RESOLUÇÃO EXAME UEM MATEMÁTICA 2014_11-20

1 - 10 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 55

11. A área da vela do barco maior é de $16cm^2$, logo a área do casco do barco menor mede:

Resolução:
Na figura podemos ver que na vela do barco maior temos 2 quadrados e mais 4 metades pintados. O que corresponde a 4 quadrados pintados.
Usando a mesma analogia podemos verificar que o casco do barco menor tem 3 quadrados pintados.
Assim temos que,

$16cm^2 \Longrightarrow 4$
$x \qquad \Longrightarrow 3$

Agora pela regra de tres simples teremos que $x=12cm^2$.

12. A razão entre o desenho representando o barco A e o barco B é:

Resolução:
Na figura podemos ver que no desenho do barco A temos 12 quadrados e mais 8 metades pintados. O que corresponde a 16 quadrados pintados.
Usando a mesma analogia podemos verificar que no desenho do barco B temos 4 quadrados pintados.
Assim a razao entre o desenho representando o barco A e o barco B é: $\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2$

13. Num prédio foi efectuado uma pesquisa sobre os frequentadores das lanchonetes A, B e C e constatou-se que 30, 40 e 20 indivíduos frequentavam A, B e C, respectivamente; 12 frequentavam A e B; 9 frequentavam B e C; 6 frequentavam A e C; 4 frequentavam A, B e C; 5 não frequentavam nenhuma lanchonete. O número de moradores do prédio é:

Resolução: O número de moradores do prédio é: $16+8+23+2+4+5+9+5=72$

14. Simplificando a expressão $\frac{(n+3)! - (n+2)! }{(n+2)! + (n+2)\cdot n! }, n \in N,$ obtém-se:

Resolução: $$\begin{align} &\cssId{Step11}{\frac{(n+3)! - (n+2)! }{(n+2)! + (n+2)\cdot n! }=}\\ &\cssId{Step12}{= \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n! - (n+2)(n+1)n! }{(n+2)(n+1)n! + (n+2)n! }}\\ &\cssId{Step13}{= \frac{(n+2)n![(n+3)(n+1) - (n+1)]}{(n+2)n![(n+1) + 1]}}\\ &\cssId{Step14}{= \frac{\cancel{(n+2)}\cancel{n!}(n^2+4n+3 - n-1)}{\cancel{(n+2)}\cancel{n!}(n+1 + 1)}}\\ &\cssId{Step15}{= \frac{n^2+3n+2}{n+2}}\\ &\cssId{Step16}{= \frac{\cancel{(n+2)}(n+1)}{\cancel{n+2}}}\\ &\cssId{Step17}{= n+1}\\ \end{align}$$

15. Para que valores de $k$, a equação $x^2-kx+9=0$ tem uma raiz dupla?

Resolução:

Para que a equação $x^2-kx+9=0$ tenha uma raiz dupla é necessario que $\Delta=0.$
Como $\Delta=b^2-4ac$, entao $b^2-4ac=0$, com $a=1; b=-k; c=9$
Assim, $(-k)^2-4\cdot 1\cdot 9=0 \Longrightarrow k^2=36$
Dai que, $k=\pm 6$.

16. Se $|2-4x|\lt1,$ então:

Resolução:

$|2-4x|\lt 1 \quad \Longrightarrow -1 \ \lt \ 2-4x \ \lt \ 1$ $\quad \Longrightarrow -1-2 \ \lt\cancel{2}-4x-\cancel{2}\lt1-2$ $\quad \Longrightarrow -3 \ \lt \ -4x \ \lt \ -1$ $\quad \Longrightarrow \frac{-3}{-4} \ \gt \ \frac{\cancel{-4}x}{\cancel{-4}} \ \gt \ \frac{-1}{-4}$ $\quad \Longrightarrow \frac{3}{4} \ \gt \ x \ \gt \ \frac{1}{4}$ $\quad \Longrightarrow \frac{1}{4} \ \lt \ x \ \lt \ \frac{3}{4}$

17. Os números $a-4, a+2 \ e \ 3a+1,$ nessa ordem, estão em progressão geométrica. Determine a razão dessa progressão. ANULADA

Resolução:

Por definicao: $\left\{ \begin{array}{lll} \frac{a+2}{a-4}=q\\ \frac{3a+1}{a+2}=q\\ \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \frac{a+2}{a-4}=\frac{3a+1}{a+2}$

$\quad \Longrightarrow (a+2)(a+2)=(3a+1)(a-4)$ $\quad \Longrightarrow a^2+4a+4=3a^2-11a-4$ $\quad \Longrightarrow 2a^2-15a-8=0$ $\quad \Longrightarrow (a-8)(a+\frac{1}{2})=0$ $\quad \Longrightarrow a_1=8 \vee a_2=-\frac{1}{2}$

$Assim, q_1=\frac{8+2}{8-4} \vee q_2=\frac{-\frac{1}{2}+2}{-\frac{1}{2}-4}$ $\quad \Longrightarrow q_1=\frac{5}{2} \vee q_2=-\frac{1}{3}$

18. Com $2l$ de concentrado de manga e $3l$ de água obtém-se um delicioso sumo de manga. Para obter $50l$ de sumo são necessários:

Resolução:

Seja $2k$ a quantidade necessaria de concentrado de manga e
Seja $3k$ a quantidade necessaria de agua

Assim, $2k+3k=50 \Longrightarrow k=10$
Dai que, $2k=2\cdot 10 =20l$ de concentrado de sumo de manga e, $3k=3\cdot 10 =30l$ de agua.

19. Se $2x+y=70$, o valor de $x$ e $y$ na proporção $\frac{3}{4}=\frac{x}{y}$ é:

Resolução:

Vamos colocar as duas equacoes num sistema.

$\left \{ \begin{array}{lll} 2x+y=70\\ \frac{3}{4}=\frac{x}{y} \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left \{ \begin{array}{lll} y=70-2x\\ \frac{3}{4}=\frac{x}{70-2x} \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left \{ \begin{array}{lll} y=70-2x\\ 3\cdot (70-2x)=4\cdot x \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left \{ \begin{array}{lll} y=70-2x\\ 210-6x=4x \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left \{ \begin{array}{lll} y=70-2\cdot 21\\ x=21 \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left \{ \begin{array}{lll} y=28\\ x=21 \end{array} \right.$

20. O quinto termo de uma progressão aritmética é igual a $11$ e oitavo termo é igual a $17$ . Calculando a soma dos primeiros dez termos desta progressão aritmética, obtém-se:

Resolução: Seja $a_5=11 \ e \ a_8=17$
Sabendo que a soma dos 10 primeiros termos de uma P.A. é dada por:
$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$
Assim, $a_n=a_1+(n-1)d$, sendo $d$ a diferença.
Agora, $\left\{ \begin{array}{lll} a_5=a_1+(5-1)d\\ a_8=a_1+(8-1)d \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lll} a_1+4d=11\\ a_1+7d=17 \end{array} \right. \Longrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lll} a_1=3\\ d=2 \end{array} \right.$

Entao, $a_n=3+(n-1)\cdot 2 = 2n+1 \Longrightarrow a_{10}=21$
Dai que, $S_{10}=\frac{(3+21)\cdot 10}{2} = 120$