Oficina do Estudante

Ir para: 11-20 | 21-30 | 31-40 | 1. O gráfico representa a posição em função do tempo de um corpo que é lançado verticalmente para cima a partir do solo ($g=10m/s^2$). Qual é a velocidade do corpo, no SI, no instante $t=5s$? Solução: Como no instante $t=4s$ o corpo atinge a altura maxima, então nesse instante a velocidade é nula $V_M=0$. Agora, do instante $4s$ a $5s$ (de $M$ para $N$) o corpo gasta $1s$. Então, $V_N=V_M-gt$ $\Rightarrow V_N=0-10m/s^2 \cdot 1s$ $=-10m/s$. 2. No sistema abaixo, $M_1=M_2=10kg$ e o coeficiente de atrito cinético entre o bloco $M_1$ e o plano vale $0,1$. Qual é, em unidades SI, a tracção no fio? $g=10m/s^2$ Solução: Atraves da figura que se segue podemos elaborar o seguinte sistema: $\begin{cases} T-f_a=m_1\cdot a \\ P_2-T=m_2\cdot a \\ N-P_1=0 \end{cases}$. Agora, vamos somar as duas primeiras equacoes do sistema: Assim, $\begin{cases} T-f_a+P_2-T=m_1\cdot a + m_2\cdot a \\ N-P_1=0 \end{cases}$ \(\Rightar...

1. Dados os conjuntos numéricos em $I\!R$, onde $A=]-14;11]$, $B=\{x:3\le x \lt 17\}$ e $U=]-18;18]$. O conjunto complementar da reunião de $A$ com $B$ é dada por: Resolução: $A=]-14;11]$ e $B=[3;17[$ Assim, $A\cup B=]-14;17[$ $\overline{A \cup B} = ]-18;-14] \cup [17;18]$. 2. Simplificando a expressão $\sqrt{(\sqrt{59}-\sqrt{34})(\sqrt{59}+\sqrt{34})}$ obtém-se: Resolução: $\sqrt{(\sqrt{59}-\sqrt{34})(\sqrt{59}+\sqrt{34})}$ $\sqrt{(\sqrt{59})^2-(\sqrt{34})^2}$ $=\sqrt{59-34}$ $=\sqrt{25}$ $=5$. 3. QUESTÃO ANULADA 4. A negação da proposição $\forall x\in I\!R$, $|x|\gt 1$ é: Resolução: $\forall x\in I\!R : |x| \gt 1$ $\Rightarrow \forall x\in I\!R: x\in ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$ Como a negação de $\forall$ é $\exists$, então teremos: $\exists ! x\in I\!R: x\in [-1;1]$. 5. Sejam dados os números $a=1,2$; $b=\sqrt{2,25}$ e $c=\frac{615}{500}$. Qual das afirmações é corrects? Resolução: $a=1,2$, \(b=\sqrt{2,25...

15. Qual das proposições propostas é solução da equação $|x-3|=-3$: Resolução: Sabendo que o módulo de qualquer número real é um número positivo, então não existe $x$, tal que $|x-3|=-3$, porque $-3$ é um número negativo. Entretanto, $x\in \emptyset$ 16. A soma de trinta primeiros teremos da sequência $-11;-10;-9;-8;...$ é igual a: Resolução: O primeiro termo é: $a_1=-11$ e a diferença é: $d=a_2-a_2=-10-(-11)=1$. Assim, $a_n=a_1+(n-1)d$ $\Rightarrow a_n=-11+(n-1) \cdot 1$ $\Rightarrow a_n=-11+n-1$ $\Rightarrow a_n=n-12$. Agora teremos que: $S_n=\dfrac{(a_1+a_2)n}{2}$ $\Rightarrow S_{30}=\dfrac{(-11+a_{30})\cdot 30}{2}$ $\Rightarrow S_{30}=(-11+30-12)\cdot 15$ $\Rightarrow S_{30}=105$. 17. Seja a inequação $\sqrt{x+5} \lt 1-x$. A sua solução corresponde a: Resolução: Tratando-se de uma inequação irracional inteira temos que primeiro encontrar o dominio de existência. Sabendo que o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é: \( ...

20. A figura ao lado mostra um triângulo $ABC$ com segmento $AB$ prolongado ate o ponto $D$, o ângulo externo $CBD$ medindo $145°$, e o ângulo $C$ medindo $75°$. A medica do ângulo $CAB$ é: Resolução: Na figura temos quatros $(4)$ ângulos: $\angle{CAB}=?$ $\angle{ABC}=?$ $\angle{BCA}=75°$ $\angle{CBD}=145°$ Ao analisarmos a figura, podemos notar que: $\angle{CBD}+\angle{ABC}=180°$, porque estes dois ângulos são complimentares entre si. Assim, teremos que $\angle{ABC}=180°-\angle{CBD}$ $\Longrightarrow \angle{ABC}=180°-145°$ $\Longrightarrow \angle{ABC}=35°$. Agora, sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180°$, isto é: $\angle{CAB}+\angle{ABC}+\angle{BCA}=180°$. Então, $\angle{CAB}+35°+75°=180°$ $\Longrightarrow \angle{CAB}+110°=180°$ $\Longrightarrow \angle{CAB}=180°-110°$ $\Longrightarrow \angle{CAB}=70°$. 21. QUESTÃO ANULADA Resolução: 22. A solução da equação $\sqrt{(3x-5)^2}=|10-2x|$ é: ...

26. As coordenadas de pontos de interseção de gráficos das funções $y=2-3x$ e $y=2x^2+7x+14$ são: Resolução: Como nos pontos onde os gráficos se interceptam o valor de $y$ deve ser o mesmo para as duas funções, então, podemos concluir que: $2-3x=2x^2+7x+14$ $\Longrightarrow 2x^2+7x+3x+14-2=0$ $\Longrightarrow 2x^2+10x+12=0$ $\Longrightarrow x^2+5x+6=0$ Agora, vamos aplicar a regra do anulamento do produto: $x^2+5x+6=0$ $\Longrightarrow (x+3)(x+2)=0$ $\Longrightarrow x=-3 \vee x=-2$. Agora vamos determinar os valores de $y$. Para $x=-3$ temos: $y(-3)=2-3\cdot (-3)=2+9=11$ Para $x=-2$ temos: $y(-2)=2-3 \cdot (-2)=2+6=8$. Entretanto, as coordenadas dos pontos são: $(-3;11)$ e $(-2;8)$. 27. QUESTÃO ANULADA Resolução: 28. O vertices $V(x;y)$ da parabola definida por $f(x)=x^2-8x+15$ é o ponto: Resolução: Para resolver este exercicio vamos aplicar as seguinte as formulas: $X_v=-\frac{b}{2a}$ e $Y_v=-\frac{\Delta}{4a}$ C...

30. Na figura está representada parte do grafico de uma função $f$ de dominion $I\!R$. A afirmação verdadeira é: Resolução: Se $x$ se aproxima de $a$ através de valores maiores que $a$ ou pela sua direita, escrevemos: $$\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=b$$ Esse limite é chamado de limite lateral à direita de $a$. Se $x$ se aproxima de $a$ através de valores menores que $a$ ou pela sua esquerda, escrevemos: $$\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=b$$ Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de $a$. Assim, com base nessa explicação é facil de observar que quando $x$ se aproxima de $3$ pela sua direita, i.é: $\displaystyle \lim_{x \to 3^+}f(x)=f(3)$. Enquanto que quando $x$ se aproxima de $3$ pela sua esquerda, i.é: $\displaystyle \lim_{x \to 3^-}f(x)\ne f(3)$. 31. O limite da expressão $\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+x-2}$ quando $x \to 1$ é: Resolução: $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+x-2}=$ \(\quad=\displaystyle ...

41. A função inversa de $f(x)=e^{x-1}$ é: Resolução: Primeiro trocamos as variavais: $x=e^{y-1}$ Em seguida vamos isolar o $y$: Para tal, vamos logaritmizar ambos membros. Assim, $\ln x = \ln e^{y-1}$ $\Rightarrow \quad \ln x = (y-1) \cdot \ln e$ $\Rightarrow \quad \ln x = y-1$ $\Rightarrow \quad y = \ln x +1$ 42. A figura ao lado representa a função $y=f(x)$. O valor de $g(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(x)}$ é: Resolução: $g(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(x)}$ $\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(1^-)}$ $\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{0^-}$ $\quad=-\infty$. 43. Na função ao lado $f[f(1)]$ é igual a: Resolução: Como $f(1)=0$ então $f[f(1)]=f(0)=-1$. 44. A primeira derivada é crescents em: Resolução: Uma função é crescente se a sua derivada é positiva, i.e; $f$ é $crescente$ se $f' \gt 0$. Como a segunda derivada de$f$ é a primeira derivada da primeira derivada, ent...