EXERCICIOS 25-20 - UEM - 2016
20. A figura ao lado mostra um triângulo \(ABC\) com segmento \(AB\) prolongado ate o ponto \(D\), o ângulo externo \(CBD\) medindo \(145°\), e o ângulo \(C\) medindo \(75°\). A medica do ângulo \(CAB\) é:
Resolução:
Na figura temos quatros \((4)\) ângulos:
\(\angle{CAB}=?\)
\(\angle{ABC}=?\)
\(\angle{BCA}=75°\)
\(\angle{CBD}=145°\)
Ao analisarmos a figura, podemos notar que: \(\angle{CBD}+\angle{ABC}=180°\), porque estes dois ângulos são complimentares entre si.
Assim, teremos que \(\angle{ABC}=180°-\angle{CBD}\) \(\Longrightarrow \angle{ABC}=180°-145°\) \(\Longrightarrow \angle{ABC}=35°\).
Agora, sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a \(180°\), isto é: \(\angle{CAB}+\angle{ABC}+\angle{BCA}=180°\).
Então, \(\angle{CAB}+35°+75°=180°\) \(\Longrightarrow \angle{CAB}+110°=180°\) \(\Longrightarrow \angle{CAB}=180°-110°\) \(\Longrightarrow \angle{CAB}=70°\).
21. QUESTÃO ANULADA
Resolução:
22. A solução da equação \(\sqrt{(3x-5)^2}=|10-2x| \) é:
Resolução:
Como \((3x-5)^2\) é sempre positivo em todo o seu dominio, e o segundo membro tambem o é. Assim, sabendo que \(\sqrt{a^2}=|a|\) teremos que \(\sqrt{(3x-5)^2}=|3x-5|\).Sendo assim, \(\sqrt{(3x-5)^2}=|10-2x|\) \(\Longrightarrow |3x-5|=|10-2x|\).
Agora vamos resolver esta equação modular:
\(3x-5=10-2x \wedge 3x-5=-(10-2x)\)
\(3x+2x=10+5 \wedge 3x-5=-10+2x\)
\(5x=15 \wedge 3x-2x=-10+5\)
\(x=\frac{15}{5} \wedge x=-5\)
\(x=3 \wedge x=-5\)
Portanto, a solução da equação é: \(x \in {-5;3}\)
23. O dominio de existência da função \(y=\ln{(|x-1|-4)}\) é:
Resolução:
Para uma função logaritmica a condição de existência é que o logaritmando deve ser positivo, isto é: \(|x-1|-4 \gt 0|\) \(\Longrightarrow |x-1| \gt 4\).Agora temos uma inequação modular.
Para resolver a inequação modular, vamos aplicar as seguintes condiçōes, considerando \(k\) um numero real não negativo.
1) Se \(|x|\lt k\) então, \(-k\lt x \lt k\)
2) Se \(|x| \gt k \) então, \( x \lt -k \wedge x\gt k\).
Aplicando a condição 2) na inequação modular acima, teremos:
\(|x-1|\gt 4\) \(\Longrightarrow x-1\lt -4 \wedge x-1 \gt 4\) \(\Longrightarrow x\lt -4+1 \wedge x \gt 4+1\) \(\Longrightarrow x\lt -3 \wedge x\gt 5\).
Entretanto, \(x \in ]-\infty;-3[\cup ]5;+\infty[\).
24. As medidas dos lados de um rectângulo \( ABCD\) com \( AB=8cm\) e \(BC=5cm\) são aumentados em \(50\%\). Qual será o aumento percentual da área do rectangulo em comparação com o primeiro?
Resolução:
\(AB=8cm\) \(\Longrightarrow A'B'=8cm+8cm \cdot \frac{50}{100}\) \(\Longrightarrow A'B'=8cm+4cm\) \(\Longrightarrow A'B'=12cm\).\(BC=5cm\) \(\Longrightarrow B'C'=5cm+5cm \cdot \frac{50}{100}\) \(\Longrightarrow B'C'=5cm+\frac{5}{2}cm\) \(\Longrightarrow B'C'=\frac{15}{2}cm\).
Agora vamos achar as áreas dos respectivos rectangulos:
\(A_{\triangle ABCD}=|AB| \cdot |BC|\) \(=8cm \cdot 5cm\) \(=40cm^2 \).
\(A_{\triangle A'B'C'D'}=|A'B'| \cdot |B'C'|\) \(=12cm \cdot \frac{15}{2}cm\) \(=90cm^2\).
Depois de teremos achado as áreas dos rectangulos, vamos achar a área percentual do rectangulo \(A'B'C'D'\) em relação ao rectangulo \(ABCD\).
\(A_{\triangle ABCD} \longrightarrow 100\%\)
\(A_{\triangle A'B'C'D'} \longrightarrow x\)
\(40cm^2 \longrightarrow 100\%\)
\(90cm^2 \longrightarrow x\)
\(\Longrightarrow x=\frac{90cm^2 \cdot 100\%}{40cm^2}\) \(\Longrightarrow x=225\%\).
Agora vamos achar o aumento perceptual:
\(225\% - 100\% \) \(=125\%\).
25. A solução da inequação \( \log_2{(x+5)}-\log_2{(x+2)}\ge1 \) é:
Resolução:
Primeiro vamos aplicar a seguinte regra de logaritmos: \[ \log_a{b}-\log_a{c}=\log_2{\frac{b}{c}}\]
Assim, \(\log_2{(x+5)}-\log_2{(x+2)}\ge1\)
\(\Longrightarrow \log_2{\frac{x+5}{x+2}}\ge1\)
\(\Longrightarrow \log_2{\frac{x+5}{x+2}}\ge \log_2{2}\)
\(\Longrightarrow \frac{x+5}{x+2}\ge2\)
\(\Longrightarrow \frac{x+5}{x+2}-2\ge0\)
\(\Longrightarrow \frac{x+5}{x+2} -\frac{2(x+2)}{x+2}\ge0\)
\(\Longrightarrow \frac{x+5-2x-4}{x+2}\ge0\)
\(\Longrightarrow \frac{-x+1}{x+2}\ge0\)
Daí temos que \(x=1\) e \(x \ne -2\).
Agora o passo seguinte é elaborar a tabela de variação de sinais de modo a encontrarmos o intervalo que satiz faz a inequação.
Entretanto, \(x \in ]-2;1]\).
Qualquer duvida ou sugestão, DEIXE O SEU COMENTARIO.
Obrigado!
Assim quer dizer que o número 25 não tem solução, digo isso porque estou a solução é:XE]-2;1] e não tem essa opção...
ResponderEliminarExactamente o número 25 não tem solução...
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