Exame Resolvido da UEM - 2011 -31 a 40
Solução:
Como no ponto de intersecção das duas funções o valor de \(y\) é o mesmo, então, teremos que:
\(a^x=b^x\).
Agora, visto que \(a\ne b\) e qualquer numero elevado a zero é igual a \(1\), então \(x=0\), porque \(a^0=1=b^0\).
Solução:
Diz-se que uma sucessão é crescente se \(U_{n+1}-U_n \gt 0 \) ou decrescente se \(U_{n+1}-U_n \lt 0 \).
Sendo assim, vamos determinar o sinal do valor de \(U_{n+1}-U_n\) de modo a saberemos se é positivo ou negativo, porque dizer maior que zero quer dizer positivo, e menor que zero quer dizer negativo.
Assim, \(U_{n+1}-U_n\) \(=5+e^{-3(n+1)}-(5+e^{-3n})\) \(=\cancel{5}+e^{-3n-3}-\cancel{5}-e^{-3n}\) \(=\frac{1}{e^{3n+3}}-\frac{1}{e^{3n}}\) \(=\frac{1}{e^{3n}\cdot e^3}-\frac{1}{e^{3n}}\) \(=\frac{1-e^3}{e^{3n}\cdot e^3}\).
Como \(1-e^3\) é menor que zero e \(e^{3n}\cdot e^3\) é maior que zero para qualquer \(n \in I\!\!N\), então a expressão \(=\frac{1-e^3}{e^{3n}\cdot e^3}\) é negativa.
Entretanto, \(U_{n+1}-U_n \lt 0 \), isto é, \(U_n\) é decrescente.
Solução:
Ao fazermos m.m.c da expressão \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\) temos: \(\dfrac{x_2}{x_1\cdot x_2}+\dfrac{x_1}{x_1\cdot x_2}\) \(=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}\).
Como \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{3}\) porque é a soma dos zeros da função \(y\).
E \(x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{3}\), porque é o produto dos zeros da função \(y\).
Então, \(\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}\) \(=\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{-2}{3}}\) \(=-\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{-2}\) \(=-\frac{4}{-2}\) \(=2\).
Solução:
O principal "segredo" deste tipo de inequação é que como a base, neste caso \(0,1\) esta entre \(0\) e \(1\), o sinal de desigualdade deve mudar de \(\lt \) para \(\gt\) e vice-versa.
Sendo assim, teremos: \((0,1)^{4x^2-2x-2} \le (0,1)^{2x-3} \) \(\Rightarrow 4x^2-2x-2 \ge 2x-3\) \(\Rightarrow 4x^2-4x+1 \ge 0\).
Solução:
\(\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\ x \cdot y =6 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} \frac{\frac{6}{y}}{y}+\frac{y}{\frac{6}{y}}=\frac{13}{6} \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} \frac{6}{y^2}+\frac{y^2}{6}=\frac{13}{6} \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} 6^2+y^4=13y^2 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} y^4-13y^2+36=0 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} (y^2-4)(y^2-9)=0 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} y^2-4=0 \vee y^2-9=0 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} y^2=4 \vee y^2=9 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} y=\pm 2 \vee y=\pm 3 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} y=\pm 2 \vee y=\pm 3 \\ x = \frac{6}{\pm 2} \vee x = \frac{6}{\pm 3} \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} y=\pm 2 \vee y=\pm 3 \\ x = \pm 3 \vee x =\pm 2 \end{cases}\).
Entretanto, o conjunto solução do sistema é: \((-3;-2) \vee (-2;-3) \vee (2;3) \vee (3;2) \).
Solução:
Sabendo que \(\mathrm{tg}\phi =\frac{\mathrm{sen}\phi}{\cos \phi}\), então, podemos escrever que \(\frac{\mathrm{sen}\phi}{\cos \phi}=-2\) \(\Rightarrow \mathrm{sen}\phi=-2\cos \phi\) \(\Rightarrow \mathrm{sen}\phi+2\cos \phi=0\).
Entretanto, \(\mathrm{sen}\phi+2\cos \phi\) é equivalente a \(0\).
Solução:
Como a recta \(s\) é paralela à recta \(r\) e passa pelo vértice \(V\) da parábola então a sua equação da recta pode ser escrita da seguinte forma:\(y-y_V=a(x-x_V)\), onde \(x_V\) e \(y_V\) são as coordenadas do vértice \(V\) e \(a\) é o declive da recta \(r\) que é igual ao declive da recta \(s\) por serem paralelas.
Sendo assim, basta encontrarmos o ponto \(V\) e o declive da recta \(r\).
1ª: Declive
O declive de uma recta é dada pela seguinte equação: \[a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\].
A partir do gráfico podemos perceber que a recta \(r\) passa pelos pontos, digamos, \(\displaystyle A(-1;0) \) e \(\displaystyle B(0;2) \), sendo assim:
\(a=\dfrac{2-0}{0-(-1)}\) \(=\dfrac{2}{0+1}\) \(=2\).
2&0rdf;: O vértice \(V\) da parábola
Primeiro começamos por achar o valor de \(x_V\) aplicando a formula: \(x_V=\dfrac{x_1+x_2}{2}\), onde \(x_1\) e \(x_2\) são os zeros da equação representada pela parábola.
Assim, \(x_V=\dfrac{-1+3}{2}=1\).
Em seguida vamos determinar o valor de \(y_V\). Para determinar este valor iniciamos por encontrar a equação representada pela parábola e depois substituir o valor de \(x_V\) de modo a termos o valor de \(y_V\).
Determinando a equação quadrática:
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Primeiro vamos determinar o valor de \(a\):
\(f(0)=a[0-(-1)](0-3)\) \(\Rightarrow 2=a\cdot 1 \cdot (-3)\) \(\Rightarrow 2=-3a\) \(\Rightarrow a=-\dfrac{2}{3}\).
Em segundo lugar substituímos o valor de \(a\) e os zeros para encontrarmos a equação quadrática:
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) \(=-\dfrac{2}{3}[x-(-1)](x-3)\) \(=-\dfrac{2}{3}(x+1)(x-3)\).
Agora que já temos a equação quadrática vamos substituir o valor de \(x_V\) de modo a termos o valor de \(y_V\):
\(y_V=f(x_V)=-\dfrac{2}{3}(x_V+1)(x_V-3)\) \(=-\dfrac{2}{3}(1+1)(1-3)\) \(=-\dfrac{2}{3}\cdot 2 \cdot (-2)\) \(=-\dfrac{2}{3}\cdot (-4)\) \(=\dfrac{8}{3}\).
E por fim, vamos determinar a equação da recta \(s\), \(y-y_V=a(x-x_V)\) \(\Rightarrow y-\dfrac{8}{3}=2(x-1)\) \(\Rightarrow y=2x-2+\dfrac{8}{3})\) \(\Rightarrow y=2x+\dfrac{2}{3})\).
Solução:
Seja \(\displaystyle a; b; c \) os lados do primeiro triângulo, e \(\displaystyle a'; b'; c'\) os lados do segundo triângulo.
Agora como os dois triângulos são semelhantes podemos concluir que \(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=\sqrt{\frac{A'}{A}}\) o que implica que \(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=2\), porque \(\sqrt{\frac{24}{6}}=2\).
Assim, para encontrar os valores de \(\displaystyle a'; b'; c'\) primeiro devemos determinar os valores dos lados \(\displaystyle a; b; c \).
Para tal vamos aplicar a formula da area do triângulo. Como o triângulo é rectângulo então um dos lados será a altura do mesmo, digamos \( a=3m\).
Sendo assim, \(A=\dfrac{a\cdot b}{2}\) \(=\dfrac{3 \cdot b}{2} =6\). Dai que \(b=4\).
Para encontrar o valor de \(c\), vamos aplicar o teorema de Pitágoras, uma vez que assumimos que o lado \(a\) é a altura e o lado \(b\) é a base então o lado \(c\) será a hipotenusa do triângulo menor.
Assim, \(c^2=a^2+b^2\) \(\Rightarrow c^2=3^2+4^2\) \(\Rightarrow c=\sqrt{9+16}\) \(\Rightarrow c=5\).
Uma vez que já conseguimos encontrar os valores dos lados do primeiro triângulo podemos aplicar a relação \(\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=2\) de modo a encontrarmos os valores dos lados do segundo triângulo.
\(\frac{a'}{a}=2\) e \(\frac{b'}{b}=2\) e \(\frac{c'}{c}=2\)
\(\frac{a'}{3}=2\) e \(\frac{b'}{4}=2\) e \(\frac{c'}{5}=2\)
\(a'=6\) e \(b'=8\) e \(c'=10\).
Entretanto, os lados do segundo triângulo são: \(\displaystyle 6; 8; 10\).
Solução:
Para esta esta questão o mais fácil é analisar alternativa por alternativa e depois fazer a comparação entre elas.
\(A) \) Para x=2, temos \(x+\dfrac{1}{x}\) \(=2+\dfrac{1}{2}\) \(=2,5\).
\(B) \) Para x=4, temos \(x+\dfrac{1}{x}\) \(=4+\dfrac{1}{4}\) \(=4,25\).
\(C) \) Para x=3, temos \(x+\dfrac{1}{x}\) \(=3+\dfrac{1}{3}\) \(=3,333...\).
\(D) \) Para x=1, temos \(x+\dfrac{1}{x}\) \(=1+\dfrac{1}{1}\) \(=2\).
\(E) \) Para x=5, temos \(x+\dfrac{1}{x}\) \(=5+\dfrac{1}{5}\) \(=5,2\).
Entretanto, o número positivo \(x\) cuja soma com o seu inverso \(\frac{1}{x}\) é mínima é \(1\).
Solução:
\(f[g(2)]=f(2^2+2)\) \(=f(6)\) \(=6-1\) \(=5\).
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