RESOLUÇÃO EXAME UEM MATEMÁTICA 2014_21-30

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21. O domínio da função $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ é:

Resolução:

Como $f(x)$ é irracional fracionaria, entao:
$x^2-1\gt0 \ \wedge \ x^2-1\neq0,$ porem basta diz que $x^2-1\gt0.$
Assim, $x^2\gt1$ $\Longrightarrow x \in \ ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$

22. A função inversa da função $f(x)=1-\log_{2}{x}$ é:

Resolução:

Sendo $f(x)=1-\log_{2}{x}$, para achar a inversa fazermos:
$x=1-\log_{2}{[f^{-1}(x)]},$ agora vamos isolar $f^{-1}(x)$

Assim, $\log_{2}{[f^{-1}(x)]}=1-x$ $\Longrightarrow f^{-1}(x)=2^{1-x}$

23. A função $y=f(x)=\sqrt{-1-\frac{3}{x}}$ é definida sobre o conjunto:

Resolução:

Como $f(x)$ é irracional fracionaria, entao:
$-1-\frac{3}{x}\ge0 \wedge x\neq0,$ assim $\frac{-x-3}{x}\ge0 \wedge x\neq0$
$\begin{array}{|cccccc|}\hline x& ]-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->};-<!--\; -\; -->3[& -<!--\; -\; -->3& ]-<!--\; -\; -->3;0[& 0& ]0;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}[\\ -<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->3& +& 0& -& -3& -\\ \frac{-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->3}{x}& -& 0& +& \nexists & -\\ \hline\end{array}$

$x \in \ [-3 ; 0 [$

24. A recta tangente ao gráfico da função $y=f(x)=(2x+1)e^{-x}$ no seu ponto de intersecção com o eixo $Oy$ faz com o eixo $Ox$ o ângulo igual a: ANULADA

Resolução:

Como o ponto de interseccao é dada no eixo $Oy$, entao $x_0=0.$
Agora vamos derivar a funcao:
$f'(x) \ \ = \ \ [(2x+1)e^{-x}]'$ $\ \ = \ \ (2x+1)'\cdot e^{-x} + (2x+1)\cdot (e^{-x})'$ $\ \ = \ \ 2e^{-x}+(2x+1)\cdot (-x)'\cdot e^{-x}$ $\ \ = \ \ 2e^{-x}+(2x+1)\cdot (-1)\cdot e^{-x}$ $\ \ = \ \ 2e^{-x}-2xe^{-x}-e^{-x}$
$f'(x_0)=f'(0)$ $=2e^{-0}-2\cdot 0\cdot e^{-0}-e^{-0}$ $=2\cdot 1-0-1=1$

Assim, $\alpha=\arctan{f'(x_0)}=\arctan1=45^0$

25. A(s) assíntota(s) vertical(is) da função $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-2}$ é(são):

Resolução:

Primeiro vamos simplificar a funcao:
$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-2}$ $=\frac{(x-2)\cancel{(x+2)}}{(x-1)\cancel{(x+2)}}$ $=\frac{x-2}{x-1}$
Agora, $x-1\ne0$ $\Longrightarrow x\ne1$

Entretanto, $A.V.: x=1$

26. Considere a sucessão definida por $V_n=-4+\frac{1}{n^3+n+1}.$ Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

Resolução:

Para verificar qual das afirmações é verdadeira vamos achar o limite da sucessão:
$\lim{V_n}=\lim{\left(-4+\frac{1}{n^3+n+1}\right)}$ $=-4,$ visto que $\frac{1}{n^3+n+1} \to 0,$ $n \to +\infty$

Entretanto, $V_n$ tende para $-4$

27. Da função $f$ definida por $f(x)=\left\{ \begin{array}{c} 5x-3 \quad x\gt1\\ 2 \quad\quad\quad x=1\\ 1-ax \quad x\lt1 \end{array} \right.,$ determinar $a\in R$ para que exista $\displaystyle \lim_{x\to1} f(x)$

Resolução:

Para que exista $\displaystyle \lim_{x\to1} f(x)$ é necessario que:
$\displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x)$ $= \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x)$ $= f(1),$
$\displaystyle \lim_{x\to1^-} (1-ax)$ $= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (5x-3)$ $= 2,$
$\displaystyle \lim_{x\to1^-} (1-a\cdot 1)$ $= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (5\cdot 1-3)$ $= 2,$
$1-a = 2$ $\Longrightarrow \ a=-1$

28. É correcto afirmar que:

Resolução:
$\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{x-1}{|x-1|}$ $=\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{1^--1}{|1^--1|}$ $=\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{0^-}{|0^-|}$ $=\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{0^-}{0^+}$ $=-1$

29. Para que valores de $p$, $f(x)=\left\{ \begin{array}{c} x+1; \quad se \ x\le1\\ 3-px^2; \quad se \ x\gt1 \end{array} \right.,$ é contínua em $x=1$?

Resolução:

Para que $f(x)$ seja continua é necessario que:
$\displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x)$ $= \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x) = f(1),$ assim, $\displaystyle \lim_{x\to1^-} (x+1)$ $= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (3-px^2) = x+1,$ para $x=1$ $\displaystyle \lim_{x\to1^-} (1+1)$ $= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (3-p\cdot 1^2)$ $= 1+1$ $2=3-p=2$ $\Longrightarrow \ 3-p=2$ $\Longrightarrow \ p=1$

30. A expressão que representa o gráfico $y=f(x)$ da figura ao lado é:

Resolução:

Fazendo leitura do grafico facilmente concluimos que:
$f(-2)=0,$ $f(0)=-2,$ $A.V.: x=1,$ e $A.H.: y=1$
Assim, $f(x)$ $= \frac{x+2}{x-1}$