Resolução 50-57 Exame UEM-2013

Ir para:1-10 | 11-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49

50. O termo geral $a_n$ da sequência $-1; \frac{5}{2}; -\frac{25}{6}; \frac{125}{24}; -\frac{625}{120};...$ (a sequência começa de $a_1$) é:

Resolução:

Para nos facilitar os calculos vamos separar o numerador do denominador.

Para o numerador teremos:
$-1; 5; -25; 125; -625;...$
Agora vamos ignorar o sinal negativo por algum momento, então teremos: $1;5;25;125;625;...$ que é equivalente à $5^0; 5^1; 5^2; 5^3; 5^4;...$ que por sua vez é igual à $5^{1-1}; 5^{2-1}; 5^{3-1}; 5^{4-1}; 5^{5-1};...$. Então o termos geral desta sequência é $5^{n-1}=\frac{5^n}{5}$.

Voltando para a sequência do numerador incluindo o sinal negativo, podemos verificar que somente os termos de ordem ímpar é que são negativos. Então, o termo geral do numerador é $\frac{(-5)^n}{5}$.

Para o denominador teremos:
$1; 2; 6; 24; 120;...$, o que corresponde a $1!; 2!; 3!; 4!; 5!;...$, assim o termo geral do denominador é $n!$.

Entretanto, o termo geral da sequência em questão é $\frac{(-5)^n}{5\cdot n!}$.

51. O maior número natural $n$ que para o qual se verifica a desigualidade $2+4+6+...+2n \le 100$, é:

Resolução:

Primeiro vamos achar a soma dos primeiros $n$ termos.
Como trata-se de uma $P.A.$, então $S_n=(a_1+a_n)\frac{n}{2}$ $=(2+2n)\frac{n}{2}$ $=\frac{2n+2n^2}{2}$ $=n^2+n$.

Assim, $2+4+6+...+2n \le 100$ $\Rightarrow n^2+n \le 100$ $\Rightarrow n^2+n-100 \le 0$.

Agora vamos achar os zeros da equação quadrática $n^2+n-100=0$.
$\Delta =b^2-4ac$ $= 1^2-4\cdot 1\cdot (-100)$ $=1+400$ $=401$.
$n_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ $=\frac{-1+\sqrt{401}}{2\cdot 1}$ $\approx \frac{-1+20}{2}$ $\approx \frac{19}{2}$ $\approx 9,5$.
$n_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ $=\frac{-1-\sqrt{401}}{2\cdot 1}$ $\approx \frac{-1-20}{2}$ $\approx \frac{-21}{2}$ $\approx -10,5$.

Como $n$ pertence ao conjunto dos números naturais então a solução é $n=9$.
Nota: Excluimos o valor de $n_2\approx -10,5$ porque $n$ não pode ser negativo.

52. O valor da derivada da função $y=\frac{\ln{x}}{x}$ no ponto $x_0=e^2$ é igual a:

Resolução:

Para começar vamos achar a derivada da função dada.
$y'=(\frac{\ln{x}}{x})'$ $=\frac{(\ln{x})'\cdot x - \ln{x}\cdot x'}{x^2}$ $=\frac{\frac{x'}{x}\cdot x - \ln{x} \cdot 1}{x^2}$ $=\frac{1-\ln{x}}{x^2}$.

Assim, $y'(x_0)=y'(e^2)$ $=\frac{1-\ln{e^2}}{(e^2)^2}$ $=\frac{1-2\ln{e}}{e^4}$ $=\frac{1-2}{e^4}$ $=-\frac{1}{e^4}$.

53. Seja dada uma função $y=f(x)$ definida em $I\!\!R$, a afirmação verdadeira é:

Resolução:

$A)$ É falsa. Porque a continuidade de uma função nada nos diz sobre a derivabilidade da mesma.
$B)$ É falsa. Porque se $x=1$ é máximo, então $f'(1)=0$.
$C)$ É falsa. Porque os extremos de uma função são os zeros da derivada dessa função, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Por exemplo a função $g(x)=x^3$, não tem extremos, mas $g'(0)=0$.
$D)$ É falsa. Pois visto que $f'(x)\gt 0$ significa que $f$ é crescente. Porem o facto de uma função ser crescente não significa necessariamente que ela intersecta o eixo $Ox$. Por exemplo a função $e^x$ é crescente em todo o seu domínio mas não chega a interceptar o eixo das abcissas.
$E)$ É verdadeira, pelo teorema que diz: se $f(x)$ é derivável em um ponto do seu domínio, então $f(x)$ é contínua nesse ponto.

54. Para a função $f$, representada na figura ao lado, o ponto de abcissa $x=3$:

Resolução:

Analisando o gráfico podemos chegar a conclusão que os limites laterais existem e que $\displaystyle \lim_{x \to 3^-}f(x) \ne \lim_{x\to 3^+}f(x) \ne f(3)$, sendo assim o ponto de abcissa $x=3$, é um ponto de descontinuidade não-eliminável da 1ª espécie.

55. Para a função $f(x)=|x|$ é correcto afirmar que:

Resolução:

Primeiro vamos calcular o limite fa função para $x=0$.
Assim, $f(x)=|x|$ $=\begin{cases} x, & se & x\ge 0\\ -x, & se & x\lt 0 \end{cases}$
Daí que $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} |x|=\lim_{x\to 0^-}(- x) = 0$
$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}|x|=\lim_{x\to 0^+}x=0$
Então, os limites laterais existem e são iguais. E a função é contínua no ponto de abcissa $x=1$ porque $f(0)=|0|=0$.

Em seguida vamos encontrar a derivada de $f(x)$ para $x=0$.
Assim, $f'(x)=\begin{cases} x', & se & x\ge 0\\ (-x)', & se & x\lt 0 \end{cases}$ $\Rightarrow f'(x)=\begin{cases} 1, & se & x\ge 0\\ -1, & se & x\lt 0 \end{cases}$ $\Rightarrow f'(0)=\begin{cases} 1, & se & x\ge 0\\ -1, & se & x\lt 0 \end{cases}$.
Então, $f'(0)$ não existe, pois $f'(0^-) \ne f'(0^+)$.

Entretanto, a alternativa correcta é $E$.

56. Na figura é dado o gráfico da derivada $y=f'(x)$ da função $y=f(x)$. Em que ponto do intervalo $[-6;3]$ a função $y=f(x)$ atinge o seu mínimo?

Resolução:

Visto que o gráfico intercepta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $x=-4$, então podemos elaborar a tabela de variação de sinais da primeira derivada de $f(x)$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & ]-6; -4[ & -4 & ]-4;3[\\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & y_{\mathrm{MÍN}} & \nearrow \\ \hline \end{array}$
Entretanto, a função $y=f(x)$ atinge o seu mínimo no ponto de abcissa $x=-4$.

57. Na figura ao lado está representado o gráfico da derivada $y=f'(x)$. Em relação a função $y=f(x)$ é correcto afirmar que:

Resolução:

Como $x=1$ e $x=3$ são os zeros da primeira derivada de $f(x)$, então vamos elaborar a tabela de variação de sinais da primeira derivada de $y=f(x)$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & ]-\infty; 1[ & 1 & ]1;3[ & 3 & ]3;+\infty[\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & y_{\mathrm{MÍN}} & \nearrow & y_{\mathrm{MÁX}} & \searrow \\ \hline \end{array}$
Entretanto, a alternativa correcta é $E$.

Ir para:1-10 | 11-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49

Desejo a Todos uma boa preparação e sucessos.
Sinta-se a vontade, qualquer duvida é comentar que EU te ajudo, aproveite agora enquanto ainda podes. Boa sorte!!!