EXERCICIOS 41-53 - UEM - 2016

41. A função inversa de $f(x)=e^{x-1}$ é:

Resolução:

Primeiro trocamos as variavais:

$x=e^{y-1}$


Em seguida vamos isolar o $y$:

Para tal, vamos logaritmizar ambos membros.


Assim, $\ln x = \ln e^{y-1}$ $\Rightarrow \quad \ln x = (y-1) \cdot \ln e$ $\Rightarrow \quad \ln x = y-1$ $\Rightarrow \quad y = \ln x +1$

42. A figura ao lado representa a função $y=f(x)$. O valor de $g(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(x)}$ é:

Resolução:

$g(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(x)}$
$\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{f(1^-)}$
$\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\frac{1}{0^-}$
$\quad=-\infty$.

43. Na função ao lado $f[f(1)]$ é igual a:

Resolução:

Como $f(1)=0$ então $f[f(1)]=f(0)=-1$.

44. A primeira derivada é crescents em:

Resolução:

Uma função é crescente se a sua derivada é positiva, i.e; $f$ é $crescente$ se $f' \gt 0$.
Como a segunda derivada de$f$ é a primeira derivada da primeira derivada, então:

Devemos analisar a concavidade da função $f$ de modo a termos os intervalos de monótonia.

Assim, $f'$ é $crescente$ onde $f$ tem a concavidade voltada para cima.

Entretanto, $f'$ é $crescente$ em $]-\infty;-2[ \cup ]0;2[ \cup ]2;+\infty[$.

45. A segunda derivada é nula em:

Resolução:

Por definição a segunda derivada de uma função é nula nos seus pontos de inflexão.

Em cálculo diferencial , um ponto de inflexão ou simplesmente inflexão, é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem ) troca o sinal . A curva muda de ter curvatura côncava para cima (positiva) para concavidade para baixo (curvatura negativa), ou vice-versa. Pode-se comparar com a condução de um veículo ao longo de uma estrada sinuosa, sendo o ponto de inflexão aquele em que o volante é momentaneamente "endireitado" quando a curva muda da esquerda para a direita ou vice-versa.

Entretanto, apartir da leitura do grafico podemos facilmente dizer que é no ponto $x=0$.

46. O polinomio obtido da divisão de $x^3+x^2-3x-3$
por $x+1$ para $x=1$ é igual a:

Resolução:

O que o exercicio nos pede é o valor de $\dfrac{x^3+x^2-3x-3}{x+1}$ para x=1.


Assim, $\frac{x^3+x^2-3x-3}{x+1}$ $=\frac{1^3+1^2-3\cdot 1-3}{1+1}$
$=\frac{1+1-3-3}{2}$ $=\frac{-4}{2}$ $=-2$.

47. $x^2+y^2=34$ e $x \cdot y =15$ então $x+y$ é igual a:

Resolução:

Aplicando casos notáveis, temos:


$(x+y)^2$ $=x^2+2xy+y^2$ $=x^2+y^2+2xy$
$=34+2\cdot15$ $=34+30$ $=64$.


Entretanto, $(x+y)^2=64 \\ \sqrt{(x+y)^2}=|\sqrt{64}| \\ x+y=8$.

48. O modulo da diferença das soluções do sistema
$$\left\{\begin{array}{l} x+y=-7 \\ x \cdot y = 6 \end{array}\right.$$
é igual a:

Resolução:

Primeiro vamos achar as soluções do sistema.

$\left \{\begin{array} {l} x+y=-7 \\ x \cdot y = 6 \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} x=-7-y \\ (-7-y)\cdot y = 6 \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} ---------- \\ -y^2-7y-6=0 \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} ---------- \\ y^2+7y+6=0 \end{array} \right.$


$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} ---------- \\ (y+6)(y+1)=0 \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} ---------- \\ y_1=-6 \vee y_2=-1 \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} x_1=-7-y_1 \vee x_2=-7-y_2\\ ---------- \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} x_1=-7-(-6)\vee x_2=-7-(-1)\\ ---------- \end{array} \right.$

$\Longrightarrow$
$\left \{\begin{array} {l} x_1=-1 \vee x_2=-6\\ y_1=-6 \vee y_2=-1 \end{array} \right.$


Agora, vamos o módulo da diferença das soluções.
$$|x_1-y_1|=|-1-(-6)|=|-1+6|=|5|=5$$
$$|x_2-y_2|=|-6-(-1)|=|-6+1|=|-5|=5$$ .

49. QUESTÃO ANULADA

50. A função $f(x)$, satisfazendo a condição $f(x)=f''(x)$ para qualquer número real $x$ é:

Resolução:

Vamos analisar cada uma das opções...
A) $[(x^3)']'$ $=(3x^2)'$ $=6x$.
B) $[(senx)']'$ $=(cosx)'$ $=-senx$.
C) $[(cosx)']'$ $=(-senx)'$ $=-cosx$.
D) $[(3e^x)']'$ $=(3e^x)'$ $=3e^x$.
E) $[(e^{3x})']'$ $=[(3x)' \cdot e^{3x} \cdot \ln{e}]'$ $= (3e^{3x})'$ $= 3 \cdot (3x)' \cdot e^{3x} \cdot \ln{e}$ $=9e^{3x}$.

Entretanto, a função que satisfaz a condição $f(x)=f''(x)$ é: $D. 3e^x$.

51. No triângulo $ABC$, o lado $a=5\sqrt{2}cm$, $\angle A=30°$, $\angle B=45°$. A medica do lado $b$ é igual à:

Resolução:

Pela regra does senos temos que:
$$\dfrac{b}{senB}=\dfrac{a}{senA}$$

Assim, $\frac{b}{sen45°}=\frac{5\sqrt{2}}{sen30°}$.

$b=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $=10$.

52. A derivada da função $f(x)=|1-x|$ no ponto $x=1$ é igual a:

Resolução:

$$f(x)=|1-x|=\left\{\begin{array}{l} 1-x, \enspace se \enspace x\le1 \\ x-1, \enspace se \enspace x\gt1 \end{array} \right.$$

Assim, $$f'(x)=\left\{\begin{array}{l} (1-x)', \enspace se \enspace x\le1 \\ (x-1)', \enspace se \enspace x\gt1 \end{array} \right.$$


$$=\left\{\begin{array}{l} -1, \enspace se \enspace x\le1 \\ 1, \enspace se \enspace x\gt1 \end{array} \right.$$


Entretanto, $f'(x)$ não existe, pois $f'(1^-) \ne f'(1^+)$.

53. A primitiva da função $f(x)=cosx$, sendo C uma constante arbitrária é:

Resolução:

$F(x)=\int{cosx}=senx+C$.