Resolução 40-49 Exame UEM-2013

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40. À direita está representado o gráfico de uma função quadrática $y=ax^2+bx+c$, cujos parâmetros satisfazem as desigualidades:

Resolução:

Como a parabola está virada para baixo então é claro que o valor do coeficiente $a$ é negativo, isto é, $a \lt 0$.

E também podemos verificar claramente que o vértice da parabola esta deslocado mais para a direita em relação ao eixo das ordenadas, entretanto o valor do coeficiente $b$ é negativo, isto é, $b\lt 0$.

Do mesmo modo o vértice da parabola está deslocado mais para baixo em relação ao eixo das abcissas, então o valor do coeficiente $c$ é negativo, isto é, $c \lt 0$.

Entretanto, $a \lt 0$, $b \lt 0$ e $c \lt 0$.

41. Sabendo que a função quadrática $f(x)=x^2+2px-3$ atinge o seu mínimo no ponto $x=1$, calcule a ordenada do ponto do gráfico de $f$ com abcissa $x=2$.

Resolução:

Como a primeira derivada de uma função pode nos ajudar a achar os extremos da função, então vamos determinar a derivada da função para a abcissa $x=1$.

$f'(x)=(x^2+2px-3)'$ $=2x+2p$ $\Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+2p$ $=2+2p$.

Como $x=1$ é um extremo mínimo da função, então $2+2p=0$ $\Rightarrow p=-\frac{2}{2}$ $\Rightarrow p=-1$.

Entretanto, $f(2)=2^2+2\cdot (-1)\cdot 2-3$ $=4-4-3$ $=-3$.

42. O gráfico ao lado representa a função

Resolução:

Para encontrarmos a função à que o gráfico representa, vamos usar o metodo de transladação.

Trando-se de uma função linear modular, vamos começar por esboçar o gráfico de $y=x$.

Em seguida vamos traçar o gráfico de $y=|x|$.

Podemos ver que o gráfico esta virada para baixo, então teremos $y=-|x|$.

Depois o gráfico é afastado uma unidade para a esquerda, assim, $y=-|x+1|$.

E por último o gráfico é afastado uma unidade para cima, daí que: $y=-|x+1|+1=1-|x+1|$.

43. Se $a$ e $b$ são raizes diferentes da equação $x^2-5x-2=0$, então a grandeza $a^{-1} + b^{-1}$ é igual a:

Resolução:

Primeiro começamos por transformar $a^{-1}+b^{-1}$.
Assim, $a^{-1}+b^{-1}$ $=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ $=\frac{a+b}{a\cdot b}$.

Agora, podemos verificar que o numerador da fracção $\frac{a+b}{ab}$ é representado pela soma das raizes da equação. E o denominador é representado pelo produto das raizes da dada equação.

Daí que $\frac{a+b}{ab}= \frac{S}{P}$ $=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}$ $=\frac{-\frac{-5}{1}}{\frac{-1}{1}}$ $=\frac{5}{-1}$ $=-5$.

44. Todas as soluções da inequação $x^{-1} \lt 0,25$ formam o conjunto:

Resolução:

Sempre que queros resolver uma inequação devemos anular o segundo membro (o segundo membro deve ser zero).
$x^{-1} \lt 0,25$ $\Rightarrow \frac{1}{x} \lt \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{4} \lt 0$ $\Rightarrow \frac{4-x}{4} \lt 0$.

De seguida achamos os zeros para o numerador e para o denominador.
$4-x=0 \Rightarrow x=0$ e $4x=0 \Rightarrow x=0$.

Por fim elaboramos a tabela de variação de sinais para encontrarmos os intervais que satisfazem a desigualidade.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & ]-\infty; 0[ & 0 & ]0;4[ & 4 & ]4;+\infty[\\ \hline 4-x & + & 4 & + & 0 & - \\ \hline x & - & 0 & + & 4 & + \\ \hline \frac{4-x}{x} & - & \nexists & + & 0 & -\\ \hline \end{array}$
Entretanto, $x \in ]-\infty;0[\cup]4;+\infty[$.

45. Seja dada uma função $y=f(x)$ definida em $I\!\!R$ que satisfaz à seguinte condição: para todo $a \in I\!\!R$ a recta horizontal $y=a$ e o gráfico da função $f$ têm pelo menos um ponto em comum. É correcto dizer que a função $f$ é:

Resolução:

Como $a \in I\!\!R$, então $y \in I\!\!R$.
Assim, visto que o gráfico de $f$ tem pelo menos um ponto em comum com a recta $y=a$ e $a \in I\!\!R$, então o contradomínio de $f$ conscide com o conjunto Imagem.
Entretanto, $f$ é sobrejectiva.

46. O domínio de definição da função $f(x)=\lg{(\lg{x})}$ é:

Resolução:

Tratando-se de uma função logaritmica temos que o logaritmando deve sempre ser positivo, daí que $\lg x \gt 0 \wedge x\gt 0$ $\Rightarrow \lg x \gt \lg 1 \wedge x \gt 0$ $\Rightarrow x \gt 1 \wedge x \gt 0$ $\Rightarrow x\in ]1;+\infty[ \cup ]0;+\infty[$ $\Rightarrow x \in ]1; +\infty[$.

47. O conjunto imagem (o contradomínio) da função $f(x)=(\mathrm{sen}x+\cos x)^2$ é:

Resolução:

Em primeiro lugar vamos desenvolver a expressão $(\mathrm{sen}x+\cos x)^2$.
Assim, $(\mathrm{sen}x+\cos x)^2$ $=\mathrm{sen^2}x+2\cos x \mathrm{sen}x + \cos^2x$ $=\mathrm{sen^2}x+\cos^2x \mathrm{sen}2x$ $=1+ \mathrm{sen}2x$.

Agora, sabendo que o contradomínio de $\mathrm{sen}2x$ é $y \in [-1;1]$, então o contradomínio de $1+\mathrm{sen}2x$ é $y \in [-1+1;1+2]$ $\Rightarrow y \in [0;2]$.
Entretanto, o contradomínio a expressão dada é $y \in [0;2]$.

48. Escolha a afirmação falsa:

Resolução:

$A)$ É verdadeira. Porque para qualquer $x \in I\!\!R$, $\mathrm{sen}x$ sempre tem sentido.
$B)$ É falsa. Porque o contradomínio da função tangente $y:y\in I\!\!R$.
$C)$ É verdadeira. Porque a base do logaritmo é $10$.
$D)$ É verdadeira. Pois qualquer número positivo elevado a um outro qualquer número seja este positivo, negativo ou zero, é sempre um número positivo, isto é, um número que pertence ao conjunto $]0;+\infty[$.
$E)$ É verdadeira. Porque podemos facilmente verificar apartir do gráfico da função cosseno que esta afirmação é verdadeira.

49. A sequência $a_1; a_2; a_3; ...$ em que $a_k=-(0,5)^{-k}$, ($k \in I\!\!R$ é:

Resolução:

Tratando-se de uma potência, podemos logo suspeitar que a sequência seja geometrica.
Assim, vamos verificar se a sequência é geometrica out não.
$q=\frac{a_{k+1}}{a_k}$ $=\frac{-(0,5)^{-(k+1)}}{-(0,5)^{-k}}$ $=\frac{0,5^{-k-1}}{0,5^{-k}}$ $=0,5^{-k-1+k}$ $=0,5^{-1}$ $=(\frac{1}{2})^-1$ $=2$.
Como $2$ é uma constante então a sequência é geometrica.

Agora devemos verificar se a sequência é crescente ou decrescente.
Para tal, podemos determinar as primeiros $3$ termos e analisar o seu comportamento.
$a_1=-(0,5)^{-1}$ $=-(\frac{1}{2})^{-1}$ $=-2$.
$a_2=-(0,5)^{-2}$ $=-(\frac{1}{2})^{-2}$ $=-4$.
$a_3=-(0,5)^{-3}$ $=-(\frac{1}{2})^{-3}$ $=-8$.
Como $a_1\gt a_2\gt a_3 ...$, podemos concluir que a sequência é decrescente.

Entretanto, a sequência é geometrica decrescente.

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