Exame Resolvido-UEM 2011 - 11 a 20

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11. Das igualdades apresentadas a que é válida para todos os valores de \(a\) reais é: \(a^2-2a+2=(a-1)(a-2)\)

Solução:
Não percebi a logica do exercicio por isso nao resolvi. Quem puder ajudar e bem vindo.

12. O preço de um produto subiu de \(20,00 MT\) para \(25,00 MT\). Neste caso, o preço subiu:

Solução:
Logicamente que o preço do produto subiu em \(5,00 MT\). Mas devemos converter este valor em percentagem.
Assim,
\(\begin{align} &20,00 MT &\to &100\% \\ &5,00 MT &\to &x \end{align}\)

Agora, ao aplicarmos a regra dos 3 simples temos:
\(x=\dfrac{5,00 MT \cdot 100\%}{20,00 MT}\) \(=25\%\).

Entretanto, o preço subiu \(25 \%\) do valor inicial.

13. A solução da inequação \(\dfrac{x+3}{-5} \ge 1 \) é:

Solução:
Primeiro devemos transformar a inequação de modo que o segundo membro seja zero.
\(\dfrac{x+3}{-5} \ge 1 \) \(\Rightarrow \dfrac{x+3}{-5} -1\ge 0 \)

Em seguida vamos transformar o primeiro membro de modo a termos um so termo.
\(\dfrac{x+3}{-5} -1\ge 0 \) \(\Rightarrow \dfrac{x+3-1(-5)}{-5}\ge 0 \) \(\Rightarrow \dfrac{x+3+5}{-5}\ge 0 \) \(\Rightarrow \dfrac{x+8}{-5}\ge 0 \)

Agora ao analisarmos o primeiro membro podemos notar que o numerador deve ser negativo ou igual a zero para que a expressao \(\dfrac{x+3+5}{-5} \) seja maior ou igual a zero, porque o denominador ja é negativo.

Assim, \(x+8\ge 0\) \(\Rightarrow x\ge -8\).

14. A solução da inequação \(x^2-9 \ge 0 \) é:

Solução:
Como o segundo membro ja é nulo, entao vamos analisar o primeiro membro.
Visto que \(x^2-9\) é uma expressao quadratica, cujos zeros sao \(-3\) e \(3\), e a parabola que a representa é voltada para cima, entao podemos facilmente concluir que \(x^2-9\) é maior ou igual a zero quando \(x\in ]-\infty;-3]\cup [3;+\infty[\).

15. Sejam \(\log_am=p\) e \(\log_an=q\). Se \(p+q=\log_ax\) e \(p-q=\log_ay\), o valor de \(m^2\) é:

Solução:
Apartir dos dados que nos sao apresentados podemos elaborar o seguinte sistema de equacoes:
\(\begin{cases} p+q=\log_ax \\ p-q=\log_ay \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} \log_am+\log_an=\log_ax \\ \log_am-\log_an=\log_ay \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} \log_amn=\log_ax \\ \log_a{\frac{m}{n}}=\log_ay \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} mn=x \\ \frac{m}{n}=y \end{cases}\).

Por fim vamos multiplicar o as equacoes membro a membro, isto é, \(mn \cdot \frac{m}{n}=x \cdot y\) \(\Rightarrow m\cdot \cancel{n} \cdot \frac{m}{\cancel{n}}=xy\) \(\Rightarrow m \cdot m=xy\) \(\Rightarrow m^2=xy\).

16. O número \(\dfrac{\log_23}{\log_427} \) é igual a:

Solução:
\(\dfrac{\log_23}{\log_427}=\dfrac{\log_23}{\log_{2^2}3^3} \) \(=\dfrac{\log_23}{\dfrac{3}{2} \cdot \log_23} \) \(=\dfrac{\cancel{\log_23}}{\dfrac{3}{2} \cdot \cancel{\log_23}} \) \(=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}\) \(=\dfrac{2}{3}\)

17. Sendo \(x \ne y \), a expressão \(\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x+y}\) é equivalente a:

Solução:
\(\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x+y}=\dfrac{(x+y)(x+y)}{x+y}\) \(=\dfrac{\cancel{(x+y)}(x+y)}{\cancel{x+y}}\) \(=x+y\)

18. Em relação à \( -|x| \lt x \) é correcto afirmar que a solução da inequação é:

Solução:
\(\begin{cases} -x \lt x, \quad &se x\ge 0 \\ -(-x) \lt x, \quad &se x\lt 0 \end{cases} \) \(\Rightarrow \begin{cases} 0 \lt x+x, \quad &se x\ge 0 \\ x \lt x, \quad &se x\lt 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} 2x \gt 0, \quad &se x \ge 0 \\ \text{Nao tem sentido}, \quad &se x\lt 0 \end{cases}\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x\gt 0, \quad &se x\ge 0 \\ \text{Nao tem sentido}, \quad &se x\lt 0 \end{cases} \)

Entretanto, podemos afirmar que solução da inequação é \(x\gt 0\).

19. Seja a equação \(|x+5|=-3\). Das seguintes respostas é correcta a alínea:

Solução:
A equção não tem solução. Porque o modulo de qualquer número deve ser maior ou igual a zero.

20. A soma das raízes da equação \( |3+x|=2\) é igual a:

Solução:
Primeiro vamos determinar as raízes da equação.
Assim, \(|3+x|=2\) \(\Rightarrow \begin{cases} 3+x=2 \\ 3+x=-2 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} x=2-3 \\ x=-2-3 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=-5 \end{cases}\).

Depois de termos encontrado as raízes da equação basta somar: \(-1+(-5)=-1-5=-6\).
Entretanto a soma das raízes da equação é igual a \(-6\).

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