Resolução 20-29 Exame UEM-2013

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20. Para o triângulo $ABD$ dado na figura são verdadeiras as igualidades $AC=BC=DC$, $C$ pertence ao lado $BD$, e $\angle{ADB} = 35°$. Então o $\angle{ABC}$ é igual a:

Resolução:

Como $AC=BC$, então $\angle{ABC}=\angle{CAB}=\alpha$.
Do mesmo modo $AC=DC$, então $\angle{CAD}=\angle{ADC}=35°$.
Assim, para o triângulo $ABD$, teremos que $\angle{BAD}=\alpha+35°$.

Logo, $\angle{DBA}+\angle{BAD}+\angle{ADB}=180°$ $\Rightarrow \alpha+(\alpha+35°)+35°=180°$ $\Rightarrow 2\alpha =180°-70°$ $\Rightarrow \alpha=55°$.
Entretanto, $\angle{ABD}=55°$.

21. Os números que exprimem o lado, a diagonal, e a área de um quadrado formam uma progressão aritmética, nesta ordem. A diagonal do quadrado mede:

Resolução:

Primeiro vamos desenhar o quadrado com is seus respectivos dados:

Agora vamos expressar a diagonal em função do lado.
Assim, atraves do teorema de pitagoras temos que: $d^2=l^2+l^2$ $\Rightarrow d=\sqrt{2l^2}$ $\Rightarrow d=\sqrt{2}l$.

Como os valores do lado, diagonal e da área formam uma $P.A.$, na seguinte ordem.
$$l; \sqrt{2}l; l^2$$ .

Então, a diferença será igual a $\sqrt{2}l-l= l^2-\sqrt{2}l$.
Agora vamos resolver essa equação de modo a encontrarmos o valor do lado.
$\sqrt{2}l-l= l^2-\sqrt{2}l$ $\Rightarrow l(\sqrt{2}-1)= l(l-\sqrt{2})$ $\Rightarrow \cancel{l}(\sqrt{2}-1)= \cancel{l}(l-\sqrt{2})$ $\Rightarrow \sqrt{2}-1= l-\sqrt{2}$ $\Rightarrow l=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}$ $\Rightarrow l= 2\sqrt{2}-1$.

Entretanto, a diagonal do quadrado será igual a:
$d=\sqrt{2}l = \sqrt{2}\cdot (2\sqrt{2}-1)$ $= 2\cdot (\sqrt{2})^2-\sqrt{2}$ $=2\cdot 2 - \sqrt{2}$ $=4-\sqrt{2}$.

22. Duas circunferências de centros $A$ e$B$, respectivamente são tangentes entre si no ponto $E$ e tangentes à recta $r$ nos pontos $C$ e $D$, respectivamente. Sabendo que seus raios medem $4cm$ e $1cm$, pode-se concluir que o segmento $CD$ mede:

Resolução:

Vamos acrescentar um ponto $P$ no segmento de recta $DB$, tal que $|DP|=1cm$ e $|PB|=3cm$.
Então, $ABP$ formam um triângulo em que $AB$ é a hipotenusa e os outros lados são catetos.
Assim, $|AB|=|AE|+|EB|$ $=1cm+4cm=5cm$

Agora, pelo teorema de pitagoras temos que: $|AP|^2+|PB|^2=|AB|^2$ $\Rightarrow |AP|^2+3^2=5^2$ $\Rightarrow |AP|=\sqrt{25-9}$ $\Rightarrow |AP|=\sqrt{16}$ $\Rightarrow |AP|=4cm$.

Entretanto, como $|CD|=|AP|$ então $|CD|=4cm$.

23. A solução da equação $\log_2(x-3) + 2\log_43^{\log_3x}=2$.

Resolução:

Primeiro vamos encontrar o domínio da equação:
$x-3\gt 0 \wedge x\gt 0$ $\Rightarrow x \gt 0 \wedge x\gt 0$.
Assim, o domínio da equação é $x\in ]-3; +\infty[$.

Agora vamos resolver a equação:
$\log_2(x-3) + 2\log_43^{\log_3x}=2$ $\Rightarrow \log_2(x-3) + 2\log_{2^2}x^{\log_33}=2$ $\Rightarrow \log_2(x-3) + \frac{2}{2}\log_2x^{1}=2$ $\Rightarrow \log_2(x-3) + \log_2x=2$ $\Rightarrow \log_2[(x-3)\cdot x] =2$ $\Rightarrow x(x-3)=2^2$ $\Rightarrow x^2-3x-4=0$ $\Rightarrow (x-4)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=4 \vee x=-1$.
Entretanto, a solução é $x=4$.
Nota: $-1$ não é solução da equação porque não pertence ao domínio da equação.

24. A recta $3x + 2y -12=0$ intercecta os eixos coordenados $Ox$ e $Oy$ nos pontos $A$ e $B$, respectivamente. O ponto médio $M$ do segmento $AB$ é:

Resolução:

Para $Ox$: $3\cdot 0 + 2y -12=0$ $\Rightarrow 2y=12$ $\Rightarrow y=6$. Assim, o ponto $A$ será $(0;6)$.
Para $Oy$: $3x +2 \cdot 0 -12 = 0$ $\Rightarrow 3x-12=0$ $\Rightarrow x=4$. Assim, o ponto $B$ será $(4;0)$.

Agora o ponto médio é dado por: $M(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})$ $\Rightarrow M(\frac{0+4}{2}; \frac{6+0}{2})$ $\Rightarrow M(2; 3)$

25. O triângulo $ABC$ é equilatero e o seu lado mede $6cm$. A equação da recta que contém o lado $AB$ é:

Resolução:

Como o triângulo é equilatero então as coordenadas do ponto $A$ serão $A(-3;0)$. Agora devemos encontrar as coordenadas do ponto $B$.
Podemos ver claramente que os pontos $A$, $O$ e $B$, formam um triângulo rectangulo, com o lado $AB$ medindo $6cm$, e o lado $AO$ medindo $3cm$. Então vamos calcular o valor do lado $OB$ de modo a acharmos as coordenadas do ponto $B$.
Assim, $|OB|^2+|AO|^2=|AB|^2$ $\Rightarrow |OB|^2=6^2-3^2$ $\Rightarrow |OB|=\sqrt{36-9}$ $\Rightarrow |OB|=\sqrt{27}$ $\Rightarrow |OB|=3\sqrt{3}$.
Daí temos as coordenadas do ponto $B(0;3\sqrt{3})$.

Agora vamos usar a fórmula para determinar a equação fa recta.
$$y-y_B=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x-x_B)$$
Substituindo os valores dos pontos $A$ e $B$ na equação temos:
$y-3\sqrt{3}=\frac{0-3\sqrt{3}}{-3-0}(x-0)$ $\Rightarrow y=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}(x) +3\sqrt{3}$ $\Rightarrow y=\sqrt{3}x+3\sqrt{3}$ $\Rightarrow y=\sqrt{3}(x+3)$.

26. Se $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$ então $\frac{6x-2y}{3x+y}$ é igual a:

Resolução:

$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$ $\Rightarrow x=\frac{2}{3}y$, assim, $\frac{6x-2y}{3x+y}$ $= \frac{6\cdot \frac{2y}{3}-2y}{3\cdot \frac{2y}{3}+y}$ $=\frac{4y-2y}{2y+y}$ $\frac{2y}{3y}$ $=\frac{2}{3}$.

27. Se durante o processor de secagem as frutas perdem $80\%$ do seu peso, que quantidade de fruta secagem é preciso secar para preparar $1$ quilo de fruta seca?

Resolução:

Seja $x$ a quantidade de fruta fresca necessária para preparar $1$ quilo de fruta seca.
Assim, $x-80\% \cdot x = 1$ $\Rightarrow x-\frac{80}{100}x=1$ $\Rightarrow 100x-80x=100$ $\Rightarrow 20x=100$ $\Rightarrow x=5$.

Entretanto, precisamos de $5$ quilos de fruta fresca para preparar $1$ quilo de fruta seca.

28. Se uma raiz da equação $x^2+ax+1=0$ é qutro vezes maior do que outra, então o parâmetro $a$ da equação é igual a:

Resolução:

Seja $S$ a soma das raizes da equação, então $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{a}{1}=-a$.

Seja $P$ o produto das raizes da equação, então, $P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$.

Como, uma raiz é quatro vezes maior que a outra, então temos que: $x_1=4x_2$.
Agora visto que atraves do produto achamos que $x_1\cdot x_2=1$, então $4x_2\cdot x_2=1$ $\Rightarrow x_2^2=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow x_2=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}$ $\Rightarrow x_2=\pm\frac{1}{2}$.

E atraves da soma temos que $x_1+x_2=-a$ $\Rightarrow 4x_2+x_2=-a$ $\Rightarrow a=-5x_2$ $\Rightarrow a=\pm 5\cdot \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a=\pm \frac{5}{2}$.

29. O produto das raizes da equação $|3+x|=2$ é igual a:

Resolução:

$|3+x|=2$ $\Rightarrow \begin{cases} 3+x=2\\ -(3+x)=2 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x=2-3\\ -3-x=2 \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\ x=-5 \end{cases}$

Entretanto, o produto das raizes da equação será $-1\cdot (-5)=5$.

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