RESOLUÇÃO EXAME UEM MATEMÁTICA 2014 31-40

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31. No gráfico ao lado o \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{f(x)} \) é:

Resolução:

Fazendo leitura do grafico facilmente concluimos que:
Quando \( x \to -\infty, \) \( f(x) \to 1,\)
Assim, \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{f(x)} \) \( =\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{1} \) \( =1 \)

32. Resolvendo \( |2+\log_3x|\ge5, \) a solução é:

Resolução:

Sempre que lidamos com modulos, é conveniente separar a equacao por ramos:
\( \left\{ \begin{array}{c} 2+\log_3x\ge5, \quad \ \ se \ 2+\log_3x\ge0\\ -(2+\log_3x)\ge5, \ se \ 2+\log_3x\lt0\\ x>0, \quad \quad \quad \quad \quad dominio \ de \ log_3x \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \log_3x\ge3, \quad se \ \log_3x\ge-2\\ -2-\log_3x\ge5, \ se \ log_3x\lt-2\\ x>0, \quad \quad \quad dominio \ de \ log_3x \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\ge3^3, \quad \ se \ x\ge3^{-2}\\ -log_3x\ge7, \ se \ x\lt3^{-2}\\ x>0 \qquad \qquad \qquad \end{array} \right. \) \( \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\ge27, \ \ se \ x\ge\frac{1}{9}\\ x\le3^{-7}, se \ \ x\lt\frac{1}{9}\\ x>0 \qquad \qquad \quad \ \end{array} \right. \)

\( Sol.: x\in ]0;3^{-7}[\cup [27;+\infty[ \)

33. A equação da recta que passa pelo ponto \(A(2;3)\) e é paralela à recta de equação \(2x-6y+1=0\) é:

Resolução:

Para que duas rectas sejam paralelas e necessario que tenham o mesmo declive.
Assim, \( 2x-6y+1=0 \) \( \Longrightarrow y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6} \)
Logo o declive das duas rectas é: \( a=\frac{1}{3}. \)
Agora, sabendo que esta mesma recta passa pelo ponto \( A(2;3) \)
Entao teremos, \(y-3=\frac{1}{3}(x-2) \) \( \Longrightarrow y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\cdot2+3 \) \( \Longrightarrow 3y=x-2+9 \) \( \Longrightarrow x-3y+7=0 \)

34. O valor de \(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{f(x)}\) é:

Resolução:

Fazendo a leitura no grafico podemos constatar que:
Quando \( x \to 2^- \) (da esquera para direita) \( f(x) \to 0^- \)
Assim, \( \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{f(x)} \) \(=\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{0^-} \) \(=-\infty \)

35. O valor de \( X=f(1)+f(-\frac{1}{2})\) é:

Resolução:

Fazendo a leitura no grafico temos que:
\( f(1)=-2 \) e \( f(-\frac{1}{2}) \approx 0.5 \)
Assim, \( X=f(1)+f(-\frac{1}{2}) \approx -2+0.5 \) \( \approx -1.5 \lt -1 \)

Entretanto, \( X \lt -1 \)

36. \( y=f'(x) \ para \ -\infty \lt x \lt -1 \ é:\)

Resolução:

Para \( -\infty \lt x \lt -1, \) \( f(x) \) é crescente
Sendo assim, \( f'(x) \) é POSITIVA nesse mesmo intervalo.

37. Considere a função \( y=f(x) \) no intervalo \( 0\lt x \lt 2.\) É FALSO afirmar que neste intervalo:

Resolução:

No intervalo \( 0 \lt x \lt 2, \) \( f(x) \) tem um ponto extremo.
Sendo assim, É FALSO afirmar que neste intervalo \( \forall x_0: f'(x_0) \ne 0 \)

38. De entre as alternativas abaixo apenas uma delas é falsa. Indique qual:

Resolução:

\(P_B\) é estritamente crescente em todo seu dominio.
Sendo assim, É FALSO afirmar que:
Num dado momento a taxa de variação da população \(B \) é igual a zero.

39. No início de um processo o número de células de ambas as populações é de 120. A equação que expressa o número de células da população \(A\) é:

Resolução:

\( Q(0)=120 \) sendo \( P_A \) o grafico duma equação linear então:
\( a=\frac{Q(2)-Q(0)}{2-0} \) \( =\frac{4\cdot 120-120}{2} \) \(=\frac{360}{2}=180 \)

Entretanto, \( Q(t)=180t+120 \)

40. O número de células das duas populações são iguais:

Resolução:

Analisando o grafico concluir que o número de células das duas populações são iguais:
No inicio do processo e seis horas após.
Entretanto, são verdadeiras as afirmações \(A \) e \( D\).