EXERCICIOS 25-20 - UEM - 2016

20. A figura ao lado mostra um triângulo $ABC$ com segmento $AB$ prolongado ate o ponto $D$, o ângulo externo $CBD$ medindo $145°$, e o ângulo $C$ medindo $75°$. A medica do ângulo $CAB$ é:

Resolução:

Na figura temos quatros $(4)$ ângulos:
$\angle{CAB}=?$

$\angle{ABC}=?$

$\angle{BCA}=75°$

$\angle{CBD}=145°$


Ao analisarmos a figura, podemos notar que: $\angle{CBD}+\angle{ABC}=180°$, porque estes dois ângulos são complimentares entre si.
Assim, teremos que $\angle{ABC}=180°-\angle{CBD}$ $\Longrightarrow \angle{ABC}=180°-145°$ $\Longrightarrow \angle{ABC}=35°$.
Agora, sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180°$, isto é: $\angle{CAB}+\angle{ABC}+\angle{BCA}=180°$.
Então, $\angle{CAB}+35°+75°=180°$ $\Longrightarrow \angle{CAB}+110°=180°$ $\Longrightarrow \angle{CAB}=180°-110°$ $\Longrightarrow \angle{CAB}=70°$.

21. QUESTÃO ANULADA

Resolução:

22. A solução da equação $\sqrt{(3x-5)^2}=|10-2x|$ é:

Resolução:

Como $(3x-5)^2$ é sempre positivo em todo o seu dominio, e o segundo membro tambem o é. Assim, sabendo que $\sqrt{a^2}=|a|$ teremos que $\sqrt{(3x-5)^2}=|3x-5|$.
Sendo assim, $\sqrt{(3x-5)^2}=|10-2x|$ $\Longrightarrow |3x-5|=|10-2x|$.
Agora vamos resolver esta equação modular:
$3x-5=10-2x \wedge 3x-5=-(10-2x)$

$3x+2x=10+5 \wedge 3x-5=-10+2x$

$5x=15 \wedge 3x-2x=-10+5$

$x=\frac{15}{5} \wedge x=-5$

$x=3 \wedge x=-5$


Portanto, a solução da equação é: $x \in {-5;3}$

23. O dominio de existência da função $y=\ln{(|x-1|-4)}$ é:

Resolução:

Para uma função logaritmica a condição de existência é que o logaritmando deve ser positivo, isto é: $|x-1|-4 \gt 0|$ $\Longrightarrow |x-1| \gt 4$.
Agora temos uma inequação modular.

Para resolver a inequação modular, vamos aplicar as seguintes condiçōes, considerando $k$ um numero real não negativo.
1) Se $|x|\lt k$ então, $-k\lt x \lt k$
2) Se $|x| \gt k$ então, $x \lt -k \wedge x\gt k$.

Aplicando a condição 2) na inequação modular acima, teremos:
$|x-1|\gt 4$ $\Longrightarrow x-1\lt -4 \wedge x-1 \gt 4$ $\Longrightarrow x\lt -4+1 \wedge x \gt 4+1$ $\Longrightarrow x\lt -3 \wedge x\gt 5$.

Entretanto, $x \in ]-\infty;-3[\cup ]5;+\infty[$.

24. As medidas dos lados de um rectângulo $ABCD$ com $AB=8cm$ e $BC=5cm$ são aumentados em $50\%$. Qual será o aumento percentual da área do rectangulo em comparação com o primeiro?

Resolução:

$AB=8cm$ $\Longrightarrow A'B'=8cm+8cm \cdot \frac{50}{100}$ $\Longrightarrow A'B'=8cm+4cm$ $\Longrightarrow A'B'=12cm$.

$BC=5cm$ $\Longrightarrow B'C'=5cm+5cm \cdot \frac{50}{100}$ $\Longrightarrow B'C'=5cm+\frac{5}{2}cm$ $\Longrightarrow B'C'=\frac{15}{2}cm$.

Agora vamos achar as áreas dos respectivos rectangulos:
$A_{\triangle ABCD}=|AB| \cdot |BC|$ $=8cm \cdot 5cm$ $=40cm^2$.

$A_{\triangle A'B'C'D'}=|A'B'| \cdot |B'C'|$ $=12cm \cdot \frac{15}{2}cm$ $=90cm^2$.

Depois de teremos achado as áreas dos rectangulos, vamos achar a área percentual do rectangulo $A'B'C'D'$ em relação ao rectangulo $ABCD$.

$A_{\triangle ABCD} \longrightarrow 100\%$
$A_{\triangle A'B'C'D'} \longrightarrow x$


$40cm^2 \longrightarrow 100\%$
$90cm^2 \longrightarrow x$

$\Longrightarrow x=\frac{90cm^2 \cdot 100\%}{40cm^2}$ $\Longrightarrow x=225\%$.

Agora vamos achar o aumento perceptual:
$225\% - 100\%$ $=125\%$.

25. A solução da inequação $\log_2{(x+5)}-\log_2{(x+2)}\ge1$ é:

Resolução:
Primeiro vamos aplicar a seguinte regra de logaritmos: $$\log_a{b}-\log_a{c}=\log_2{\frac{b}{c}}$$

Assim, $\log_2{(x+5)}-\log_2{(x+2)}\ge1$
$\Longrightarrow \log_2{\frac{x+5}{x+2}}\ge1$
$\Longrightarrow \log_2{\frac{x+5}{x+2}}\ge \log_2{2}$
$\Longrightarrow \frac{x+5}{x+2}\ge2$
$\Longrightarrow \frac{x+5}{x+2}-2\ge0$
$\Longrightarrow \frac{x+5}{x+2} -\frac{2(x+2)}{x+2}\ge0$
$\Longrightarrow \frac{x+5-2x-4}{x+2}\ge0$
$\Longrightarrow \frac{-x+1}{x+2}\ge0$

Daí temos que $x=1$ e $x \ne -2$.

Agora o passo seguinte é elaborar a tabela de variação de sinais de modo a encontrarmos o intervalo que satiz faz a inequação.



$\begin{array}{|cccccc|}\hline x& ]-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};-<!--\; -\; -->2[& -<!--\; -\; -->2& ]-<!--\; -\; -->2;1[& 1& ]1;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}[\\ -x+1& +& 3& +& 0& -\\ x+2& -& 0& +& 3& +\\ y& -& \nexists & +& 0& -\\ \hline\end{array}$
Entretanto, $x \in ]-2;1]$.

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