Resolução Exame da 12ª Classe - 2014 - 1ª época

1. Qual das expressões é uma preposição?

Resolução:

Primeiro devemos saber o que é uma preposição?
Uma proposição é uma declaração que pode ser verdadeira ou falsa, mas não ambas. Por exemplo, "Hoje é sexta-feira" é uma proposição. Esta declaração pode ser verdadeira ou falsa, mas não ambas. É comum definir uma notação abreviada para proposições: Seja P a proposição "Hoje é sexta-feira". Se a afirmação for verdadeira, então P tem valor logico verdadeiro. Se for falso, então P tem valor logico falso.

Agora, analisando as alternativas desta questão, podemos afirmar que:
\(A) \quad 5\gt 8\) é falsa. Entretanto, \(5\gt 8\) é uma preposição.
\(B) \quad 3x-7\), é uma expressão que não tem valor lógico, isto é; não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Logo não é uma preposição.
\(C) \quad x+5\lt 0\), esta inequação linear não tem valor lógico porque não sabemos qual é o valor de \(x\), visto que ela depende de \(x\). Entretanto, não é preposição.
\(D\quad \sqrt{4}+5\), não tem valor lógico, não é falsa e nem é verdadeira. Logo não é uma preposição.

2. Sendo \(p\) e \(q\) duas proposições falsas, qual é a preposição verdadeira?

Resolução:

Vamos analisar cada uma das alternativas.
\(A) \quad p \wedge q = F \wedge F = F\)
\(B) \quad p \vee q = F \vee F = F\)
\(C) \quad ~(p \Rightarrow q) =~(F\Rightarrow F)=~V=F\)
\(D) \quad ~(p\vee q)=~(F\vee F)=~F=V\).

3. Qual das expressões é algébrica irracional?

Resolução:

Se numa expressão algébrica tivermos uma raiz em que dentro dessa raíz existe uma ou mais variáveis ​​(ou se tivermos uma variavel elevada a um numero fracionário) na expressão então essa expressão denomina-se algébrica irracional.

Entretanto, a expressão algébrica irracional é a da alternativa \(C \quad \sqrt{x+7}\).
NOTA: Na alternativa \(B\) temos uma raíz, mas dentro desta raíz não tem variável. Daí que ela não é uma expressão algébrica irracional.

4. Qual é o domínio de existência da expressão \(\frac{1}{x}+\sqrt{x}\)?

Resolução:
Os valores das variáveis, para os quais a expressão algébrica faz sentido, são chamados de valores permitidos da variável. O conjunto de todos os valores permitidos da variável ​​é chamado domínio da expressão algébrica.

As expressões fracionárias não fazem sentido para valores de variáveis, que convertem o denominador em zero.
Assim, a expressão fracionária \(\frac{1}{x}\) tem sentido para todos \(x\), além de \(x = 0\), isto é, \(x\ne 0\).
A expressão irracional não faz sentido para todos os valores da variável, que tornam a expressão negativa sob a raiz de indice par.
Assim, a expressão irracional \(\sqrt{x}\) faz sentido apenas para aqueles \(x\ge 0\).

Mas como já tinhamos visto que \(x\ne 0\), então o domínio é: \(x\gt 0\).

5. Qual é a expressão simplificada de \(\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x^3-4x}\)?

Resolução:

Como no denominador o \(x\) é um factor comum, então:
\(\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x^3-4x}\) \(=\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x(x^2-4)}\) e visto que \(x^2-4\) é uma diferença de quadrados então teremos:
\(=\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x(x-2)(x+2)}\). Em seguida vamos dividir o polinomio do numerador por \(x-2\) usando a regra de Ruffini.

\( \frac{2x^3+x^2-8x-4}{x-2} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 2 & 1 & -8 & -4\\
\hline
2 & \downarrow & 4 & 10 & 4\\
\hline
& 2 & 5 & 2 & 0\\
\hline
\end{array}\)
Como o resto da divisão é zero, daí temos que: \(\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x-2}=2x^2+5x+2\).

Em seguida vamos fazer o mesmo processo para \(x+2\).
\(\frac{2x^2+5x+2}{x+2}\)
\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& 2 & 5 & 2\\
\hline
-2 & \downarrow & -4 & -2\\
\hline
& 2 & 1 & 0\\
\hline
\end{array}\)
Aqui também o resto da divisão dos dois polinómios é zero, então o resultado desta divisão é: \(\frac{2x^2+5x+2}{x+2}=2x+1\)

Entretanto, \(\frac{2x^3+x^2-8x-4}{x(x-2)(x+2)}\) \(=\frac{2x+1}{x}\).

6. Qual é a solução da equação \(25^x+5^x=2\)?

Resolução:

Nota que \(25=5^2\), então podemos transformar a equação para:
\((5^2)^x+5^x=2\) \(\Rightarrow (5^x)^2+5^x=2\), agora vamos transformar esta equação exponencial em uma equação quadratica, para tal fazemos o seguinte:
Seja \(5^x=t\), então:
\((5^x)^2+5^x=2\) \(\Rightarrow t^2+t=2\) \(\Rightarrow t^2+t-2=0\).
Em seguida vamos resolver esta equação quadratica:
\(a=1\); \(b=1\) e \(c=-2\)
Agora vamos achar o valor do \(\Delta\).
\(\Delta=b^2-4ac\) \(=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)\) \(=1+8\) \(=9\).
Depois de termos encontrado o valor de \(\Delta\), vamos calcular os valores de \(t_1\) e \(t_2\).
\(t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot 1}\) \(=\frac{-1+3}{2}\) \(=\frac{2}{2}\) \(=1\).
\(t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot 1}\) \(=\frac{-1-3}{2}\) \(=\frac{-4}{2}\) \(=-2\).

Como ja determinamos os valores de \(t\), então podemos achar os valores de \(x\).
\(5^x=t\) \(\Rightarrow 5^x=t_1 \vee 5^x=t_2\) \(\Rightarrow 5^x=1 \vee 5^x=-2\) \(\Rightarrow x=0 \vee x\in \emptyset\) \(\Rightarrow x=0\).

7. Qual é a solução da inequação \(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}\ge 0\)?

Resolução:

Para resolver uma inequação fraccionaria devemos ter \(0\) no segundo membro (neste caso já está facilitado para nós). E no primeiro membro devemos ter uma unica fracção.
Assim, vamos transformar o primeiro membro em um unica fracção:
\(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}\ge 0\) \(\Rightarrow \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\ge 0\) \(\Rightarrow \frac{2x-2-x-1}{(x-1)(x+1)}\ge 0\) \(\Rightarrow \frac{x-3}{(x-1)(x+1)}\ge 0\).

Agora vamos calcular os zeros do numerador e o denominador.
\(x-3=0\) \(\Rightarrow x=3\); \(x+1=0\) \(\Rightarrow x=-1\) e \(x-1=0\) \(\Rightarrow x=1\).

Depois vamos elaborar a tabela de sinais para determinarmos os intervais onde a dada inequação é maior ou igual a zero.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-\infty; -1[ & 1 & ]-1;1[ & 1 & ]1;3[ & 3 & ]3;+\infty[\\
\hline
x-3 & - & -4 & - & -2 & - & 0 & +\\
\hline
x-1 & - & -2 & - & 0 & + & 2 & +\\
\hline
x+1 & - & 0 & + & 2 & + & 4 & +\\
\hline
\frac{x-3}{(x-1)(x+1)} & - & \nexists & + & \nexists & - & 0 & +\\
\hline
\end{array}\)

Ao fazermos a leitura da tabela para valores de \(x\) que satisfazem a inequação temos que: \(x\in ]-1;1[\cup [3;+\infty[\).

8. Sendo \(sen x=cos x\) com \(x\in 1°\) Quadrante, qual é o valor de \(x\)?

Resolução:

Atraves da tabela dos ângulos principais do \(1°\) Quadrante podemos determinar o valor de \(x\).
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90°\\
\hline
sen x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\
\hline
\cos x & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\hline
\end{array}\)
Ao analisarmos a tabela podemos notar que \(sen 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\) e que \(cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Assim, podemos concluir que \(x=45°\).
Agora devemos converter o valor de \(x\), de graus para radianos.
Como, \(\pi \to 180°\) e \(x\to 45°\), então atraves da regra de tres simples teremos que: \(x\cdot 180°=\pi \cdot 45°\) \(\Rightarrow x=\frac{\pi \cdot 45°}{180°}\) \(=\frac{\pi}{4}\).

9. A que é igual \( \frac{1-sen^2 x}{senx cosx}\)?

Resolução:

Como no numerador temos \(1-sen^2 x \), então vamos usar o principio fundamental da trigonometria: \(sen^2x+cos^2x=1\) \(\Rightarrow cos^2x=1-sen^2x\). Em seguida vamos substituir esse valor na expressão dada.
\( \frac{1-sen^2 x}{senx cosx}\) \(= \frac{cos^2x}{senx cosx}\) \(= \frac{cosx\cdot cosx}{senx cosx}\) \(=\frac{cosx}{senx}\) \(=cotgx\)

10. Considere a afirmação "Conjunto de valores de \(x\) que se encontram a \(2\) unidades de \(-4\)". Qual é a correcta tradução simbólica da afirmação?

Resolução:

Em outras palavras o enunciado deste exercício afirma que a distância entre \(x\) e \(-4\) é igual a \(2\).
Sabendo que para achar a distância entre dois valores, basta subtrai-los e achar o seu módulo, pois uma distância nunca pode ser dada por um valor negativo.
Entretanto, a distância entre \(x\) e \(-4\) é dada por: \(|x-(-4)|=2\) \(\Rightarrow |x+4|=2\).

Qualquer duvida ou Sugestão, deixe o seu comentário.