12Classe Extra 31-35 2014

1-10 11 - 20 21 - 30 Ciencias Letras

31. Considere a função $f(x)=x^3+2x.$ Qual será o valor de$\displaystyle \lim_{x\to1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}$

Resolução:

Como $\displaystyle \lim_{x\to1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}$ é a definicao de $f'(1):$
Entao, basta calcular: $f'(1)$
Assim, $f'(x)=\left(x^3+2x\right)'$ $=3x^2+2$

Entretanto, $f'(1)=3\cdot1^2+2=5$ $\quad \Longrightarrow \quad \displaystyle \lim_{x\to1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}$ $=5$

32. Qual é a primeira derivada da função $\displaystyle f(x)=10^{x^2-3x}$

Resolução:

$$\begin{align} f'(x) &\cssId{Step1}{=(10^{x^2-3x})'} \\ &\cssId{Step2}{=(x^2-3x)'\cdot10^{x^2-3x}\cdot \ln 10}\\ &\cssId{Step3}{=(2x-3)\cdot \ln 10\cdot10^{x^2-3x}}\\ \end{align}$$

33. O declive da recta tangente à curva da função $\displaystyle f(x)=12x-x^2 \ é \ 6.$ Quais são as coordenadas do ponto de tangência?

Resolução:

$f'(x_0)=6$ $\quad \Longrightarrow \quad (12x_0-x_0^2)'=6$ $\quad \Longrightarrow \quad 12-2x_0=6$ $\quad \Longrightarrow \quad x_0=3$
Agora, $y_0=f(x_0)=12x_0-x_0^2$ $\quad \Longrightarrow \quad y_0=12\cdot 3-3^2$ $=36-9$ $=27$
Entretanto, as coordenadas do ponto de tangencia sao: $(3;27)$

34. Qual é o ponto de inflexão do gráfico da função $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2?$

Resolução:

Para achar os pontos de inflexao, basta achar os zeros da $f''(x):$
Assim, $f''(x)=[f'(x)]'$ $=[(x^3-6x^2)']'$ $=(3x^2-12x)'$ $=6x-12$

Entretanto, $f''(x)=0$ $\quad \Longrightarrow \quad 6x-12=0$ $\quad \Longrightarrow \quad x=2$

35. Em rectângulos que têm 60cm de perímetro. Quais são as medidas de comprimento e largura, respectivamente, do que tem maior área?

Resolução:

Seja o comprimento representado por $x$ e a largura por $y:$
Assim, $x+y=30$
Agora, a area maxima de um rectangulo é dado por: $f(t)=-t^2+30t$
Dai que, $f'(t)=(-t^2+30t)'$ $=-2t+30 \quad \Longrightarrow$ $\Longrightarrow \quad -2t+30=0$ $\quad \Longrightarrow \quad t_{Maximo}=15$ $\quad \Longrightarrow \quad x=15$

Entretanto , $15+y=30$ $\quad \Longrightarrow \quad y=15.$

1-10 11 - 20 21 - 30 Ciencias Letras