EXERCICIO 15-19 - UEM - 2016

15. Qual das proposições propostas é solução da equação $|x-3|=-3$:

Resolução:

Sabendo que o módulo de qualquer número real é um número positivo, então não existe $x$, tal que $|x-3|=-3$, porque $-3$ é um número negativo.
Entretanto, $x\in \emptyset$

16. A soma de trinta primeiros teremos da sequência $-11;-10;-9;-8;...$ é igual a:

Resolução:

O primeiro termo é: $a_1=-11$ e a diferença é: $d=a_2-a_2=-10-(-11)=1$.
Assim, $a_n=a_1+(n-1)d$ $\Rightarrow a_n=-11+(n-1) \cdot 1$ $\Rightarrow a_n=-11+n-1$ $\Rightarrow a_n=n-12$.

Agora teremos que:
$S_n=\dfrac{(a_1+a_2)n}{2}$ $\Rightarrow S_{30}=\dfrac{(-11+a_{30})\cdot 30}{2}$ $\Rightarrow S_{30}=(-11+30-12)\cdot 15$ $\Rightarrow S_{30}=105$.

17. Seja a inequação $\sqrt{x+5} \lt 1-x$. A sua solução corresponde a:

Resolução:

Tratando-se de uma inequação irracional inteira temos que primeiro encontrar o dominio de existência. Sabendo que o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é: $x+5\ge 0$ $\Rightarrow x\ge -5$. E $1-x \gt 0$ $\Rightarrow x\lt 1$

Agora vamos resolver a inequação:
$\sqrt{x+5} \lt 1-x$ $\Rightarrow (\sqrt{x+5})^2\lt (1-x)^2$ $\Rightarrow x+5\lt 1-2x+x^2$ $\Rightarrow x^2-3x-4\gt 0$ $\Rightarrow (x-4)(x+1) \gt 0$.
Ao esboçar essa expressão quadratica, podemos notar que ela é positiva no intervalo $]-\infty;-1[\cup]4;+\infty[$.

Por ultimo vamos achar a interseção entre os tres conjuntos:
$x\in [-5;+\infty[\cap]-\infty;1[$ $\cap\left(]-\infty;-1[\cup]4;+\infty[\right)$ $\Rightarrow x\in ]-5;-1[$.

18. Sabendo que $sen 75°\approx 0,97$, o valor de $\cos{15°}$ é aproximadamente:

Resolução:

Como $75°$ e $15°$ são ângulos complementares, então:
$sen x=cos y$ e $sen y = cos x$.
Entretanto, $\cos{15°}\approx 0,97$.

19. A solução da equação $sen x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ no intervalo $[0;2\pi]$ é:

Resolução:

Como $sen 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}$ no primeiro quadrante.
E tambem é positivo, significa que ha um outdo ângulo no Segundo quadrante que tera o mesmo valor.
Então teremos:
$sen 60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee sen(180°- 60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Agora, sabendo que $\pi=180°$, então $60°=\frac{\pi}{3}$
Daí que:
$sen \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee sen(\pi - \frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$sen \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee sen(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$


Entretanto, $x=\{\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\}$.

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