12Classe Extraordinario 11-12

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11. Qual é o terceiro termo do desenvolvimento de $\left( x+\frac{1}{2} \right)^4$ ?

Resolução:

$\left( x+\frac{1}{2} \right)^4 \quad$ $= \quad C_0^4 \cdot x^4 \left(\frac{1}{2} \right)^0 \quad$ $+\quad C_1^4 \cdot x^3 \left(\frac{1}{2} \right)^1 \quad$ $+\quad C_2^4 \cdot x^2 \left(\frac{1}{2} \right)^2 \quad$ $+\quad C_3^4 \cdot x^1 \left(\frac{1}{2} \right)^3 \quad$ $+\quad C_4^4 \cdot x^0 \left(\frac{1}{2} \right)^4$

Entretanto terceiro termo sera:
$\frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{4}$ $=\frac{4\cdot3\cdot \cancel{2!}}{2!\cancel{2!}} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^2$ $=\frac{12}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^2$ $=\frac{3}{2}x^2$

12. Numa competição há 6 concorrentes. Não havendo empates, de quantas maneiras diferentes podem ser classificados?

Resolução:

Existem 6 maneiras para o 1º lugar, sobrando 5 maneiras para o 2º lugar, sobrando 4 maneiras para o 3º lugar, ate sobrar 1 para o 6º lugar.
Sendo assim, $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6!=720$ maneiras

13. Na escolha de um número de 1 a 30, qual é a probabilidade de que seja sorteado um múltiplo de 5?

Resolução:

Primeiro devemos saber quantos múltiplos de 5 existem no dado intervalo:
$\{5;10;15;20;25;30\}$ $\quad \Longrightarrow \quad$ temos 6 múltiplos de 5.
$P("O \ sorteado \ seja \ multiplo \ de \ 5")$ $=\frac{6}{30}$ $=\frac{1}{5}$

14. Para que valores de $k ∈ I\!\!R$ , a sucessão $u_n=k^n$ com $n ∈ I\!\!N$ é infinitamente pequena?

Resolução:

Por definicao temos que:
$-1\lt k^n \lt 1$ $\quad \Longrightarrow \quad -1\lt k \lt 1$ $\quad \Longrightarrow \quad |k|\lt 1$

15. Qual é a Classificação da sucessão $a_n=\frac{n+1}{n}$ quanto à monotonia?

Resolução:

Para determinar a monotonia vamos calcular a seguinte expressao:
$a_{n+1}-a_n$ $=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n}$ $=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}$ $=\frac{(n+2)n-(n+1)(n+1)}{(n+1)n}$ $=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{(n+1)n}$ $=\frac{-1}{(n+1)n} \lt 0, \forall n \in I\!\!N$
$\Longrightarrow a_n$ é estritamente decrescente.

16. Considere a sucessão $a_n=1-3n.$ Qual é a ordem do termo -59?

Resolução:

Como $a_n$ é uma P.A. entao teremos:
$-59=1-3n$ $\quad \Longrightarrow \quad 3n=1+59$ $\quad \Longrightarrow \quad n=20$

17. A partir de que ordem os termos da sucessão de termo geral $a_n=5-\frac{2}{n+1}$ ficam mais perto do limite a menos de uma décima?

Resolução:

$\lim a_n=5,$ pois $\cancelto{0}{\frac{2}{n+1}}$ entao o limite a menos de uma decima é 4.9
Assim, $5-\frac{2}{n+1}=4,9$ $\quad \Longrightarrow \quad -\frac{2}{n+1}=4,9-5$ $\quad \Longrightarrow \quad \frac{2}{n+1}$ $=\frac{1}{10}$ $\quad \Longrightarrow \quad 2\cdot 10=1\cdot (n+1)$ $\quad \Longrightarrow \quad n=19$

18. Os pares dos termos equidistantes de uma progressão aritmética finita são respectivamente 1 e 37; k e 31 . Qual é o valor de k?

Resolução:

Interpretando o enuciado, temos:
$...;1;...;k;...;31;...;37;...$
$\quad \Longrightarrow \quad k-1=37-31$ $\quad \Longrightarrow \quad k=7$

19. Numa progressão geométrica, o quinto termo é 40% do quarto termo. Qual é o terceiro termo, sabendo que o primeiro termo é 100?

Resolução:

Seja $u_4=x,$ entao $u_5=40\%\cdot x$
$\quad \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} u_1\cdot q^3=x \\ u_1\cdot q^4=\frac{2}{5}\cdot x \end{array} \right.$ $\quad \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} 100q^3=x \\ 100q^4=\frac{2}{5}\cdot x \end{array} \right.$ $\quad \Longrightarrow \cancelto{q}{\frac{100q^4}{100q^3}}=\cancelto{\frac{2}{5}}{\frac{\frac{2}{5}\cdot x}{x}}$ $\quad \Longrightarrow \quad q=\frac{2}{5}$
Entretanto, $u_3=u_1\cdot q^2$ $=100\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2$ $=100\cdot \frac{4}{25}$ $=16$

20. Qual é o valor da soma de todos os termos da sucessão $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...?$

Resolução:

Como a dada sucessão é uma P.G., entao:
$q=\frac{u_2}{u_1}$ $=\frac{\frac{1}{2}}{1}$ $=\frac{1}{2}$
Entretanto, $S=\frac{u_1}{1-q}$ $=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$ $=\frac{1}{\frac{1\cdot2-1}{2}}$ $=\frac{1}{\frac{1}{2}}$ $=2$

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