Resolução 20-29 Exame UEM-2013
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Do mesmo modo \(AC=DC\), então \(\angle{CAD}=\angle{ADC}=35°\).
Assim, para o triângulo \(ABD\), teremos que \( \angle{BAD}=\alpha+35°\).
Logo, \(\angle{DBA}+\angle{BAD}+\angle{ADB}=180°\) \(\Rightarrow \alpha+(\alpha+35°)+35°=180°\) \(\Rightarrow 2\alpha =180°-70°\) \(\Rightarrow \alpha=55°\).
Entretanto, \(\angle{ABD}=55°\).
Agora vamos expressar a diagonal em função do lado.
Assim, atraves do teorema de pitagoras temos que: \(d^2=l^2+l^2\) \( \Rightarrow d=\sqrt{2l^2} \) \( \Rightarrow d=\sqrt{2}l \).
Como os valores do lado, diagonal e da área formam uma \(P.A.\), na seguinte ordem.
\[ l; \sqrt{2}l; l^2 \].
Então, a diferença será igual a \( \sqrt{2}l-l= l^2-\sqrt{2}l \).
Agora vamos resolver essa equação de modo a encontrarmos o valor do lado.
\( \sqrt{2}l-l= l^2-\sqrt{2}l \) \( \Rightarrow l(\sqrt{2}-1)= l(l-\sqrt{2}) \) \( \Rightarrow \cancel{l}(\sqrt{2}-1)= \cancel{l}(l-\sqrt{2}) \) \( \Rightarrow \sqrt{2}-1= l-\sqrt{2}\) \( \Rightarrow l=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}\) \( \Rightarrow l= 2\sqrt{2}-1 \).
Entretanto, a diagonal do quadrado será igual a:
\( d=\sqrt{2}l = \sqrt{2}\cdot (2\sqrt{2}-1)\) \(= 2\cdot (\sqrt{2})^2-\sqrt{2}\) \(=2\cdot 2 - \sqrt{2}\) \(=4-\sqrt{2}\).
Então, \(ABP\) formam um triângulo em que \(AB\) é a hipotenusa e os outros lados são catetos.
Assim, \(|AB|=|AE|+|EB|\) \( =1cm+4cm=5cm\)
Agora, pelo teorema de pitagoras temos que: \(|AP|^2+|PB|^2=|AB|^2\) \( \Rightarrow |AP|^2+3^2=5^2\) \(\Rightarrow |AP|=\sqrt{25-9}\) \(\Rightarrow |AP|=\sqrt{16}\) \( \Rightarrow |AP|=4cm \).
Entretanto, como \( |CD|=|AP|\) então \( |CD|=4cm \).
\( x-3\gt 0 \wedge x\gt 0 \) \( \Rightarrow x \gt 0 \wedge x\gt 0\).
Assim, o domínio da equação é \( x\in ]-3; +\infty[\).
Agora vamos resolver a equação:
\(\log_2(x-3) + 2\log_43^{\log_3x}=2 \) \( \Rightarrow \log_2(x-3) + 2\log_{2^2}x^{\log_33}=2 \) \( \Rightarrow \log_2(x-3) + \frac{2}{2}\log_2x^{1}=2 \) \( \Rightarrow \log_2(x-3) + \log_2x=2 \) \( \Rightarrow \log_2[(x-3)\cdot x] =2\) \( \Rightarrow x(x-3)=2^2 \) \( \Rightarrow x^2-3x-4=0\) \( \Rightarrow (x-4)(x+1)=0\) \( \Rightarrow x=4 \vee x=-1 \).
Entretanto, a solução é \( x=4\).
Nota: \(-1\) não é solução da equação porque não pertence ao domínio da equação.
Para \(Oy\): \(3x +2 \cdot 0 -12 = 0 \) \( \Rightarrow 3x-12=0\) \( \Rightarrow x=4\). Assim, o ponto \(B\) será \((4;0)\).
Agora o ponto médio é dado por: \(M(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})\) \( \Rightarrow M(\frac{0+4}{2}; \frac{6+0}{2})\) \(\Rightarrow M(2; 3)\)
Podemos ver claramente que os pontos \(A\), \(O\) e \(B\), formam um triângulo rectangulo, com o lado \(AB\) medindo \(6cm\), e o lado \(AO\) medindo \(3cm\). Então vamos calcular o valor do lado \(OB\) de modo a acharmos as coordenadas do ponto \(B\).
Assim, \(|OB|^2+|AO|^2=|AB|^2\) \(\Rightarrow |OB|^2=6^2-3^2\) \(\Rightarrow |OB|=\sqrt{36-9}\) \(\Rightarrow |OB|=\sqrt{27}\) \(\Rightarrow |OB|=3\sqrt{3}\).
Daí temos as coordenadas do ponto \(B(0;3\sqrt{3})\).
Agora vamos usar a fórmula para determinar a equação fa recta.
\[y-y_B=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x-x_B)\]
Substituindo os valores dos pontos \(A\) e \(B\) na equação temos:
\( y-3\sqrt{3}=\frac{0-3\sqrt{3}}{-3-0}(x-0) \) \(\Rightarrow y=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}(x) +3\sqrt{3} \) \( \Rightarrow y=\sqrt{3}x+3\sqrt{3} \) \(\Rightarrow y=\sqrt{3}(x+3)\).
Assim, \(x-80\% \cdot x = 1\) \(\Rightarrow x-\frac{80}{100}x=1\) \(\Rightarrow 100x-80x=100\) \(\Rightarrow 20x=100\) \(\Rightarrow x=5\).
Entretanto, precisamos de \(5\) quilos de fruta fresca para preparar \(1\) quilo de fruta seca.
Seja \(P\) o produto das raizes da equação, então, \(P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\).
Como, uma raiz é quatro vezes maior que a outra, então temos que: \(x_1=4x_2\).
Agora visto que atraves do produto achamos que \(x_1\cdot x_2=1\), então \(4x_2\cdot x_2=1\) \(\Rightarrow x_2^2=\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow x_2=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(\Rightarrow x_2=\pm\frac{1}{2}\).
E atraves da soma temos que \(x_1+x_2=-a\) \(\Rightarrow 4x_2+x_2=-a\) \(\Rightarrow a=-5x_2\) \(\Rightarrow a=\pm 5\cdot \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow a=\pm \frac{5}{2}\).
Entretanto, o produto das raizes da equação será \(-1\cdot (-5)=5\).
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Qualquer duvida ou sugestão, DEIXE O SEU COMENTARIO.20. Para o triângulo \(ABD\) dado na figura são verdadeiras as igualidades \(AC=BC=DC\), \(C\) pertence ao lado \(BD\), e \(\angle{ADB} = 35° \). Então o \(\angle{ABC} \) é igual a:
Resolução:
Como \(AC=BC\), então \(\angle{ABC}=\angle{CAB}=\alpha\).Do mesmo modo \(AC=DC\), então \(\angle{CAD}=\angle{ADC}=35°\).
Assim, para o triângulo \(ABD\), teremos que \( \angle{BAD}=\alpha+35°\).
Logo, \(\angle{DBA}+\angle{BAD}+\angle{ADB}=180°\) \(\Rightarrow \alpha+(\alpha+35°)+35°=180°\) \(\Rightarrow 2\alpha =180°-70°\) \(\Rightarrow \alpha=55°\).
Entretanto, \(\angle{ABD}=55°\).
21. Os números que exprimem o lado, a diagonal, e a área de um quadrado formam uma progressão aritmética, nesta ordem. A diagonal do quadrado mede:
Resolução:
Primeiro vamos desenhar o quadrado com is seus respectivos dados:Agora vamos expressar a diagonal em função do lado.
Assim, atraves do teorema de pitagoras temos que: \(d^2=l^2+l^2\) \( \Rightarrow d=\sqrt{2l^2} \) \( \Rightarrow d=\sqrt{2}l \).
Como os valores do lado, diagonal e da área formam uma \(P.A.\), na seguinte ordem.
\[ l; \sqrt{2}l; l^2 \].
Então, a diferença será igual a \( \sqrt{2}l-l= l^2-\sqrt{2}l \).
Agora vamos resolver essa equação de modo a encontrarmos o valor do lado.
\( \sqrt{2}l-l= l^2-\sqrt{2}l \) \( \Rightarrow l(\sqrt{2}-1)= l(l-\sqrt{2}) \) \( \Rightarrow \cancel{l}(\sqrt{2}-1)= \cancel{l}(l-\sqrt{2}) \) \( \Rightarrow \sqrt{2}-1= l-\sqrt{2}\) \( \Rightarrow l=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}\) \( \Rightarrow l= 2\sqrt{2}-1 \).
Entretanto, a diagonal do quadrado será igual a:
\( d=\sqrt{2}l = \sqrt{2}\cdot (2\sqrt{2}-1)\) \(= 2\cdot (\sqrt{2})^2-\sqrt{2}\) \(=2\cdot 2 - \sqrt{2}\) \(=4-\sqrt{2}\).
22. Duas circunferências de centros \(A\) e\(B\), respectivamente são tangentes entre si no ponto \(E\) e tangentes à recta \(r\) nos pontos \(C\) e \(D\), respectivamente. Sabendo que seus raios medem \(4cm\) e \(1cm\), pode-se concluir que o segmento \(CD\) mede:
Resolução:
Vamos acrescentar um ponto \(P\) no segmento de recta \(DB\), tal que \(|DP|=1cm\) e \(|PB|=3cm\).Então, \(ABP\) formam um triângulo em que \(AB\) é a hipotenusa e os outros lados são catetos.
Assim, \(|AB|=|AE|+|EB|\) \( =1cm+4cm=5cm\)
Agora, pelo teorema de pitagoras temos que: \(|AP|^2+|PB|^2=|AB|^2\) \( \Rightarrow |AP|^2+3^2=5^2\) \(\Rightarrow |AP|=\sqrt{25-9}\) \(\Rightarrow |AP|=\sqrt{16}\) \( \Rightarrow |AP|=4cm \).
Entretanto, como \( |CD|=|AP|\) então \( |CD|=4cm \).
23. A solução da equação \( \log_2(x-3) + 2\log_43^{\log_3x}=2 \).
Resolução:
Primeiro vamos encontrar o domínio da equação:\( x-3\gt 0 \wedge x\gt 0 \) \( \Rightarrow x \gt 0 \wedge x\gt 0\).
Assim, o domínio da equação é \( x\in ]-3; +\infty[\).
Agora vamos resolver a equação:
\(\log_2(x-3) + 2\log_43^{\log_3x}=2 \) \( \Rightarrow \log_2(x-3) + 2\log_{2^2}x^{\log_33}=2 \) \( \Rightarrow \log_2(x-3) + \frac{2}{2}\log_2x^{1}=2 \) \( \Rightarrow \log_2(x-3) + \log_2x=2 \) \( \Rightarrow \log_2[(x-3)\cdot x] =2\) \( \Rightarrow x(x-3)=2^2 \) \( \Rightarrow x^2-3x-4=0\) \( \Rightarrow (x-4)(x+1)=0\) \( \Rightarrow x=4 \vee x=-1 \).
Entretanto, a solução é \( x=4\).
Nota: \(-1\) não é solução da equação porque não pertence ao domínio da equação.
24. A recta \( 3x + 2y -12=0 \) intercecta os eixos coordenados \(Ox\) e \(Oy\) nos pontos \(A\) e \(B\), respectivamente. O ponto médio \(M\) do segmento \(AB\) é:
Resolução:
Para \(Ox\): \(3\cdot 0 + 2y -12=0\) \(\Rightarrow 2y=12\) \(\Rightarrow y=6\). Assim, o ponto \(A\) será \((0;6)\).Para \(Oy\): \(3x +2 \cdot 0 -12 = 0 \) \( \Rightarrow 3x-12=0\) \( \Rightarrow x=4\). Assim, o ponto \(B\) será \((4;0)\).
Agora o ponto médio é dado por: \(M(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})\) \( \Rightarrow M(\frac{0+4}{2}; \frac{6+0}{2})\) \(\Rightarrow M(2; 3)\)
25. O triângulo \(ABC\) é equilatero e o seu lado mede \(6cm\). A equação da recta que contém o lado \(AB\) é:
Resolução:
Como o triângulo é equilatero então as coordenadas do ponto \(A\) serão \(A(-3;0)\). Agora devemos encontrar as coordenadas do ponto \(B\).Podemos ver claramente que os pontos \(A\), \(O\) e \(B\), formam um triângulo rectangulo, com o lado \(AB\) medindo \(6cm\), e o lado \(AO\) medindo \(3cm\). Então vamos calcular o valor do lado \(OB\) de modo a acharmos as coordenadas do ponto \(B\).
Assim, \(|OB|^2+|AO|^2=|AB|^2\) \(\Rightarrow |OB|^2=6^2-3^2\) \(\Rightarrow |OB|=\sqrt{36-9}\) \(\Rightarrow |OB|=\sqrt{27}\) \(\Rightarrow |OB|=3\sqrt{3}\).
Daí temos as coordenadas do ponto \(B(0;3\sqrt{3})\).
Agora vamos usar a fórmula para determinar a equação fa recta.
\[y-y_B=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}(x-x_B)\]
Substituindo os valores dos pontos \(A\) e \(B\) na equação temos:
\( y-3\sqrt{3}=\frac{0-3\sqrt{3}}{-3-0}(x-0) \) \(\Rightarrow y=\frac{-3\sqrt{3}}{-3}(x) +3\sqrt{3} \) \( \Rightarrow y=\sqrt{3}x+3\sqrt{3} \) \(\Rightarrow y=\sqrt{3}(x+3)\).
26. Se \( \frac{x}{y}=\frac{2}{3}\) então \( \frac{6x-2y}{3x+y} \) é igual a:
Resolução:
\( \frac{x}{y}=\frac{2}{3}\) \( \Rightarrow x=\frac{2}{3}y\), assim, \( \frac{6x-2y}{3x+y}\) \(= \frac{6\cdot \frac{2y}{3}-2y}{3\cdot \frac{2y}{3}+y}\) \(=\frac{4y-2y}{2y+y}\) \( \frac{2y}{3y}\) \(=\frac{2}{3}\).27. Se durante o processor de secagem as frutas perdem \(80\%\) do seu peso, que quantidade de fruta secagem é preciso secar para preparar \(1\) quilo de fruta seca?
Resolução:
Seja \(x\) a quantidade de fruta fresca necessária para preparar \(1\) quilo de fruta seca.Assim, \(x-80\% \cdot x = 1\) \(\Rightarrow x-\frac{80}{100}x=1\) \(\Rightarrow 100x-80x=100\) \(\Rightarrow 20x=100\) \(\Rightarrow x=5\).
Entretanto, precisamos de \(5\) quilos de fruta fresca para preparar \(1\) quilo de fruta seca.
28. Se uma raiz da equação \(x^2+ax+1=0\) é qutro vezes maior do que outra, então o parâmetro \(a\) da equação é igual a:
Resolução:
Seja \(S\) a soma das raizes da equação, então \(S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{a}{1}=-a\).Seja \(P\) o produto das raizes da equação, então, \(P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\).
Como, uma raiz é quatro vezes maior que a outra, então temos que: \(x_1=4x_2\).
Agora visto que atraves do produto achamos que \(x_1\cdot x_2=1\), então \(4x_2\cdot x_2=1\) \(\Rightarrow x_2^2=\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow x_2=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(\Rightarrow x_2=\pm\frac{1}{2}\).
E atraves da soma temos que \(x_1+x_2=-a\) \(\Rightarrow 4x_2+x_2=-a\) \(\Rightarrow a=-5x_2\) \(\Rightarrow a=\pm 5\cdot \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow a=\pm \frac{5}{2}\).
29. O produto das raizes da equação \(|3+x|=2\) é igual a:
Resolução:
\(|3+x|=2\) \(\Rightarrow \begin{cases} 3+x=2\\ -(3+x)=2 \end{cases} \) \(\Rightarrow \begin{cases} x=2-3\\ -3-x=2 \end{cases} \) \(\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\ x=-5 \end{cases} \)Entretanto, o produto das raizes da equação será \(-1\cdot (-5)=5\).
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