RESOLUÇÃO EXAME UEM MATEMÁTICA 2014 41-50
1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 51 - 55
41. Considere as funções \( f(x) \) e \( g(x) \) que expressa o crescimento das populações \( P_A \) e \( P_B \), respectivamente. O valor de \( f(2)+g(5) \) é:
∞
;
1
[
1
]
1
;
2
[
2
]
2
;
3
[
3
]
3
;
+
∞
[
3
−
x
+
2
+
1
+
0
∄
(
1
−
x
)
(
2
−
x
)
2
+
0
-
0
-
- 2
-
3
−
x
(
1
−
x
)
(
2
−
x
)
2
+
∄
-
∄
-
0
∄
-->
46. A expressão analítica da função representada na figura ao lado é:
50. Na figura estão representados os gráficos da função \( f(x)=\frac{x-1}{x} \) e da recta \( y=x+3 \).
As coordenadas do ponto A são:
41. Considere as funções \( f(x) \) e \( g(x) \) que expressa o crescimento das populações \( P_A \) e \( P_B \), respectivamente. O valor de \( f(2)+g(5) \) é:
Resolução:
Analisando o grafico temos que:
\( f(2)=4\cdot 120 \) e \( g(5)=5\cdot 120 \)
Entretanto, \( f(2)+g(5)=480+600=1080.\)
Analisando o grafico temos que:
\( f(2)=4\cdot 120 \) e \( g(5)=5\cdot 120 \)
Entretanto, \( f(2)+g(5)=480+600=1080.\)
42. A equação \( \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{5+x} =-2x \) tem raíz(es):
Resolução:
Primeiro vamos achar o dominio de existencia:
\( 5-x\ge0 \quad \wedge \quad 5+x\ge0 \quad \wedge \quad -2x\ge0 \) \( x\le5 \quad \wedge \quad x\ge-5 \quad \wedge \quad x\le0 \) \( x \in ]-5 ; 0 [ \)
Agora vamos achar a(s) raíz(es) da equacao:
\( \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{5+x} =-2x \) \( \Longrightarrow \left(\sqrt{(5-x)(5+x)}\right)^2 =(-2x)^2 \) \( \Longrightarrow \left(\sqrt[\displaystyle \cancel{}]{25-x^2}\right)^{\cancel{2}} =4x^2 \) \( \Longrightarrow 25-x^2 =4x^2 \) \( \Longrightarrow 5x^2 =25 \) \( \Longrightarrow x^2 =5 \) \( \Longrightarrow x =\pm \sqrt{5} \) Entretanto, \( x=-\sqrt{5}. \) (\( \sqrt{5} \) nao é raiz da equacao porque \( \sqrt{5} \notin ]-5;0[ \))
Primeiro vamos achar o dominio de existencia:
\( 5-x\ge0 \quad \wedge \quad 5+x\ge0 \quad \wedge \quad -2x\ge0 \) \( x\le5 \quad \wedge \quad x\ge-5 \quad \wedge \quad x\le0 \) \( x \in ]-5 ; 0 [ \)
Agora vamos achar a(s) raíz(es) da equacao:
\( \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{5+x} =-2x \) \( \Longrightarrow \left(\sqrt{(5-x)(5+x)}\right)^2 =(-2x)^2 \) \( \Longrightarrow \left(\sqrt[\displaystyle \cancel{}]{25-x^2}\right)^{\cancel{2}} =4x^2 \) \( \Longrightarrow 25-x^2 =4x^2 \) \( \Longrightarrow 5x^2 =25 \) \( \Longrightarrow x^2 =5 \) \( \Longrightarrow x =\pm \sqrt{5} \) Entretanto, \( x=-\sqrt{5}. \) (\( \sqrt{5} \) nao é raiz da equacao porque \( \sqrt{5} \notin ]-5;0[ \))
43. O conjunto de soluções da inequação \( \frac{\sqrt{3-x}}{(1-x)(2-x)^2} \le0 \) é:
Resolução:
Como a inequacao ja encontra-se reduzida a um unico termo, entao:
Primeiro vamos achar os zeros de cada factor.
\( \sqrt{3-x}=0 \Longrightarrow x=3;\) \(\quad 1-x=0 \Longrightarrow x=1; \) \( \quad (2-x)^2=0 \Longrightarrow x=2 \)
Vamos avaliar a variacao do sinal da fraccao pelo sinal do numerador e do denominador.
Como a inequacao ja encontra-se reduzida a um unico termo, entao:
Primeiro vamos achar os zeros de cada factor.
\( \sqrt{3-x}=0 \Longrightarrow x=3;\) \(\quad 1-x=0 \Longrightarrow x=1; \) \( \quad (2-x)^2=0 \Longrightarrow x=2 \)
Vamos avaliar a variacao do sinal da fraccao pelo sinal do numerador e do denominador.
44. O conjunto de soluções da inequação \( 2^{x^2+12} \cdot 5^{x^2+12} \ge 0,0001 \cdot \left( 10^{2-x} \right)^5 \) é:
Resolução:
\( 2^{x^2+12} \cdot 5^{x^2+12} \ge 0,0001 \cdot \left( 10^{2-x} \right)^5 \)
\( \Longrightarrow 10^{x^2+12} \ge 10^{-4} \cdot 10^{5(2-x)} \)
\( \Longrightarrow 10^{x^2+12} \ge 10^{-4+(10-5x)} \) \( \Longrightarrow x^2+12\ge -4+10-5x \)
\( \Longrightarrow x^2+5x+6\ge0 \) \( \Longrightarrow (x+2)(x+3)\ge0 \)
Como \(x^2+5x+6\) é a expressao duma equacao quadratica voltada para cima e com raizes \( -3 \) e \( -2\) entao:
\( x \in ]-\infty;-3[ \cup ]-2;+\infty[ \)
45. A solução da equação logarítmica \( \log_3x+\frac{1}{\log_3x-3}=5 \) é:
Resolução:
Seja, \( \log_3x=y \)
Entao, \( \log_3x+\frac{1}{\log_3x-3}=5\) \( \Longrightarrow y+\frac{1}{y-3}=5 \)
\( \Longrightarrow y(y-3)+1=5(y-3) \) \( \Longrightarrow y^2-3y-5y+1+15=0 \)
\( \Longrightarrow y^2-8y+16=0 \) \( \Longrightarrow (y-4)(y-4)=0 \) \( \Longrightarrow y=4 \)
Assim, \( \log_3x=4 \) \( \quad \Longrightarrow \quad x=3^4=81 \)
46. A expressão analítica da função representada na figura ao lado é:
Resolução:
O grafico representa a transformacao do grafico da funcao \( y=sen \ x \)
A transformacao é de uma unidade para cima, dai que:
\( f(x)=sen \ x+1 \)
47. Sendo \( f(x)=x+2 \quad \) e \( \quad g(x)=2x+5 \), a função composta \( gof(x) \) no ponto \( x=4 \) sera igual a:
Resolução:
\begin{align}
gof(-4)
&\cssId{Step11}{=g[f(-4)]}\\
&\cssId{Step12}{=g(-4+2)}\\
&\cssId{Step13}{=g(-2)}\\
&\cssId{Step14}{=2(-2)+5}\\
&\cssId{Step15}{=1}\\
\end{align}
48. Uma função real de variável \( x \), é tal que \( f(0)=1 \). Indique qual das seguintes expressões pode definir a função f:
Resolução:
\begin{align}
\displaystyle 5^{tg 0}
&\cssId{Step21}{=5^{\frac{sen 0}{cos 0}}}\\
&\cssId{Step22}{=5^{\frac{0}{1}}}\\
&\cssId{Step23}{=5^0}\\
&\cssId{Step24}{=1}\\
\end{align}
49. Calculando a primeira derivada da função \( f(x)=\frac{-6}{(x-1)^2} \) qual delas é correcta?
Resolução:
\( f'(x) \) \( \quad = \quad \left[\frac{-6}{(x-1)^2}\right]' \)
\( \quad = \quad \frac{(-6)' \cdot (x-1)^2 - (-6) \cdot [(x-1)^2]'}{[(x-1)^2]^2} \)
\( \quad = \quad \frac{0 \cdot (x-1)^2 +6 \cdot 2(x-1)(x-1)'}{(x-1)^4} \)
\( \quad = \quad \frac{0 +6 \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} \)
\( \quad = \quad \frac{6 \cdot 2\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)^4}} \) \( \quad = \quad \frac{12}{(x-1)^3} \)
50. Na figura estão representados os gráficos da função \( f(x)=\frac{x-1}{x} \) e da recta \( y=x+3 \).
As coordenadas do ponto A são:
Resolução:
Visto que A é o ponto de interseccao entre os dois graficos, entao:
\begin{align}
&\cssId{Step31}{x+3=\frac{x-1}{x}}\\
&\cssId{Step32}{(x+3)x=x-1}\\
&\cssId{Step33}{x^2+3x-x+1=0}\\
&\cssId{Step34}{x^2+2x+1=0}\\
&\cssId{Step35}{(x+1)^2=0}\\
&\cssId{Step36}{x=-1}\\
&\cssId{Step37}{\text{Dai que, } y=x+3=-1+3=2}\\
&\cssId{Step38}{\text{Entretanto, } A(-1;2)}
\end{align}
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