RESOLUÇÃO EXAME UEM MATEMÁTICA 2014_21-30
21. O domínio da função \(f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\) é:
Resolução: Como \(f(x)\) é irracional fracionaria, entao: \( x^2-1\gt0 \ \wedge \ x^2-1\neq0, \) porem basta diz que \(x^2-1\gt0.\) Assim, \( x^2\gt1 \) \(\Longrightarrow x \in \ ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[ \)
22. A função inversa da função \(f(x)=1-\log_{2}{x}\) é:
Resolução: Sendo \(f(x)=1-\log_{2}{x}\), para achar a inversa fazermos: \( x=1-\log_{2}{[f^{-1}(x)]}, \) agora vamos isolar \(f^{-1}(x)\) Assim, \( \log_{2}{[f^{-1}(x)]}=1-x \) \( \Longrightarrow f^{-1}(x)=2^{1-x} \)
23. A função \(y=f(x)=\sqrt{-1-\frac{3}{x}}\) é definida sobre o conjunto:
Resolução:
Como \(f(x)\) é irracional fracionaria, entao:
\( -1-\frac{3}{x}\ge0 \wedge x\neq0, \) assim \( \frac{-x-3}{x}\ge0 \wedge x\neq0 \)
\(x \in \ [-3 ; 0 [ \)
24. A recta tangente ao gráfico da função \(y=f(x)=(2x+1)e^{-x}\) no seu ponto de intersecção com o eixo \(Oy\) faz com o eixo \(Ox\) o ângulo igual a: ANULADA
Resolução:
Como o ponto de interseccao é dada no eixo \(Oy\), entao \(x_0=0.\)
Agora vamos derivar a funcao:
\( f'(x) \ \ = \ \ [(2x+1)e^{-x}]' \) \( \ \ = \ \ (2x+1)'\cdot e^{-x} + (2x+1)\cdot (e^{-x})' \) \( \ \ = \ \ 2e^{-x}+(2x+1)\cdot (-x)'\cdot e^{-x} \) \( \ \ = \ \ 2e^{-x}+(2x+1)\cdot (-1)\cdot e^{-x} \) \( \ \ = \ \ 2e^{-x}-2xe^{-x}-e^{-x} \)
\( f'(x_0)=f'(0) \) \( =2e^{-0}-2\cdot 0\cdot e^{-0}-e^{-0} \) \(=2\cdot 1-0-1=1 \)
Assim, \( \alpha=\arctan{f'(x_0)}=\arctan1=45^0 \)
25. A(s) assíntota(s) vertical(is) da função \(f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-2}\) é(são):
Resolução:
Primeiro vamos simplificar a funcao:
\( f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-2}\) \(=\frac{(x-2)\cancel{(x+2)}}{(x-1)\cancel{(x+2)}}\) \(=\frac{x-2}{x-1} \)
Agora, \(x-1\ne0 \) \( \Longrightarrow x\ne1 \)
Entretanto, \( A.V.: x=1 \)
26. Considere a sucessão definida por \(V_n=-4+\frac{1}{n^3+n+1}.\) Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
Resolução:
Para verificar qual das afirmações é verdadeira vamos achar o limite da sucessão:
\(\lim{V_n}=\lim{\left(-4+\frac{1}{n^3+n+1}\right)}\) \(=-4, \) visto que \( \frac{1}{n^3+n+1} \to 0,\) \( n \to +\infty \)
Entretanto, \( V_n \) tende para \( -4 \)
27. Da função \(f\) definida por \(f(x)=\left\{ \begin{array}{c} 5x-3 \quad x\gt1\\ 2 \quad\quad\quad x=1\\ 1-ax \quad x\lt1 \end{array} \right.,\) determinar \(a\in R\) para que exista \( \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) \)
Resolução:
Para que exista \( \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) \) é necessario que:
\( \displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x)\) \( = \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x) \) \( = f(1), \)
\( \displaystyle \lim_{x\to1^-} (1-ax) \) \(= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (5x-3) \) \( = 2, \)
\( \displaystyle \lim_{x\to1^-} (1-a\cdot 1) \) \( = \displaystyle \lim_{x\to1^+} (5\cdot 1-3) \) \( = 2, \)
\( 1-a = 2 \) \( \Longrightarrow \ a=-1\)
28. É correcto afirmar que:
Resolução:
\(\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{x-1}{|x-1|} \) \(=\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{1^--1}{|1^--1|}\) \(=\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{0^-}{|0^-|}\) \(=\displaystyle \lim_{x\to1^-} \dfrac{0^-}{0^+} \) \(=-1\)
29. Para que valores de \(p\), \(f(x)=\left\{ \begin{array}{c} x+1; \quad se \ x\le1\\ 3-px^2; \quad se \ x\gt1 \end{array} \right.,\) é contínua em \(x=1\)?
Resolução:
Para que \(f(x)\) seja continua é necessario que:
\( \displaystyle \lim_{x\to1^-} f(x) \) \( = \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x) = f(1), \) assim, \( \displaystyle \lim_{x\to1^-} (x+1) \) \(= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (3-px^2) = x+1, \) para \( x=1 \) \( \displaystyle \lim_{x\to1^-} (1+1) \) \(= \displaystyle \lim_{x\to1^+} (3-p\cdot 1^2) \) \( = 1+1 \) \( 2=3-p=2 \) \( \Longrightarrow \ 3-p=2 \) \( \Longrightarrow \ p=1 \)
30. A expressão que representa o gráfico \(y=f(x)\) da figura ao lado é:
Resolução:
Fazendo leitura do grafico facilmente concluimos que:
\(f(-2)=0, \) \( f(0)=-2, \) \( A.V.: x=1, \) e \( A.H.: y=1\)
Assim, \( f(x) \) \(= \frac{x+2}{x-1} \)
Muito interessante
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