EXERCICIOS 41-53 - UEM - 2016
41. A função inversa de \(f(x)=e^{x-1}\) é:
Resolução:
Primeiro trocamos as variavais:\(x=e^{y-1}\)
Em seguida vamos isolar o \(y\):
Para tal, vamos logaritmizar ambos membros.
Assim, \(\ln x = \ln e^{y-1} \) \(\Rightarrow \quad \ln x = (y-1) \cdot \ln e\) \(\Rightarrow \quad \ln x = y-1\) \(\Rightarrow \quad y = \ln x +1\)
42. A figura ao lado representa a função \(y=f(x)\). O valor de \(g(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(x)}\) é:
Resolução:
\(g(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(x)}\) \(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(1^-)}\) \(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{0^-}\) \(\quad=-\infty\).43. Na função ao lado \(f[f(1)]\) é igual a:
Resolução:
Como \(f(1)=0\) então \(f[f(1)]=f(0)=-1\).44. A primeira derivada é crescents em:
Resolução:
Uma função é crescente se a sua derivada é positiva, i.e; \(f\) é \(crescente \) se \(f' \gt 0\).Como a segunda derivada de\( f \) é a primeira derivada da primeira derivada, então:
Devemos analisar a concavidade da função \(f\) de modo a termos os intervalos de monótonia.
Assim, \(f'\) é \(crescente\) onde \(f\) tem a concavidade voltada para cima.
Entretanto, \(f'\) é \(crescente\) em \(]-\infty;-2[ \cup ]0;2[ \cup ]2;+\infty[\).
45. A segunda derivada é nula em:
Resolução:
Por definição a segunda derivada de uma função é nula nos seus pontos de inflexão.Em cálculo diferencial , um ponto de inflexão ou simplesmente inflexão, é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem ) troca o sinal . A curva muda de ter curvatura côncava para cima (positiva) para concavidade para baixo (curvatura negativa), ou vice-versa. Pode-se comparar com a condução de um veículo ao longo de uma estrada sinuosa, sendo o ponto de inflexão aquele em que o volante é momentaneamente "endireitado" quando a curva muda da esquerda para a direita ou vice-versa.
Entretanto, apartir da leitura do grafico podemos facilmente dizer que é no ponto \(x=0\).
46. O polinomio obtido da divisão de \(x^3+x^2-3x-3\)
por \( x+1\) para \(x=1\) é igual a:
Resolução:
O que o exercicio nos pede é o valor de \(\dfrac{x^3+x^2-3x-3}{x+1}\) para x=1.Assim, \(\frac{x^3+x^2-3x-3}{x+1}\) \(=\frac{1^3+1^2-3\cdot 1-3}{1+1}\)
\(=\frac{1+1-3-3}{2}\) \(=\frac{-4}{2}\) \(=-2\).
47. \(x^2+y^2=34\) e \(x \cdot y =15\) então \(x+y\) é igual a:
Resolução:
Aplicando casos notáveis, temos:\((x+y)^2\) \(=x^2+2xy+y^2\) \(=x^2+y^2+2xy\)
\(=34+2\cdot15\) \(=34+30\) \(=64\).
Entretanto, \((x+y)^2=64 \\ \sqrt{(x+y)^2}=|\sqrt{64}| \\ x+y=8\).
48. O modulo da diferença das soluções do sistema
\[ \left\{\begin{array}{l}
x+y=-7 \\
x \cdot y = 6
\end{array}\right. \]
é igual a:
Resolução:
Primeiro vamos achar as soluções do sistema.\(\left \{\begin{array} {l}
x+y=-7 \\
x \cdot y = 6
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
x=-7-y \\
(-7-y)\cdot y = 6
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
---------- \\
-y^2-7y-6=0
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
---------- \\
y^2+7y+6=0
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
---------- \\
(y+6)(y+1)=0
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
---------- \\
y_1=-6 \vee y_2=-1
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
x_1=-7-y_1 \vee x_2=-7-y_2\\
----------
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
x_1=-7-(-6)\vee x_2=-7-(-1)\\
----------
\end{array} \right. \)
\(\Longrightarrow\)
\(\left \{\begin{array} {l}
x_1=-1 \vee x_2=-6\\
y_1=-6 \vee y_2=-1
\end{array} \right. \)
Agora, vamos o módulo da diferença das soluções.
\[ |x_1-y_1|=|-1-(-6)|=|-1+6|=|5|=5 \]
\[ |x_2-y_2|=|-6-(-1)|=|-6+1|=|-5|=5 \].
49. QUESTÃO ANULADA
50. A função \(f(x)\), satisfazendo a condição \(f(x)=f''(x)\) para qualquer número real \(x\) é:
Resolução:
Vamos analisar cada uma das opções...A) \([(x^3)']'\) \(=(3x^2)'\) \(=6x\).
B) \([(senx)']'\) \(=(cosx)'\) \(=-senx\).
C) \([(cosx)']'\) \(=(-senx)'\) \(=-cosx\).
D) \([(3e^x)']'\) \(=(3e^x)'\) \(=3e^x\).
E) \([(e^{3x})']'\) \(=[(3x)' \cdot e^{3x} \cdot \ln{e}]'\) \(= (3e^{3x})' \) \(= 3 \cdot (3x)' \cdot e^{3x} \cdot \ln{e}\) \(=9e^{3x}\).
Entretanto, a função que satisfaz a condição \(f(x)=f''(x)\) é: \( D. 3e^x\).
51. No triângulo \(ABC\), o lado \(a=5\sqrt{2}cm\), \(\angle A=30°\), \(\angle B=45°\). A medica do lado \(b\) é igual à:
Resolução:
Pela regra does senos temos que:\[ \dfrac{b}{senB}=\dfrac{a}{senA} \]
Assim, \(\frac{b}{sen45°}=\frac{5\sqrt{2}}{sen30°}\).
\(b=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(=10\).
52. A derivada da função \(f(x)=|1-x|\) no ponto \(x=1\) é igual a:
Resolução:
\[ f(x)=|1-x|=\left\{\begin{array}{l}1-x, \enspace se \enspace x\le1 \\
x-1, \enspace se \enspace x\gt1
\end{array} \right. \]
Assim, \[ f'(x)=\left\{\begin{array}{l}
(1-x)', \enspace se \enspace x\le1 \\
(x-1)', \enspace se \enspace x\gt1
\end{array} \right. \]
\[=\left\{\begin{array}{l}
-1, \enspace se \enspace x\le1 \\
1, \enspace se \enspace x\gt1
\end{array} \right. \]
Entretanto, \(f'(x)\) não existe, pois \(f'(1^-) \ne f'(1^+) \).
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