Resolução 11-19 Exame UEM-2013

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11. Se a relação dos volumes de duas bolas é $1:27$, então a relação das superfícies destas bolas é:

Resolução:

Sabendo que o volume de uma bola é dada por $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, e como a razão de proporcionalidade entre duas bolas é $1:27$. Então, teremos que $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{27}$ $\Rightarrow \frac{\frac{4}{3}\pi r_1{^3}}{\frac{4}{3}\pi r_2^{3}}=\frac{1}{3^3}$ $\Rightarrow \frac{\cancel{\frac{4}{3}\pi} r_1{^3}}{\cancel{\frac{4}{3}\pi} r_2^{3}}=(\frac{1}{3})^3$ $\Rightarrow \frac{r_1^{3}}{r_2^{3}}=(\frac{1}{3})$ $\Rightarrow (\frac{r_1}{r_2})^3=(\frac{1}{3})^3$ $\Rightarrow \frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{3}$.

Agora, como a área a superfície de uma bola é dada por $S=4 \pi r^2$ então a razão de proporção das superfícies das duas bolas será dada por: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4 \pi r_1^{2}}{4 \pi r_2^{2}}$ $=\frac{\cancel{4 \pi } r_1^{2}}{\cancel{4 \pi} r_2^{2}}$ $= \frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}$ $= (\frac{ r_1}{r_2})^2$ $= (\frac{1}{3})^2$ $=\frac{1}{9}$.

12. O conjunto das soluções da desigualidade $\frac{x^{49}(2-x)^{51}}{(x^2-3x+2)^{100}} \ge 0$ é:

Resolução:

Na desigualidade o segundo membro já é nulo, e o primeiro é uma fracção única. Agora vamos factorizar e achar is zeros do denominador e numerador.
Assim, $\frac{x^{49}(2-x)^{51}}{(x^2-3x+2)^{100}} \ge 0$ $\Rightarrow \frac{x^{49}(2-x)^{51}}{[(x-1)(x-2)]^{100 }}\ge 0$.
$x=0$, $2-x=0$ $\Rightarrow x=2$, $x-1=0$ $\Rightarrow x=1$ e $x-2=0$ $\Rightarrow x=2$.

Depois elaboramos a tabela de variação de sinais.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & ]-\infty; 0[ & 0 & ]0;1[ & 1 & ]1;2[ & 2 & ]2;+\infty[\\ \hline x^{49} & - & 0 & + & 1 & + & 2^{49} & +\\ \hline (2-x)^{51} & + & 2^{51} & + & 1 & + & 0 & -\\ \hline (x-1)^{100} & + & 1 & + & 0 & + & 1 & +\\ \hline (x-2)^{100} & + & 2^{100} & + & 1 & + & 0 & +\\ \hline \frac{x^{49}(2-x)^{51}}{(x^2-3x+2)^2} & - & 0 & + & \nexists & + & \nexists & -\\ \hline \end{array}$

Entretanto, $x \in [0;1[ \cup ]1;2[$.

13. Numa turma, 12 alunos são meninas. A proporção de meninas e rapazes é $2:3$. O número de alunos é:

Resolução:

Seja $x$ o número de alunos que são meninas e $y$ o número dos alunos que são rapazes. Assim, $x=12$ e $y=?$.

Agora, como a razão de proporção de meninas e rapazes é $2:3$, então $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{12}{y} = \frac{2}{3}$, e pela regra de três simples teremos $y \cdot 2 = 12 \cdot 3$ $\Rightarrow y = 18$.

Entretanto, o número de alunos é $x+y =12+18 =30$.

14. Sendo a função $y=\frac{2}{x\sqrt{2-x}}$, então o seu domínio é:

Resolução:

Visto que trata-se de uma função Cuba expressão é irracional fraccionária, então o denominador deve ser diferente de zero e o radicando deve ser positivo.
Assim, $x \sqrt{2-x} \ne 0 \wedge 2-x \gt 0$ $\Rightarrow x \ne 0 \vee 2-x \ne 0 \wedge x\lt 2$ $\Rightarrow x \ne 0 \vee x \ne 2 \wedge x \lt 2$

Entretanto, $x \in ]-\infty; 2[ -\{0;2\}$ $= ]-\infty; 0[ \cup ]0;2[$.

15. A inequação $\frac{x-1}{(2x+4)(3-x)} \ge 0$ tem solução:

Resolução:

Como sempre, para resolver uma inequação devemos garantir que o segundo membro seja zero. Como a inequação nos é dada uma inequação nula no segundo membro, vamos para o passo seguinte, determinar os zeros do denominador e numerador.
Assim, $x-1 = 0 \wedge 2x+4=0 \wedge 3-x = 0$ $\Rightarrow$ $x=1 \wedge x=-2 \wedge x=3$.

Em seguida elaborar-se a tabela de variação de sinais de modo a encontrarmos os intervais da solução da inequação.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & ]-\infty; -2[ & -2 & ]-2;1[ & 1 & ]1;3[ & 3 & ]3;+\infty[\\ \hline x-1 & - & -3 & - & 0 & + & 2 & +\\ \hline 2x+4 & - & 0 & + & 6 & + & 10 & +\\ \hline 3-x & + & 5 & + & 2 & + & 0 & -\\ \hline \frac{x-1}{(2x+4)(3-x)} & + & \nexists & - & 0 & + & \nexists & -\\ \hline \end{array}$

Entretanto, $x \in ]-\infty;-2[ \cup [1;3[$.

16. Determine o comprimento da linha poligonal $ABCD$ na figura sabendo que cada quadrado da rede mede de lado $1 cm$.

Resolução:

Primeiro vamos fazer uma escala na rede de forma a nos facilitar a interpretação do problema.

Analisando a figura podemos ver que é possivel criar $3$ triângulos, onde a hipotenusa de cada um dos triângulos é um dos segmentos de recta que constituem a linha poligonal.

Vamos traçar um triângulo em que a sua hipotenusa seja o segmento de recta $AB$.

Assim, $|AB|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.

Fazemos o mesmo procedimento para $BC$ e $CD$.

$|BC|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.

$|CD|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.

Entretanto, o comprimento será igual a $2\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}$.

17. A solução da equação $3^x-7^x=0$ é:

Resolução:

$3^x-7^x=0$ $\Rightarrow 3^x=7^x$ $\Rightarrow \frac{3^x}{7^x}=1$ $\Rightarrow (\frac{3}{7})^x=(\frac{3}{7})^0$ $\Rightarrow x=0$.

18. Sejam $a$ e $b$ números reais positivos. Se $\log_2{(\log_5a)}=\log_5{(\log_2b)}=0$, então $a+b$ é igual a:

Resolução:

$\log_2{(\log_5a)}=0$ $\Rightarrow \log_5a = 2^0$ $\Rightarrow \log_5a=1$ $\Rightarrow a=5^1$ $\Rightarrow a=5$.

$\log_5{(\log_2b)}=0$ $\Rightarrow \log_2b = 5^0$ $\Rightarrow \log_2b=1$ $\Rightarrow b=2^1$ $\Rightarrow b=2$.

Daí que $a+b=5+2=7$.

19. Numa progressão aritmética de $21$ termos e razão $7$, a soma do termo do meio e do seu antecedente é igual ao último termo. Então o último termo é:

Resolução:

Seja $N$ um número impar de termos de uma progressão artimética, então a ordem do termo médio será dada por: $n=\frac{N+1}{2}$ $\Rightarrow n=\frac{21+1}{2} = 11$.

Então, $a_{11}$ é o termo médio e $a_{10}$ é o seu antecedente.
Assim, $a_{11}+a_{10} = a_{21}$ $\Rightarrow a_1+10d + a_1+9d=a_1+20d$ $2a_1+10\cdot 7 + 9\cdot 7= a_1 + 20 \cdot 7$ $\Rightarrow 2a_1-a_1 = 20 \cdot 7 - 19 \cdot 7$ $\Rightarrow a_1=7$.

Entretanto, $a_{21}=a_1+20d=7+20 \cdot 7=147$.

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