RESOLUÇÃO EXAME UEM MATEMÁTICA 2014 31-40

1 - 10 11 - 20 21 - 30 41 - 50 51 - 55

31. No gráfico ao lado o $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{f(x)}$ é:

Resolução:

Fazendo leitura do grafico facilmente concluimos que:
Quando $x \to -\infty,$ $f(x) \to 1,$
Assim, $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{f(x)}$ $=\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1}$ $=1$

32. Resolvendo $|2+\log_3x|\ge5,$ a solução é:

Resolução:

Sempre que lidamos com modulos, é conveniente separar a equacao por ramos:
$\left\{ \begin{array}{c} 2+\log_3x\ge5, \quad \ \ se \ 2+\log_3x\ge0\\ -(2+\log_3x)\ge5, \ se \ 2+\log_3x\lt0\\ x>0, \quad \quad \quad \quad \quad dominio \ de \ log_3x \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \log_3x\ge3, \quad se \ \log_3x\ge-2\\ -2-\log_3x\ge5, \ se \ log_3x\lt-2\\ x>0, \quad \quad \quad dominio \ de \ log_3x \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\ge3^3, \quad \ se \ x\ge3^{-2}\\ -log_3x\ge7, \ se \ x\lt3^{-2}\\ x>0 \qquad \qquad \qquad \end{array} \right.$ $\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\ge27, \ \ se \ x\ge\frac{1}{9}\\ x\le3^{-7}, se \ \ x\lt\frac{1}{9}\\ x>0 \qquad \qquad \quad \ \end{array} \right.$

$Sol.: x\in ]0;3^{-7}[\cup [27;+\infty[$

33. A equação da recta que passa pelo ponto $A(2;3)$ e é paralela à recta de equação $2x-6y+1=0$ é:

Resolução:

Para que duas rectas sejam paralelas e necessario que tenham o mesmo declive.
Assim, $2x-6y+1=0$ $\Longrightarrow y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}$
Logo o declive das duas rectas é: $a=\frac{1}{3}.$
Agora, sabendo que esta mesma recta passa pelo ponto $A(2;3)$
Entao teremos, $y-3=\frac{1}{3}(x-2)$ $\Longrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\cdot2+3$ $\Longrightarrow 3y=x-2+9$ $\Longrightarrow x-3y+7=0$

34. O valor de $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{f(x)}$ é:

Resolução:

Fazendo a leitura no grafico podemos constatar que:
Quando $x \to 2^-$ (da esquera para direita) $f(x) \to 0^-$
Assim, $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{f(x)}$ $=\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{0^-}$ $=-\infty$

35. O valor de $X=f(1)+f(-\frac{1}{2})$ é:

Resolução:

Fazendo a leitura no grafico temos que:
$f(1)=-2$ e $f(-\frac{1}{2}) \approx 0.5$
Assim, $X=f(1)+f(-\frac{1}{2}) \approx -2+0.5$ $\approx -1.5 \lt -1$

Entretanto, $X \lt -1$

36. $y=f'(x) \ para \ -\infty \lt x \lt -1 \ é:$

Resolução:

Para $-\infty \lt x \lt -1,$ $f(x)$ é crescente
Sendo assim, $f'(x)$ é POSITIVA nesse mesmo intervalo.

37. Considere a função $y=f(x)$ no intervalo $0\lt x \lt 2.$ É FALSO afirmar que neste intervalo:

Resolução:

No intervalo $0 \lt x \lt 2,$ $f(x)$ tem um ponto extremo.
Sendo assim, É FALSO afirmar que neste intervalo $\forall x_0: f'(x_0) \ne 0$

38. De entre as alternativas abaixo apenas uma delas é falsa. Indique qual:

Resolução:

$P_B$ é estritamente crescente em todo seu dominio.
Sendo assim, É FALSO afirmar que:
Num dado momento a taxa de variação da população $B$ é igual a zero.

39. No início de um processo o número de células de ambas as populações é de 120. A equação que expressa o número de células da população $A$ é:

Resolução:

$Q(0)=120$ sendo $P_A$ o grafico duma equação linear então:
$a=\frac{Q(2)-Q(0)}{2-0}$ $=\frac{4\cdot 120-120}{2}$ $=\frac{360}{2}=180$

Entretanto, $Q(t)=180t+120$

40. O número de células das duas populações são iguais:

Resolução:

Analisando o grafico concluir que o número de células das duas populações são iguais:
No inicio do processo e seis horas após.
Entretanto, são verdadeiras as afirmações $A$ e $D$.