Exame Resolvido UEM - 2011 - 21 a 30

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21. Seja a equação $\mathrm{sen}x=\frac{4}{3}$. No intervalo $[-\pi;\pi]$ a solução é:

Solução:
Sabendo que o contradominio de $y=\mathrm{sen}x$ é $y \in [-1;1]$, então podemos afirmar que a equação $\mathrm{sen}x=\frac{4}{3}$ não tem solução porque $\frac{4}{3} \notin [-1;1]$.

22. O gráfico que representa a função $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ é:

Solução:
Tratando-se de uma função do tipo $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, podemos determinar as assimptotas com base nas seguintes formulas:
A.V.: $x=\frac{-d}{c}$ $=\frac{-(-1)}{1}$ $=1$.
A.H.: $y=\frac{a}{c}$ $\frac{1}{1}$ $=1$.

Entretanto, a alternativa correcta é $A$, pois o gráfico desta alternativa tem como assimptota vertical $x=1$ e assimptota horizontal $y=1$.

23. O contradomínio da função $y=\dfrac{1}{1-x} +2$ é:

Solução:
O contradomínio de uma função é igual ao domínio da inversa dessa função.
Sendo assim, vamos determinar a inversa da função dada.
$x=\dfrac{1}{1-y^{-1}}+2$ $\Rightarrow x-2=\dfrac{1}{1-y^{-1}}$ $\Rightarrow 1-y^{-1}=\dfrac{1}{x-2}$ $\Rightarrow 1-\dfrac{1}{x-2}=y^{-1}$ $\Rightarrow y^{-1}=1-\dfrac{1}{x-2}$.

Agora vamos encontrar o domínio da inversa de $y$.
$x-2\ne 0$ $\Rightarrow x\ne 2$.

Entretanto o ntradomínio de uma função $y$ é $x\in I\!\!R / \{2\}$.

24. A área de um rectângulo, em $cm^2$, cuja diagonal mede $10 cm$ e a soma de dois lados consecutivos $14cm$ é:

Solução:
A diagonal de um rectângulo é a hipotenusa do triângulo formado por dois lados consecutivos. Logos esses dois lados consecutivos são os catetos desse triângulo.
Assim, podemos concluir que: $c_1+c_2=14$ e $h=10$.

Pelo teorema de pitagoras temos que $c_1^2+c_2^2=h^2$ $\Rightarrow c_1^2+c_2^2 +2c_1c_2-2c_1c_2=h^2$ $\Rightarrow (c_1+c_2)^2-2c_1c_2=h^2$ $\Rightarrow 14^2-2c_1c_2=10^2$ $\Rightarrow 196-2c_1c_2=100$ $\Rightarrow -2c_1c_2=100-196$ $\Rightarrow c_1c_2=\frac{-96}{-2}$ $\Rightarrow c_1c_2=48$.

Entretanto a área de um rectângulo, em $cm^2$, é 48. Porque a área de um rectângulo é dada pelo produto de dois lados consecutivos do mesmo.

25. Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte. Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:

Solução:
Vamos avaliar cada afirmação de modo a encontrarmos a que é correcta:

A. O número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse mesmo intervalo de idades.
O número de meninas com, no máximo, 16 anos é igual a $1+2+1$ $=4$.
O número de meninos com, no máximo, 16 anos é igual a $2+1+4$ $=7$.
Logo esta afirmação é incorrecta.

B. O número total de alunos é 19.
O número total de alunos é igual a $1+2+2+1+1+4+3+2+3+1$ $=20$.
Logo esta afirmação tambem é incorrecta.

C. A média de idade das meninas é 15 anos.
A média de idade das meninas é igual a $\frac{1\cdot 14+ 2\cdot 15 + 1\cdot 16+3\cdot 17+3\cdot 18}{1+2+1+3+3}$ $=\frac{14+30+16+51+54}{10}$ $=\frac{165}{10}$ $=16,5$.
Esta afirmação tambem é incorrecta.

D. O número de meninos é igual ao número de meninas.
O número de meninos é igual a $2+1+4+2+1$ $=10$.
O número de meninas é igual a $1+2+1+3+3$ $=10$.
Logo esta é a afirmação correcta.

E. O número de meninos com idade superior a 15 anos é maior que o número de meninas nesse mesmo intervalo de idades.
O número de meninos com idade superior a 15 anos é igual a $4+2+1$ $=7$.
O número de meninas com idade superior a 15 anos é igual a $1+3+3$ $=7$.
Logo esta afirmação é incorrecta.

26. Seja a função $f(x)= x^3-1$. A função tem extremo em:

Solução:
Os extremos de uma função são determinados atraves da sua primeira derivada.
Assim, vamos determinar a primeira derivada de $f(x)$.
$f'(x)= (x^3-1)'$ $=2x^2-0$ $=2x^2$.

Agora ao analisar a primeira derivada da função dada, conseguimos notar que ele é não negativa em todo o seu dominio. Logo isso significa que a função $f(x)$ é crescente em todo o seu dominio.

Entretanto, $f(x)$ não tem extremos.

27. O domínio da função $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ é:

Solução:
Tratando-se de uma função racional fraccionaria, então ela não tem sentido quando o denominador é igual a zero. Sendo assim, podemos concluir que $x^2+1 \ne 0$. Agora, como $x^2+1$ é sempre positivo para qualquer valor real de $x$, então $x^2+1$ é diferente de zero para qualquer valor real de $x$.
Entretanto, o domínio da função $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ é $I\!\!R$.

28. A primeira derivada de $\ln x^2$ é:

Solução:
$(\ln x^2)'=\frac{(x^2)'}{x^2}$ $=\frac{2x}{x^2}$ $=\frac{2}{x}$.

29. É correcta a afirmação:

Solução:
$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3} = \displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^2-3^2}{x+3}$ $=\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$
$= \displaystyle \lim_{x\to -3}{x-3}$ $=-3-3$ $=-6$.

30. O limite $\displaystyle \lim_{x\to \infty}5e^{-x}$ é:

Solução:
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}5e^{-x} = \displaystyle \lim_{x\to \infty}5e^{-\infty}$ $= \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5}{e^{+\infty}}$ $= \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5}{+\infty}$ $= 0$.

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