Exame Resolvido-UEM 2011 - 11 a 20

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11. Das igualdades apresentadas a que é válida para todos os valores de $a$ reais é: $a^2-2a+2=(a-1)(a-2)$

Solução:
Não percebi a logica do exercicio por isso nao resolvi. Quem puder ajudar e bem vindo.

12. O preço de um produto subiu de $20,00 MT$ para $25,00 MT$. Neste caso, o preço subiu:

Solução:
Logicamente que o preço do produto subiu em $5,00 MT$. Mas devemos converter este valor em percentagem.
Assim,
$\begin{align} &20,00 MT &\to &100\% \\ &5,00 MT &\to &x \end{align}$

Agora, ao aplicarmos a regra dos 3 simples temos:
$x=\dfrac{5,00 MT \cdot 100\%}{20,00 MT}$ $=25\%$.

Entretanto, o preço subiu $25 \%$ do valor inicial.

13. A solução da inequação $\dfrac{x+3}{-5} \ge 1$ é:

Solução:
Primeiro devemos transformar a inequação de modo que o segundo membro seja zero.
$\dfrac{x+3}{-5} \ge 1$ $\Rightarrow \dfrac{x+3}{-5} -1\ge 0$

Em seguida vamos transformar o primeiro membro de modo a termos um so termo.
$\dfrac{x+3}{-5} -1\ge 0$ $\Rightarrow \dfrac{x+3-1(-5)}{-5}\ge 0$ $\Rightarrow \dfrac{x+3+5}{-5}\ge 0$ $\Rightarrow \dfrac{x+8}{-5}\ge 0$

Agora ao analisarmos o primeiro membro podemos notar que o numerador deve ser negativo ou igual a zero para que a expressao $\dfrac{x+3+5}{-5}$ seja maior ou igual a zero, porque o denominador ja é negativo.

Assim, $x+8\ge 0$ $\Rightarrow x\ge -8$.

14. A solução da inequação $x^2-9 \ge 0$ é:

Solução:
Como o segundo membro ja é nulo, entao vamos analisar o primeiro membro.
Visto que $x^2-9$ é uma expressao quadratica, cujos zeros sao $-3$ e $3$, e a parabola que a representa é voltada para cima, entao podemos facilmente concluir que $x^2-9$ é maior ou igual a zero quando $x\in ]-\infty;-3]\cup [3;+\infty[$.

15. Sejam $\log_am=p$ e $\log_an=q$. Se $p+q=\log_ax$ e $p-q=\log_ay$, o valor de $m^2$ é:

Solução:
Apartir dos dados que nos sao apresentados podemos elaborar o seguinte sistema de equacoes:
$\begin{cases} p+q=\log_ax \\ p-q=\log_ay \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} \log_am+\log_an=\log_ax \\ \log_am-\log_an=\log_ay \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} \log_amn=\log_ax \\ \log_a{\frac{m}{n}}=\log_ay \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} mn=x \\ \frac{m}{n}=y \end{cases}$.

Por fim vamos multiplicar o as equacoes membro a membro, isto é, $mn \cdot \frac{m}{n}=x \cdot y$ $\Rightarrow m\cdot \cancel{n} \cdot \frac{m}{\cancel{n}}=xy$ $\Rightarrow m \cdot m=xy$ $\Rightarrow m^2=xy$.

16. O número $\dfrac{\log_23}{\log_427}$ é igual a:

Solução:
$\dfrac{\log_23}{\log_427}=\dfrac{\log_23}{\log_{2^2}3^3}$ $=\dfrac{\log_23}{\dfrac{3}{2} \cdot \log_23}$ $=\dfrac{\cancel{\log_23}}{\dfrac{3}{2} \cdot \cancel{\log_23}}$ $=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}$ $=\dfrac{2}{3}$

17. Sendo $x \ne y$, a expressão $\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x+y}$ é equivalente a:

Solução:
$\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x+y}=\dfrac{(x+y)(x+y)}{x+y}$ $=\dfrac{\cancel{(x+y)}(x+y)}{\cancel{x+y}}$ $=x+y$

18. Em relação à $-|x| \lt x$ é correcto afirmar que a solução da inequação é:

Solução:
$\begin{cases} -x \lt x, \quad &se x\ge 0 \\ -(-x) \lt x, \quad &se x\lt 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} 0 \lt x+x, \quad &se x\ge 0 \\ x \lt x, \quad &se x\lt 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} 2x \gt 0, \quad &se x \ge 0 \\ \text{Nao tem sentido}, \quad &se x\lt 0 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} x\gt 0, \quad &se x\ge 0 \\ \text{Nao tem sentido}, \quad &se x\lt 0 \end{cases}$

Entretanto, podemos afirmar que solução da inequação é $x\gt 0$.

19. Seja a equação $|x+5|=-3$. Das seguintes respostas é correcta a alínea:

Solução:
A equção não tem solução. Porque o modulo de qualquer número deve ser maior ou igual a zero.

20. A soma das raízes da equação $|3+x|=2$ é igual a:

Solução:
Primeiro vamos determinar as raízes da equação.
Assim, $|3+x|=2$ $\Rightarrow \begin{cases} 3+x=2 \\ 3+x=-2 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x=2-3 \\ x=-2-3 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=-5 \end{cases}$.

Depois de termos encontrado as raízes da equação basta somar: $-1+(-5)=-1-5=-6$.
Entretanto a soma das raízes da equação é igual a $-6$.

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