12Classe Extraordinario 11-12
11. Qual é o terceiro termo do desenvolvimento de \( \left( x+\frac{1}{2} \right)^4 \) ?
Resolução:
\( \left( x+\frac{1}{2} \right)^4 \quad \)
\( = \quad C_0^4 \cdot x^4 \left(\frac{1}{2} \right)^0 \quad \) \( +\quad C_1^4 \cdot x^3 \left(\frac{1}{2} \right)^1 \quad\)
\( +\quad C_2^4 \cdot x^2 \left(\frac{1}{2} \right)^2 \quad \) \( +\quad C_3^4 \cdot x^1 \left(\frac{1}{2} \right)^3 \quad \)
\( +\quad C_4^4 \cdot x^0 \left(\frac{1}{2} \right)^4 \)
Entretanto terceiro termo sera:
\( \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{4} \)
\( =\frac{4\cdot3\cdot \cancel{2!}}{2!\cancel{2!}} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^2 \)
\( =\frac{12}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^2 \)
\( =\frac{3}{2}x^2 \)
12. Numa competição há 6 concorrentes. Não havendo empates, de quantas maneiras diferentes podem ser classificados?
Resolução:
Existem 6 maneiras para o 1º lugar, sobrando 5 maneiras para o 2º lugar,
sobrando 4 maneiras para o 3º lugar, ate sobrar 1 para o 6º lugar.
Sendo assim, \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6!=720 \) maneiras
13. Na escolha de um número de 1 a 30, qual é a probabilidade de que seja sorteado um múltiplo de 5?
Resolução:
Primeiro devemos saber quantos múltiplos de 5 existem no dado intervalo:
\( \{5;10;15;20;25;30\} \) \( \quad \Longrightarrow \quad \) temos 6 múltiplos de 5.
\( P("O \ sorteado \ seja \ multiplo \ de \ 5") \) \( =\frac{6}{30} \) \( =\frac{1}{5} \)
14. Para que valores de \(k ∈ I\!\!R \) , a sucessão \(u_n=k^n\) com \(n ∈ I\!\!N\) é infinitamente pequena?
Resolução:
Por definicao temos que:
\( -1\lt k^n \lt 1 \) \( \quad \Longrightarrow \quad -1\lt k \lt 1\) \( \quad \Longrightarrow \quad |k|\lt 1 \)
15. Qual é a Classificação da sucessão \(a_n=\frac{n+1}{n}\) quanto à monotonia?
Resolução:
Para determinar a monotonia vamos calcular a seguinte expressao:
\( a_{n+1}-a_n \) \( =\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n} \) \( =\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}\)
\( =\frac{(n+2)n-(n+1)(n+1)}{(n+1)n} \) \(=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{(n+1)n} \)
\( =\frac{-1}{(n+1)n} \lt 0, \forall n \in I\!\!N \)
\( \Longrightarrow a_n \) é estritamente decrescente.
16. Considere a sucessão \(a_n=1-3n.\) Qual é a ordem do termo -59?
Resolução:
Como \( a_n \) é uma P.A. entao teremos:
\( -59=1-3n \) \( \quad \Longrightarrow \quad 3n=1+59 \) \( \quad \Longrightarrow \quad n=20 \)
17. A partir de que ordem os termos da sucessão de termo geral \(a_n=5-\frac{2}{n+1}\) ficam mais perto do limite a menos de uma décima?
Resolução:
\( \lim a_n=5, \) pois \( \cancelto{0}{\frac{2}{n+1}} \) entao o limite a menos de uma decima é 4.9
Assim, \( 5-\frac{2}{n+1}=4,9 \) \( \quad \Longrightarrow \quad -\frac{2}{n+1}=4,9-5 \)
\( \quad \Longrightarrow \quad \frac{2}{n+1} \) \(=\frac{1}{10} \)
\( \quad \Longrightarrow \quad 2\cdot 10=1\cdot (n+1) \) \( \quad \Longrightarrow \quad n=19 \)
18. Os pares dos termos equidistantes de uma progressão aritmética finita são respectivamente 1 e 37; k e 31 . Qual é o valor de k?
Resolução:
Interpretando o enuciado, temos:
\(...;1;...;k;...;31;...;37;...\)
\( \quad \Longrightarrow \quad k-1=37-31 \) \( \quad \Longrightarrow \quad k=7 \)
19. Numa progressão geométrica, o quinto termo é 40% do quarto termo. Qual é o terceiro termo, sabendo que o primeiro termo é 100?
Resolução:
Seja \( u_4=x,\) entao \( u_5=40\%\cdot x \)
\( \quad \Longrightarrow \left\{
\begin{array}{lll}
u_1\cdot q^3=x \\
u_1\cdot q^4=\frac{2}{5}\cdot x
\end{array}
\right. \) \( \quad \Longrightarrow \left\{
\begin{array}{lll}
100q^3=x \\
100q^4=\frac{2}{5}\cdot x
\end{array}
\right. \) \( \quad \Longrightarrow
\cancelto{q}{\frac{100q^4}{100q^3}}=\cancelto{\frac{2}{5}}{\frac{\frac{2}{5}\cdot x}{x}} \) \( \quad \Longrightarrow \quad
q=\frac{2}{5} \)
Entretanto, \( u_3=u_1\cdot q^2 \) \( =100\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2\) \( =100\cdot \frac{4}{25} \) \( =16 \)
20. Qual é o valor da soma de todos os termos da sucessão \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...?\)
Resolução:
Como a dada sucessão é uma P.G., entao:
\( q=\frac{u_2}{u_1} \) \(=\frac{\frac{1}{2}}{1} \) \( =\frac{1}{2} \)
Entretanto, \( S=\frac{u_1}{1-q} \) \( =\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \) \( =\frac{1}{\frac{1\cdot2-1}{2}} \)
\( =\frac{1}{\frac{1}{2}} \) \( =2 \)
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