EXERCICIO 15-19 - UEM - 2016

15. Qual das proposições propostas é solução da equação \(|x-3|=-3\):

Resolução:

Sabendo que o módulo de qualquer número real é um número positivo, então não existe \(x\), tal que \(|x-3|=-3\), porque \(-3\) é um número negativo.
Entretanto, \(x\in \emptyset \)

16. A soma de trinta primeiros teremos da sequência \(-11;-10;-9;-8;...\) é igual a:

Resolução:

O primeiro termo é: \(a_1=-11\) e a diferença é: \(d=a_2-a_2=-10-(-11)=1 \).
Assim, \(a_n=a_1+(n-1)d\) \(\Rightarrow a_n=-11+(n-1) \cdot 1 \) \(\Rightarrow a_n=-11+n-1\) \(\Rightarrow a_n=n-12\).

Agora teremos que:
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_2)n}{2}\) \(\Rightarrow S_{30}=\dfrac{(-11+a_{30})\cdot 30}{2}\) \(\Rightarrow S_{30}=(-11+30-12)\cdot 15 \) \(\Rightarrow S_{30}=105\).

17. Seja a inequação \(\sqrt{x+5} \lt 1-x\). A sua solução corresponde a:

Resolução:

Tratando-se de uma inequação irracional inteira temos que primeiro encontrar o dominio de existência. Sabendo que o radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é: \( x+5\ge 0\) \(\Rightarrow x\ge -5\). E \(1-x \gt 0 \) \(\Rightarrow x\lt 1\)

Agora vamos resolver a inequação:
\(\sqrt{x+5} \lt 1-x\) \(\Rightarrow (\sqrt{x+5})^2\lt (1-x)^2\) \(\Rightarrow x+5\lt 1-2x+x^2\) \(\Rightarrow x^2-3x-4\gt 0\) \( \Rightarrow (x-4)(x+1) \gt 0 \).
Ao esboçar essa expressão quadratica, podemos notar que ela é positiva no intervalo \(]-\infty;-1[\cup]4;+\infty[\).

Por ultimo vamos achar a interseção entre os tres conjuntos:
\(x\in [-5;+\infty[\cap]-\infty;1[\) \(\cap\left(]-\infty;-1[\cup]4;+\infty[\right) \) \(\Rightarrow x\in ]-5;-1[\).

18. Sabendo que \(sen 75°\approx 0,97\), o valor de \(\cos{15°}\) é aproximadamente:

Resolução:

Como \(75°\) e \(15°\) são ângulos complementares, então:
\(sen x=cos y\) e \(sen y = cos x\).
Entretanto, \(\cos{15°}\approx 0,97\).

19. A solução da equação \(sen x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) no intervalo \([0;2\pi]\) é:

Resolução:

Como \( sen 60°=\frac{\sqrt{3}}{3} \) no primeiro quadrante.
E tambem é positivo, significa que ha um outdo ângulo no Segundo quadrante que tera o mesmo valor.
Então teremos:
\( sen 60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee sen(180°- 60°)=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Agora, sabendo que \(\pi=180°\), então \(60°=\frac{\pi}{3}\)
Daí que:
\( sen \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee sen(\pi - \frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( sen \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee sen(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} \)


Entretanto, \(x=\{\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\}\).

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