Resolução 30-39 Exame UEM-2013

30. A soma de todas as raizes da equação $x^2-\sqrt{x^2}=4$ é igual a:

Resolução:

$x^2-|x|=4$

$\Rightarrow |x|=x^2-4$

$\Rightarrow \begin{cases} x=x^2-4\\ -x=x^2-4 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} x^2-x-4=0\\ x^2+x-4=0 \end{cases}$ .

Agora vamos achar a soma das raizes de cada uma das equações:
Para

$x^2-x-4=0$ :

$\quad S_1=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$

Para

$x^2+x-4=0$ :

$\quad S_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$ .

Como a soma das raizes de

$x^2-\sqrt{x^2}=4$ é igual a soma das raizes de

$x^2-x-4=0$ e das raizes de

$x^2+x-4=0$ , então teremos

$S_1+S_2=1+(-1)=0$ .
Entretanto, a soma das raizes da equação dada é

$0$ .

31. Se $2\lt x\lt 3$ e $-2 \lt y \lt -1$ então pode-se garantir que a grandeza $xy$ pertence ao intervalo:

Resolução:

Primeiro devemos multiplicar os extremos dos intervais entre si, isto é:

$2 \cdot (-2)$ ;

$2 \cdot (-1)$ ;

$3 \cdot (-2)$ ;

$3 \cdot (-1)$ . Ao efectuarmos as multiplicações obtemos o seguinte conjunto,

$-4; -2; -6; -3$ .
Então, podemos garantir que a grandeza

$xy$ vai pertecer ao intervalo

$]-6;-2[$ , porque

$-6$ é o menor valor do conjunto enquanto que

$-2$ é o maior.

32. Resolvendo a desigualidade $x - \frac{ 25 }{ x } \le 0$ , obtemos o conjunto:

Resolução:

Antes de mais nada vamos transformar o primeiro membro numa fracção única.

$x-\frac{25}{x} \le 0$

$\Rightarrow \frac{x^2-25}{x} \le 0$ .

Em seguida vamos achar os zeros do denominador e do numerador:

$x^2-25=0$

$\Rightarrow x=\pm \sqrt{25}$

$\Rightarrow x=\pm 5$ .

$x=0$ .

Agora vamos elaborar a tabela de variação de sinais de modo a encontrarmos os intervais que satisfazem a desigualidade.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & ]-\infty; -5[ & -5 & ]-5;0[ & 0 & ]0;5[ & 5 & ]5;+\infty[\\ \hline x^2-25 & + & 0 & - & -25 & - & 0 & +\\ \hline x & - & -5 & - & 0 & + & 5 & +\\ \hline \frac{x^2-25}{x} & - & 0 & + & \nexists & - & 0 & +\\ \hline \end{array}$

Entretanto,

$x \in ]-\infty;-5] \cup ]0;5]$ .

33. Se $\lg{2} = a$ então a grandeza $\log_2400$ é igual a:

Resolução:

Por definição

$\lg{2}=a$

$\Rightarrow 10^a=2$ .

Agora,

$\log_2400 = \log_2(4 \cdot 100)$

$=\log_22^2 +\log_2100$

$=2\log_22+\log_{10^a}10^2$

$=2+\frac{2}{a}\log_{10}10$

$=2+\frac{2}{a}$ .

34. Qual dos números seguintes faz parte do contradomínio da função $y = 2sen x + 3$ ?

Resolução:

Vamos começar por determinar o contradomínio da função:
Como trata-se de uma função do tipo

$y=A\cdot sen(x)+B$ , então o contradomínio da função será dada por

$y \in [-A+B; A+B]$ .

Entretanto, o contradomínio de

$y$ será

$[-2+3;2+3]=[1;5]$ .

35. Considere a função $f(x)=senx$ , definida no segmento $[0;2 \pi ]$ e a função constante $g(x)=c$ com $-1 \le c \le 1$ . O conjunto dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções $g(x)$ e $f(x)$ :

Resolução:

QUESTÃO ANULADA.

36. A raiz da equação $\mathrm{sen}2x- \cos x = 0$ que pertence ao intervalo $] \frac{ \pi }{ 2 } ; \pi ]$ é:

Resolução:

$\mathrm{sen}2x - \cos x=0$

$\Rightarrow 2\mathrm{sen}x\cos{x}-\cos x=0$

$\cos x (2\mathrm{sen}x-1)=0$

$\Rightarrow \cos x=0 \vee 2\mathrm{sen}x-1=0$

$\Rightarrow \cos x =0 \vee \mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$ .

Para

$\cos x=0$ :

$x \in \emptyset$ , porque no intervalo de

$]\frac{\pi}{2};\pi]$ o cosseno nunca é

$0$ .

Para

$\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$ : Temos que

$\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}30°$

$\Rightarrow \mathrm{sen}x=\mathrm{sen}\frac{\pi}{6}$ .
Agora, vamos transformar ou reduzir ao segundo quadrante.

$\mathrm{sen}\frac{\pi}{6}=\mathrm{sen}(\pi-\frac{\pi}{6})$

$\mathrm{sen}\frac{6\pi-\pi}{6}$

$=\mathrm{sen}\frac{5\pi}{6}$ .
Entretanto,

$x=\frac{5}{6}\pi$ .

37. Se $x+y=2$ e $xy=-4$ então o valor da expressão $x^2+y^2$ é igual a:

Resolução:

Vamos começar por transformar

$x+y$ de modo a encontrarmos

$x^2+y^2$ .
Assim,

$(x+y)^2=2^2$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4$

$\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow x^2+y^2=4-2\cdot (-4)$

$\Rightarrow x^2+y^2=4+8$

$\Rightarrow x^2+y^2=12$ .

38. Qual é a negação da expressão lógica $\exists x \in I \! \! R: f(x)=0$ ?

Resolução:

Como a negação de

$\exists$ é

$\forall$ , e a negação de

$=$ é

$\ne$ . Então teremos que a negação de

$\exists x\in I\!\!R:f(x)=0$ é

$\forall x \in I\!\!R:f(x) \ne 0$ .

39. Sejam dadas as funções $f(x)=2x$ e $g(x)=1-x$ . O valor $f[g(0)+1]$ é igual a:

Resolução:

Primeiro vamos determinar o valor de

$g(0)$ :

$g(0)=1-0=1$ .

Depois vamos determinar o valor de

$g(0)+1$ :

$g(0)+1=1+1=2$ .

Por fim vamos achar o valor de

$f[g(0)+1]$ :

$f[g(0)+1]=f(2)=2\cdot 2=4$ .

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