EXERCICIO -30-40 - UEM - 2016

30. Na figura está representada parte do grafico de uma função \(f\) de dominion \(I\!R\). A afirmação verdadeira é:

Resolução:

Se \(x\) se aproxima de \(a\) através de valores maiores que \(a\) ou pela sua direita, escrevemos: \[\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=b\]
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de \( a\).

Se \(x \) se aproxima de \( a \) através de valores menores que \(a \) ou pela sua esquerda, escrevemos:\[\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=b\]

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de \(a\).

Assim, com base nessa explicação é facil de observar que quando \(x\) se aproxima de \(3\) pela sua direita, i.é: \(\displaystyle \lim_{x \to 3^+}f(x)=f(3)\).
Enquanto que quando \(x\) se aproxima de \(3\) pela sua esquerda, i.é: \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-}f(x)\ne f(3)\).

31. O limite da expressão \(\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+x-2}\) quando \(x \to 1\) é:

Resolução:

\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+x-2}=\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(x^2-4)(x^2-1)}{(x+2)(x-1)}\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(x^2-4)(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(x^2-4)(x+1)\cancel{(x-1)}}{(x+2)\cancel{(x-1)}}\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(x^2-4)(x+1)}{x+2}\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(1^2-4)(1+1)}{1+2}\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(1-4)\cdot 2}{3}\)
\(\quad=\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{-3\cdot2}{3}\)
\(\quad=\displaystyle -2 \) .

32. Para que valor do argumento \(x\) a função não é contínua, sendo \(f(x)=\left \{\begin{array} {l} |x^2-1|, \quad se \quad x\ne1\\ 1, \quad se \quad x=1 \end{array} \right. \).

Resolução:

Diz-se que uma função \(\displaystyle f\) é contínua no ponto \(\displaystyle x=a\) se \(\displaystyle a\) é um ponto isolado do domínio ou, caso seja ponto de acumulação de \(\displaystyle X\), se existir o limite de \(\displaystyle f(x)\) com \(\displaystyle x\) tendendo a \(\displaystyle a\) e esse limite for igual a \(\displaystyle f(a)\).


Assim, deve se verificar a seguinte condição:
\[\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)\]

Agora vamos achar os limites:

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^-} |(1^-)^2-1|=0\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 1^+} |(1^+)^2-1|=0\)

\(\displaystyle f(1)=1\).


Então, a função não é contínua para \(x=1\).

33. Simplificando a expressão \(\frac{sen x}{1+cos x}+\frac{1+cos x}{sen x}\) obtem-se:

Resolução:

\(\frac{sen x}{1+cos x}+\frac{1+cos x}{sen x}=\)

\(\quad =\frac{sen x\cdot sen x +(1+cos x)(1+cos x)}{sen x(1+cos x)}\)
\(\quad =\frac{sen^2 x+1^2+2cos x + cos^2 x)}{sen x(1+cos x)}\)
\(\quad =\frac{sen^2 x +cos^2 x+ 1+2cos x)}{sen x(1+cos x)}\)
\(\quad =\frac{1+1+2cos x)}{sen x(1+cos x)}\)
\(\quad =\frac{2+2cos x)}{sen x(1+cos x)}\)
\(\quad =\frac{2\cdot(1+cos x)}{sen x(1+cos x)}\)
\(\quad =\frac{2\cdot \cancel{(1+cos x)}}{sen x \cancel{(1+cos x)}}\)
\(\quad =\frac{2}{sen x}\).

34. As assimptotas verticais \( A_v\) e horizontais \(A_h\) da função \(f(x)=\frac{x^2-2}{(x-\sqrt{2})(x+1)}\) são:

Resolção:

Visto que a expressão da função é fraccionaria, então o denominador deve ser diferente de zero.

Assim, \((x-\sqrt{2})(x+1)\ne0\) \(\Rightarrow x-\sqrt{2}\ne0 \vee x+1\ne0\) \(\Rightarrow x=\sqrt{2} \vee x=-1\).

Agora, vamos verificar se esses dois valores obedecem a seguinte condição:

Uma reta de equação \( x= a\) é uma Assímptota vertical do gráfico de uma função \(f \), se algum dos limites \[\displaystyle \lim _
{x\to a^{\pm }}f(x)=\pm \infty \] se verifica.


1) Para \(x=\sqrt{2}\)

Temos, \(\displaystyle \lim_{x\to \sqrt{2}}f(x)=\)

\(\quad =\displaystyle \lim_{x\to \sqrt{2}}\frac{x^2-2}{(x-\sqrt{2})(x+1)}\)
\(\quad =\displaystyle \lim_{x\to \sqrt{2}}\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+1)}\)
\(\quad =\displaystyle \lim_{x\to \sqrt{2}}\frac{\cancel{(x-\sqrt{2})}(x+\sqrt{2})}{\cancel{(x-\sqrt{2})}(x+1)}\)
\(\quad =\displaystyle \lim_{x\to \sqrt{2}}\frac{x+\sqrt{2}}{x+1}\)
\(\quad =\displaystyle \lim_{x\to \sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\)
\(\ne\infty\).
Então, \(\sqrt{2}\) não é assimptota vertical.

2) Para, \(x=-1\)

Temos, \(\displaystyle \lim_{x\to -1}f(x)=\)

\(\quad =\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^2-2}{(x-\sqrt{2})(x+1)}\) \(\quad =\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+1)}\) \(\quad =\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\cancel{(x-\sqrt{2})}(x+\sqrt{2})}{\cancel{(x-\sqrt{2})}(x+1)}\) \(\quad =\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x+\sqrt{2}}{x+1}\) \(\quad =\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{-1+\sqrt{2}}{-1+1}\) \(\quad =\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{-1+\sqrt{2}}{0}\) \(=\infty\)
Então, \(x=-1\) é assimptota vertical.

Para achar a assimptota horizontal basta achar o seguinte limite: \[\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=c\]
Assim, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) \) \(\quad =\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^2-2}{(x-\sqrt{2})(x+1)}\) \(=1\).
Então, y=1 é assimptota horizontal.

35. QUESTÃO ANULADA

36. A derivada da função \(f(x)=\ln (1-\cos x)\) é:

Resolução:

Como a função \(f(x)\) é composta, devemos aplicar a seguinte regra: \[f'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
Assim, \(f'(x)=\dfrac{1}{1-\cos x} \cdot (1-\cos x)'\) \(=\dfrac{1}{1-\cos x} \cdot [0-(-sen x)]\) \(=\dfrac{1}{1-\cos x} \cdot sen x\) \(=\dfrac{sen x}{1-\cos x}\).

37. As rectas no plano \(r_1=\frac{1}{2}x-3\) e \(r_2=ax+5\) são perpendiculares quando:

Resolução:

A característica mais conhecida de duas rectas perpendiculares é que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo recto (de medida igual a 90°), mas com o estudo da geometria analítica e a análise da recta é possível dizer que duas rectas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos.

Dessa forma, temos a seguinte condição de perpendicularidade:
\[a_1 \cdot a_2=-1\]
Agora, como \(a_1=\frac{1}{2}\) e \(a_2=a\).
Então, \(\frac{1}{2}\cdot a=-1\) \(\Rightarrow a=-1 \cdot 2\) \(\Rightarrow a=-2\).

38. O declive da recta tangente à uma curva da função \(f(x)\) num ponto \((a,f(a))\) é igual à \(1,5\). Então nestes ponto a função dada:

Resolução:

O que o enunciado quer dizer é que, \(f'(a)=1,5\).
Assim, com \(f'(a)=1,5\gt0\), entretanto \(f(x)\) é \(crescente \).

39. A função \(f(x)=-\frac{1}{3}x^3+3\) tem o seu mínimo no ponto:

Resolção:

Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O difícil é construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.

Assim, basta resolvermos a seguinte equação, \[ f'(x)=0\] para obtermos os pontos extremos, i.é; maximos ou minimos.
Assim, \(f'(x)=0\)
\(\Rightarrow (-\frac{1}{3}x^3+3)'=0\) \(\Rightarrow -\frac{3}{3}x^2+0=0\) \(\Rightarrow -x^2=0\) \(\Rightarrow x=0\).

Daí que, para \(x=0\) termos um ponto extremo. Mas ainda não sabemos se é maximo ou minimo.
Para tal devemos achar a segunda derivada.
Assim, \( (-x^2)'=-2x\).
Agora para que x=0, seja o minimo é necessario que \( f''(0)\lt0\).

Como, \(f''(0)=-2 \cdot 0 = 0 \).

Entretanto, a função não tem minimo nem maximo.

40. A função \(y=sen x - 1\) é monotona crescente no intervalos:

Resolução:

Primeiro vamos esboçar o grafico de \(y=sen x\) (na figura abaixo o grafico de cor branca).
Em seguida, fazemos a transladação em uma unidade para baixo para obtermos o grafico de \(y=sen x-1\) (na figura abaixo o grafico de cor amarela).

Agora é facil observar que no \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) a função \(y=sen x-1\) é crescente.