.

Depois vamos elaborar a tabela de sinais para determinarmos os intervais onde a dada inequação é maior ou igual a zero.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & ]-\infty; -1[ & 1 & ]-1;1[ & 1 & ]1;3[ & 3 & ]3;+\infty[\\ \hline x-3 & - & -4 & - & -2 & - & 0 & +\\ \hline x-1 & - & -2 & - & 0 & + & 2 & +\\ \hline x+1 & - & 0 & + & 2 & + & 4 & +\\ \hline \frac{x-3}{(x-1)(x+1)} & - & \nexists & + & \nexists & - & 0 & +\\ \hline \end{array}$

Ao fazermos a leitura da tabela para valores de $x$ que satisfazem a inequação temos que: $x\in ]-1;1[\cup [3;+\infty[$.

8. Sendo $sen x=cos x$ com $x\in 1°$ Quadrante, qual é o valor de $x$?

Resolução:

Atraves da tabela dos ângulos principais do $1°$ Quadrante podemos determinar o valor de $x$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90°\\ \hline sen x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \cos x & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline \end{array}$
Ao analisarmos a tabela podemos notar que $sen 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e que $cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Assim, podemos concluir que $x=45°$.
Agora devemos converter o valor de $x$, de graus para radianos.
Como, $\pi \to 180°$ e $x\to 45°$, então atraves da regra de tres simples teremos que: $x\cdot 180°=\pi \cdot 45°$ $\Rightarrow x=\frac{\pi \cdot 45°}{180°}$ $=\frac{\pi}{4}$.

9. A que é igual $\frac{1-sen^2 x}{senx cosx}$?

Resolução:

Como no numerador temos $1-sen^2 x$, então vamos usar o principio fundamental da trigonometria: $sen^2x+cos^2x=1$ $\Rightarrow cos^2x=1-sen^2x$. Em seguida vamos substituir esse valor na expressão dada.
$\frac{1-sen^2 x}{senx cosx}$ $= \frac{cos^2x}{senx cosx}$ $= \frac{cosx\cdot cosx}{senx cosx}$ $=\frac{cosx}{senx}$ $=cotgx$

10. Considere a afirmação "Conjunto de valores de $x$ que se encontram a $2$ unidades de $-4$". Qual é a correcta tradução simbólica da afirmação?

Resolução:

Em outras palavras o enunciado deste exercício afirma que a distância entre $x$ e $-4$ é igual a $2$.
Sabendo que para achar a distância entre dois valores, basta subtrai-los e achar o seu módulo, pois uma distância nunca pode ser dada por um valor negativo.
Entretanto, a distância entre $x$ e $-4$ é dada por: $|x-(-4)|=2$ $\Rightarrow |x+4|=2$.

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