EXERCICIOS 26-29 - UEM - 2016

26. As coordenadas de pontos de interseção de gráficos das funções \(y=2-3x\) e \(y=2x^2+7x+14\) são:

Resolução:
Como nos pontos onde os gráficos se interceptam o valor de \(y\) deve ser o mesmo para as duas funções, então, podemos concluir que:
\(2-3x=2x^2+7x+14\)
\(\Longrightarrow 2x^2+7x+3x+14-2=0\)
\(\Longrightarrow 2x^2+10x+12=0\)
\(\Longrightarrow x^2+5x+6=0\)
Agora, vamos aplicar a regra do anulamento do produto:
\(x^2+5x+6=0\)
\(\Longrightarrow (x+3)(x+2)=0\)
\(\Longrightarrow x=-3 \vee x=-2\).

Agora vamos determinar os valores de \(y\).
Para \(x=-3\) temos:
\(y(-3)=2-3\cdot (-3)=2+9=11\)

Para \(x=-2\) temos:
\(y(-2)=2-3 \cdot (-2)=2+6=8\).

Entretanto, as coordenadas dos pontos são: \((-3;11)\) e \((-2;8)\).

27. QUESTÃO ANULADA

Resolução:

28. O vertices \(V(x;y)\) da parabola definida por \(f(x)=x^2-8x+15\) é o ponto:

Resolução:
Para resolver este exercicio vamos aplicar as seguinte as formulas:
\(X_v=-\frac{b}{2a}\) e \(Y_v=-\frac{\Delta}{4a}\)

Como, trata-se de uma equação quadratica onde: \(a=1; \quad b=-8; \quad c=15\).

Agora vamos substituir esses os dados nas formulas acima.
\(X_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 1}= -\frac{-8}{2}=-(-4)=4\)
\(Y_v=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}\) \(=-\frac{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 15}{4\cdot 1}\) \(=-\frac{64-60}{4}\) \(=-\frac{4}{4}\) \(=-1\)
Entretanto, o ponto que representa o vértice da parabola é \(V(4;-1)\).

29. O gráfico da função \(y=\frac{1}{x^2-4}\) é:

Resolução:
O exercicio na realidade nos pede para determinar o eixo de simetria de \(y\).
Como determinar o eixo de simetria dessa função?
Primeiro, vamos determinar se a função é par. Porque uma função par "é simetrica em relação ao eixo das ordenadas(eixo dos yy)".

Sabendo que a condição de paridade é: \[f(x)=f(-x)\]
Agora vamos aplicar esta condição para verificar. se a dada função é par ou não:
\(f(x)=f(-x)\)
\(\Longrightarrow \frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(-x)^2-4}\)
\(\Longrightarrow \frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{x^2-4}\).

Assim, chegamos a conclusão de que a função é par. Entretanto, a função \(y\) é simetria em relação ao eixo das ordenadas.

TOMAR NOTA!

Imagine que te perguntem para determinar de forma algebrica se "uma dada função é par ou ímpar". Para tal basta introduzir \(-x\) no lugar de \(x\) na função, depois é só simplificar.
Se você achar exatamente a mesma função, isto é, \( f (- x) = f (x)\), então a função dada é par.
Mas se você achar exatamente o oposto da função dada, isto é, se \(f (- x) = -f (x)\), então a dada é ímpar. Em todos os outros casos, a função não é nem impar nem par.

Exemplo:
Determine de forma algébrica se \(f(X) = -3x^2 + 4\) é par, ímpar ou
nenhuma das duas.

Se esboçarmos o grafico desta função, veremos que este "é simétrico em relação ao eixo dos \(yy\)", em outras palavras, qualquer que seja o gráfico esta estará fazendo uma reflexão em relação ao eixo dos \(yy\).

Esse reflexo em relação ao eixo dos \(yy \) é uma característica de funções pares.
Mas a questão nos diz claramente para resolver de forma algébrica, o que significa que não é para fazer com gráficos.
Então vamos substituir \( x\) por \(-x\), e simplificar:
\(f (- x) = -3 (- x)^2 + 4 = -3 x^2 + 4\).

A última expressão é que a inicial, isto significa que \( f (x) \) é par.


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