Resolução 50-57 Exame UEM-2013
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Para o numerador teremos:
\(-1; 5; -25; 125; -625;...\)
Agora vamos ignorar o sinal negativo por algum momento, então teremos: \(1;5;25;125;625;...\) que é equivalente à \( 5^0; 5^1; 5^2; 5^3; 5^4;...\) que por sua vez é igual à \( 5^{1-1}; 5^{2-1}; 5^{3-1}; 5^{4-1}; 5^{5-1};...\). Então o termos geral desta sequência é \(5^{n-1}=\frac{5^n}{5}\).
Voltando para a sequência do numerador incluindo o sinal negativo, podemos verificar que somente os termos de ordem ímpar é que são negativos. Então, o termo geral do numerador é \(\frac{(-5)^n}{5}\).
Para o denominador teremos:
\(1; 2; 6; 24; 120;...\), o que corresponde a \(1!; 2!; 3!; 4!; 5!;...\), assim o termo geral do denominador é \(n!\).
Entretanto, o termo geral da sequência em questão é \( \frac{(-5)^n}{5\cdot n!}\).
Como trata-se de uma \(P.A.\), então \(S_n=(a_1+a_n)\frac{n}{2}\) \(=(2+2n)\frac{n}{2}\) \(=\frac{2n+2n^2}{2}\) \(=n^2+n\).
Assim, \(2+4+6+...+2n \le 100\) \(\Rightarrow n^2+n \le 100\) \(\Rightarrow n^2+n-100 \le 0\).
Agora vamos achar os zeros da equação quadrática \(n^2+n-100=0\).
\(\Delta =b^2-4ac\) \(= 1^2-4\cdot 1\cdot (-100)\) \(=1+400\) \(=401\).
\(n_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-1+\sqrt{401}}{2\cdot 1}\) \(\approx \frac{-1+20}{2}\) \(\approx \frac{19}{2}\) \(\approx 9,5\).
\(n_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-1-\sqrt{401}}{2\cdot 1}\) \(\approx \frac{-1-20}{2}\) \(\approx \frac{-21}{2}\) \(\approx -10,5\).
Como \(n\) pertence ao conjunto dos números naturais então a solução é \(n=9\).
Nota: Excluimos o valor de \(n_2\approx -10,5\) porque \(n\) não pode ser negativo.
\(y'=(\frac{\ln{x}}{x})'\) \(=\frac{(\ln{x})'\cdot x - \ln{x}\cdot x'}{x^2}\) \(=\frac{\frac{x'}{x}\cdot x - \ln{x} \cdot 1}{x^2}\) \(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\).
Assim, \(y'(x_0)=y'(e^2)\) \(=\frac{1-\ln{e^2}}{(e^2)^2}\) \(=\frac{1-2\ln{e}}{e^4}\) \(=\frac{1-2}{e^4}\) \(=-\frac{1}{e^4}\).
\(B)\) É falsa. Porque se \(x=1\) é máximo, então \(f'(1)=0\).
\(C)\) É falsa. Porque os extremos de uma função são os zeros da derivada dessa função, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Por exemplo a função \(g(x)=x^3 \), não tem extremos, mas \(g'(0)=0\).
\(D)\) É falsa. Pois visto que \(f'(x)\gt 0\) significa que \(f\) é crescente. Porem o facto de uma função ser crescente não significa necessariamente que ela intersecta o eixo \(Ox\). Por exemplo a função \(e^x\) é crescente em todo o seu domínio mas não chega a interceptar o eixo das abcissas.
\(E)\) É verdadeira, pelo teorema que diz: se \(f(x)\) é derivável em um ponto do seu domínio, então \(f(x)\) é contínua nesse ponto.
Assim, \(f(x)=|x|\) \(=\begin{cases} x, & se & x\ge 0\\ -x, & se & x\lt 0 \end{cases}\)
Daí que \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} |x|=\lim_{x\to 0^-}(- x) = 0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}|x|=\lim_{x\to 0^+}x=0\)
Então, os limites laterais existem e são iguais. E a função é contínua no ponto de abcissa \(x=1\) porque \(f(0)=|0|=0\).
Em seguida vamos encontrar a derivada de \(f(x)\) para \(x=0\).
Assim, \(f'(x)=\begin{cases} x', & se & x\ge 0\\ (-x)', & se & x\lt 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow f'(x)=\begin{cases} 1, & se & x\ge 0\\ -1, & se & x\lt 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow f'(0)=\begin{cases} 1, & se & x\ge 0\\ -1, & se & x\lt 0 \end{cases} \).
Então, \(f'(0) \) não existe, pois \(f'(0^-) \ne f'(0^+)\).
Entretanto, a alternativa correcta é \(E\).
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-6; -4[ & -4 & ]-4;3[\\
\hline
f'(x) & - & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & y_{\mathrm{MÍN}} & \nearrow \\
\hline
\end{array}\)
Entretanto, a função \(y=f(x)\) atinge o seu mínimo no ponto de abcissa \(x=-4\).
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-\infty; 1[ & 1 & ]1;3[ & 3 & ]3;+\infty[\\
\hline
f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline
f(x) & \searrow & y_{\mathrm{MÍN}} & \nearrow & y_{\mathrm{MÁX}} & \searrow \\
\hline
\end{array}\)
Entretanto, a alternativa correcta é \(E\).
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Desejo a Todos uma boa preparação e sucessos.
Sinta-se a vontade, qualquer duvida é comentar que EU te ajudo, aproveite agora enquanto ainda podes. Boa sorte!!!
50. O termo geral \(a_n\) da sequência \(-1; \frac{5}{2}; -\frac{25}{6}; \frac{125}{24}; -\frac{625}{120};...\) (a sequência começa de \(a_1\)) é:
Resolução:
Para nos facilitar os calculos vamos separar o numerador do denominador.Para o numerador teremos:
\(-1; 5; -25; 125; -625;...\)
Agora vamos ignorar o sinal negativo por algum momento, então teremos: \(1;5;25;125;625;...\) que é equivalente à \( 5^0; 5^1; 5^2; 5^3; 5^4;...\) que por sua vez é igual à \( 5^{1-1}; 5^{2-1}; 5^{3-1}; 5^{4-1}; 5^{5-1};...\). Então o termos geral desta sequência é \(5^{n-1}=\frac{5^n}{5}\).
Voltando para a sequência do numerador incluindo o sinal negativo, podemos verificar que somente os termos de ordem ímpar é que são negativos. Então, o termo geral do numerador é \(\frac{(-5)^n}{5}\).
Para o denominador teremos:
\(1; 2; 6; 24; 120;...\), o que corresponde a \(1!; 2!; 3!; 4!; 5!;...\), assim o termo geral do denominador é \(n!\).
Entretanto, o termo geral da sequência em questão é \( \frac{(-5)^n}{5\cdot n!}\).
51. O maior número natural \(n\) que para o qual se verifica a desigualidade \(2+4+6+...+2n \le 100\), é:
Resolução:
Primeiro vamos achar a soma dos primeiros \(n\) termos.Como trata-se de uma \(P.A.\), então \(S_n=(a_1+a_n)\frac{n}{2}\) \(=(2+2n)\frac{n}{2}\) \(=\frac{2n+2n^2}{2}\) \(=n^2+n\).
Assim, \(2+4+6+...+2n \le 100\) \(\Rightarrow n^2+n \le 100\) \(\Rightarrow n^2+n-100 \le 0\).
Agora vamos achar os zeros da equação quadrática \(n^2+n-100=0\).
\(\Delta =b^2-4ac\) \(= 1^2-4\cdot 1\cdot (-100)\) \(=1+400\) \(=401\).
\(n_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-1+\sqrt{401}}{2\cdot 1}\) \(\approx \frac{-1+20}{2}\) \(\approx \frac{19}{2}\) \(\approx 9,5\).
\(n_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-1-\sqrt{401}}{2\cdot 1}\) \(\approx \frac{-1-20}{2}\) \(\approx \frac{-21}{2}\) \(\approx -10,5\).
Como \(n\) pertence ao conjunto dos números naturais então a solução é \(n=9\).
Nota: Excluimos o valor de \(n_2\approx -10,5\) porque \(n\) não pode ser negativo.
52. O valor da derivada da função \(y=\frac{\ln{x}}{x}\) no ponto \(x_0=e^2\) é igual a:
Resolução:
Para começar vamos achar a derivada da função dada.\(y'=(\frac{\ln{x}}{x})'\) \(=\frac{(\ln{x})'\cdot x - \ln{x}\cdot x'}{x^2}\) \(=\frac{\frac{x'}{x}\cdot x - \ln{x} \cdot 1}{x^2}\) \(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\).
Assim, \(y'(x_0)=y'(e^2)\) \(=\frac{1-\ln{e^2}}{(e^2)^2}\) \(=\frac{1-2\ln{e}}{e^4}\) \(=\frac{1-2}{e^4}\) \(=-\frac{1}{e^4}\).
53. Seja dada uma função \(y=f(x)\) definida em \(I\!\!R\), a afirmação verdadeira é:
Resolução:
\(A)\) É falsa. Porque a continuidade de uma função nada nos diz sobre a derivabilidade da mesma.\(B)\) É falsa. Porque se \(x=1\) é máximo, então \(f'(1)=0\).
\(C)\) É falsa. Porque os extremos de uma função são os zeros da derivada dessa função, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Por exemplo a função \(g(x)=x^3 \), não tem extremos, mas \(g'(0)=0\).
\(D)\) É falsa. Pois visto que \(f'(x)\gt 0\) significa que \(f\) é crescente. Porem o facto de uma função ser crescente não significa necessariamente que ela intersecta o eixo \(Ox\). Por exemplo a função \(e^x\) é crescente em todo o seu domínio mas não chega a interceptar o eixo das abcissas.
\(E)\) É verdadeira, pelo teorema que diz: se \(f(x)\) é derivável em um ponto do seu domínio, então \(f(x)\) é contínua nesse ponto.
54. Para a função \(f\), representada na figura ao lado, o ponto de abcissa \( x=3\):
Resolução:
Analisando o gráfico podemos chegar a conclusão que os limites laterais existem e que \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-}f(x) \ne \lim_{x\to 3^+}f(x) \ne f(3)\), sendo assim o ponto de abcissa \( x=3\), é um ponto de descontinuidade não-eliminável da 1ª espécie.55. Para a função \(f(x)=|x|\) é correcto afirmar que:
Resolução:
Primeiro vamos calcular o limite fa função para \(x=0\).Assim, \(f(x)=|x|\) \(=\begin{cases} x, & se & x\ge 0\\ -x, & se & x\lt 0 \end{cases}\)
Daí que \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} |x|=\lim_{x\to 0^-}(- x) = 0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}|x|=\lim_{x\to 0^+}x=0\)
Então, os limites laterais existem e são iguais. E a função é contínua no ponto de abcissa \(x=1\) porque \(f(0)=|0|=0\).
Em seguida vamos encontrar a derivada de \(f(x)\) para \(x=0\).
Assim, \(f'(x)=\begin{cases} x', & se & x\ge 0\\ (-x)', & se & x\lt 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow f'(x)=\begin{cases} 1, & se & x\ge 0\\ -1, & se & x\lt 0 \end{cases}\) \(\Rightarrow f'(0)=\begin{cases} 1, & se & x\ge 0\\ -1, & se & x\lt 0 \end{cases} \).
Então, \(f'(0) \) não existe, pois \(f'(0^-) \ne f'(0^+)\).
Entretanto, a alternativa correcta é \(E\).
56. Na figura é dado o gráfico da derivada \(y=f'(x)\) da função \(y=f(x)\). Em que ponto do intervalo \( [-6;3]\) a função \(y=f(x)\) atinge o seu mínimo?
Resolução:
Visto que o gráfico intercepta o eixo \(Ox\) no ponto de abcissa \(x=-4\), então podemos elaborar a tabela de variação de sinais da primeira derivada de \(f(x)\).\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-6; -4[ & -4 & ]-4;3[\\
\hline
f'(x) & - & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & y_{\mathrm{MÍN}} & \nearrow \\
\hline
\end{array}\)
Entretanto, a função \(y=f(x)\) atinge o seu mínimo no ponto de abcissa \(x=-4\).
57. Na figura ao lado está representado o gráfico da derivada \(y=f'(x)\). Em relação a função \(y=f(x)\) é correcto afirmar que:
Resolução:
Como \(x=1\) e \(x=3\) são os zeros da primeira derivada de \(f(x)\), então vamos elaborar a tabela de variação de sinais da primeira derivada de \(y=f(x)\).\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-\infty; 1[ & 1 & ]1;3[ & 3 & ]3;+\infty[\\
\hline
f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline
f(x) & \searrow & y_{\mathrm{MÍN}} & \nearrow & y_{\mathrm{MÁX}} & \searrow \\
\hline
\end{array}\)
Entretanto, a alternativa correcta é \(E\).
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Desejo a Todos uma boa preparação e sucessos.
Sinta-se a vontade, qualquer duvida é comentar que EU te ajudo, aproveite agora enquanto ainda podes. Boa sorte!!!
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