Exame Resolvido da UEM - 2011 -31 a 40

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31. As funções $y=a^x$ e $y=b^x$ com $a\gt 0$, $b\gt 0$ e $a\ne b$ têm gráficos que se intersectam em:

Solução:
Como no ponto de intersecção das duas funções o valor de $y$ é o mesmo, então, teremos que:
$a^x=b^x$.
Agora, visto que $a\ne b$ e qualquer numero elevado a zero é igual a $1$, então $x=0$, porque $a^0=1=b^0$.

32. A sucessão de termo geral $U_n=5+e^{-3n}$, $n\in N$ é:

Solução:
Diz-se que uma sucessão é crescente se $U_{n+1}-U_n \gt 0$ ou decrescente se $U_{n+1}-U_n \lt 0$.
Sendo assim, vamos determinar o sinal do valor de $U_{n+1}-U_n$ de modo a saberemos se é positivo ou negativo, porque dizer maior que zero quer dizer positivo, e menor que zero quer dizer negativo.

Assim, $U_{n+1}-U_n$ $=5+e^{-3(n+1)}-(5+e^{-3n})$ $=\cancel{5}+e^{-3n-3}-\cancel{5}-e^{-3n}$ $=\frac{1}{e^{3n+3}}-\frac{1}{e^{3n}}$ $=\frac{1}{e^{3n}\cdot e^3}-\frac{1}{e^{3n}}$ $=\frac{1-e^3}{e^{3n}\cdot e^3}$.
Como $1-e^3$ é menor que zero e $e^{3n}\cdot e^3$ é maior que zero para qualquer $n \in I\!\!N$, então a expressão $=\frac{1-e^3}{e^{3n}\cdot e^3}$ é negativa.

Entretanto, $U_{n+1}-U_n \lt 0$, isto é, $U_n$ é decrescente.

33. Se $x_1$ e $x_2$ são os zeros da função $y=3x^2+4x-2$, então o valor de $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ é igual a:

Solução:
Ao fazermos m.m.c da expressão $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ temos: $\dfrac{x_2}{x_1\cdot x_2}+\dfrac{x_1}{x_1\cdot x_2}$ $=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}$.
Como $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{3}$ porque é a soma dos zeros da função $y$.
E $x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{3}$, porque é o produto dos zeros da função $y$.

Então, $\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}$ $=\frac{-\frac{4}{3}}{\frac{-2}{3}}$ $=-\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{-2}$ $=-\frac{4}{-2}$ $=2$.

34. A solução da inequação $(0,1)^{4x^2-2x-2} \le (0,1)^{2x-3}$ é:

Solução:
O principal "segredo" deste tipo de inequação é que como a base, neste caso $0,1$ esta entre $0$ e $1$, o sinal de desigualdade deve mudar de $\lt$ para $\gt$ e vice-versa.

Sendo assim, teremos: $(0,1)^{4x^2-2x-2} \le (0,1)^{2x-3}$ $\Rightarrow 4x^2-2x-2 \ge 2x-3$ $\Rightarrow 4x^2-4x+1 \ge 0$.

35. O conjunto solução do sistema $\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\ x \cdot y =6 \end{cases}$ é:

Solução:
$\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\ x \cdot y =6 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} \frac{\frac{6}{y}}{y}+\frac{y}{\frac{6}{y}}=\frac{13}{6} \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} \frac{6}{y^2}+\frac{y^2}{6}=\frac{13}{6} \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} 6^2+y^4=13y^2 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} y^4-13y^2+36=0 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} (y^2-4)(y^2-9)=0 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} y^2-4=0 \vee y^2-9=0 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} y^2=4 \vee y^2=9 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} y=\pm 2 \vee y=\pm 3 \\ x = \frac{6}{y} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} y=\pm 2 \vee y=\pm 3 \\ x = \frac{6}{\pm 2} \vee x = \frac{6}{\pm 3} \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} y=\pm 2 \vee y=\pm 3 \\ x = \pm 3 \vee x =\pm 2 \end{cases}$.

Entretanto, o conjunto solução do sistema é: $(-3;-2) \vee (-2;-3) \vee (2;3) \vee (3;2)$.

36. Sabendo que $\mathrm{tg}\phi =-2$, $90^\circ \lt \Phi \lt 270^\circ$, então $\mathrm{sen}\phi +2\cos \phi$ é equivalente a:

Solução:
Sabendo que $\mathrm{tg}\phi =\frac{\mathrm{sen}\phi}{\cos \phi}$, então, podemos escrever que $\frac{\mathrm{sen}\phi}{\cos \phi}=-2$ $\Rightarrow \mathrm{sen}\phi=-2\cos \phi$ $\Rightarrow \mathrm{sen}\phi+2\cos \phi=0$.

Entretanto, $\mathrm{sen}\phi+2\cos \phi$ é equivalente a $0$.

37. Na figura, a recta $s$ é paralela à recta $r$ e passa pelo vértice $V$ da parábola. Então a equação da recta $s$ é: IMAGEM

Solução:
Como a recta $s$ é paralela à recta $r$ e passa pelo vértice $V$ da parábola então a sua equação da recta pode ser escrita da seguinte forma:$y-y_V=a(x-x_V)$, onde $x_V$ e $y_V$ são as coordenadas do vértice $V$ e $a$ é o declive da recta $r$ que é igual ao declive da recta $s$ por serem paralelas.

Sendo assim, basta encontrarmos o ponto $V$ e o declive da recta $r$.
1ª: Declive
O declive de uma recta é dada pela seguinte equação: $$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$ .
A partir do gráfico podemos perceber que a recta $r$ passa pelos pontos, digamos, $\displaystyle A(-1;0)$ e $\displaystyle B(0;2)$, sendo assim:
$a=\dfrac{2-0}{0-(-1)}$ $=\dfrac{2}{0+1}$ $=2$.

2&0rdf;: O vértice $V$ da parábola

Primeiro começamos por achar o valor de $x_V$ aplicando a formula: $x_V=\dfrac{x_1+x_2}{2}$, onde $x_1$ e $x_2$ são os zeros da equação representada pela parábola.
Assim, $x_V=\dfrac{-1+3}{2}=1$.

Em seguida vamos determinar o valor de $y_V$. Para determinar este valor iniciamos por encontrar a equação representada pela parábola e depois substituir o valor de $x_V$ de modo a termos o valor de $y_V$.

Determinando a equação quadrática:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
Primeiro vamos determinar o valor de $a$:
$f(0)=a[0-(-1)](0-3)$ $\Rightarrow 2=a\cdot 1 \cdot (-3)$ $\Rightarrow 2=-3a$ $\Rightarrow a=-\dfrac{2}{3}$.

Em segundo lugar substituímos o valor de $a$ e os zeros para encontrarmos a equação quadrática:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ $=-\dfrac{2}{3}[x-(-1)](x-3)$ $=-\dfrac{2}{3}(x+1)(x-3)$.

Agora que já temos a equação quadrática vamos substituir o valor de $x_V$ de modo a termos o valor de $y_V$:
$y_V=f(x_V)=-\dfrac{2}{3}(x_V+1)(x_V-3)$ $=-\dfrac{2}{3}(1+1)(1-3)$ $=-\dfrac{2}{3}\cdot 2 \cdot (-2)$ $=-\dfrac{2}{3}\cdot (-4)$ $=\dfrac{8}{3}$.

E por fim, vamos determinar a equação da recta $s$, $y-y_V=a(x-x_V)$ $\Rightarrow y-\dfrac{8}{3}=2(x-1)$ $\Rightarrow y=2x-2+\dfrac{8}{3})$ $\Rightarrow y=2x+\dfrac{2}{3})$.

38. As áreas de dois triângulos rectângulos semelhantes são $6m^2$ e $24m^2$. Um dos catetos do primeiro triângulo mede $3m$. As medidas dos lados, em metros, do segundo triângulo são:

Solução:
Seja $\displaystyle a; b; c$ os lados do primeiro triângulo, e $\displaystyle a'; b'; c'$ os lados do segundo triângulo.

Agora como os dois triângulos são semelhantes podemos concluir que $\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=\sqrt{\frac{A'}{A}}$ o que implica que $\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=2$, porque $\sqrt{\frac{24}{6}}=2$.

Assim, para encontrar os valores de $\displaystyle a'; b'; c'$ primeiro devemos determinar os valores dos lados $\displaystyle a; b; c$.

Para tal vamos aplicar a formula da area do triângulo. Como o triângulo é rectângulo então um dos lados será a altura do mesmo, digamos $a=3m$.
Sendo assim, $A=\dfrac{a\cdot b}{2}$ $=\dfrac{3 \cdot b}{2} =6$. Dai que $b=4$.
Para encontrar o valor de $c$, vamos aplicar o teorema de Pitágoras, uma vez que assumimos que o lado $a$ é a altura e o lado $b$ é a base então o lado $c$ será a hipotenusa do triângulo menor.

Assim, $c^2=a^2+b^2$ $\Rightarrow c^2=3^2+4^2$ $\Rightarrow c=\sqrt{9+16}$ $\Rightarrow c=5$.

Uma vez que já conseguimos encontrar os valores dos lados do primeiro triângulo podemos aplicar a relação $\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=2$ de modo a encontrarmos os valores dos lados do segundo triângulo.

$\frac{a'}{a}=2$ e $\frac{b'}{b}=2$ e $\frac{c'}{c}=2$
$\frac{a'}{3}=2$ e $\frac{b'}{4}=2$ e $\frac{c'}{5}=2$
$a'=6$ e $b'=8$ e $c'=10$.

Entretanto, os lados do segundo triângulo são: $\displaystyle 6; 8; 10$.

39. O número positivo $x$ cuja soma com o seu inverso $\frac{1}{x}$ é mínima é:

Solução:
Para esta esta questão o mais fácil é analisar alternativa por alternativa e depois fazer a comparação entre elas.
$A)$ Para x=2, temos $x+\dfrac{1}{x}$ $=2+\dfrac{1}{2}$ $=2,5$.
$B)$ Para x=4, temos $x+\dfrac{1}{x}$ $=4+\dfrac{1}{4}$ $=4,25$.
$C)$ Para x=3, temos $x+\dfrac{1}{x}$ $=3+\dfrac{1}{3}$ $=3,333...$.
$D)$ Para x=1, temos $x+\dfrac{1}{x}$ $=1+\dfrac{1}{1}$ $=2$.
$E)$ Para x=5, temos $x+\dfrac{1}{x}$ $=5+\dfrac{1}{5}$ $=5,2$.

Entretanto, o número positivo $x$ cuja soma com o seu inverso $\frac{1}{x}$ é mínima é $1$.

40. Sejam dadas as funções $f(x)=x-1$ e $g(x)=x^2+x$. A grandeza $f[g(2)]$ é igual a:

Solução:
$f[g(2)]=f(2^2+2)$ $=f(6)$ $=6-1$ $=5$.