12Classe Extra 31-35 2014
31. Considere a função \(f(x)=x^3+2x.\)
Qual será o valor de\(\displaystyle \lim_{x\to1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}\)
Resolução:
Como \(\displaystyle \lim_{x\to1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \) é a definicao de \( f'(1): \)
Entao, basta calcular: \( f'(1) \)
Assim, \( f'(x)=\left(x^3+2x\right)' \) \(=3x^2+2 \)
Entretanto, \( f'(1)=3\cdot1^2+2=5 \) \( \quad \Longrightarrow \quad \displaystyle \lim_{x\to1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} \) \(=5 \)
32. Qual é a primeira derivada da função \(\displaystyle f(x)=10^{x^2-3x}\)
Resolução:
\begin{align}
f'(x)
&\cssId{Step1}{=(10^{x^2-3x})'} \\
&\cssId{Step2}{=(x^2-3x)'\cdot10^{x^2-3x}\cdot \ln 10}\\
&\cssId{Step3}{=(2x-3)\cdot \ln 10\cdot10^{x^2-3x}}\\
\end{align}
33. O declive da recta tangente à curva da função \(\displaystyle f(x)=12x-x^2 \ é \ 6.\) Quais são as coordenadas do ponto de tangência?
Resolução:
\( f'(x_0)=6 \) \( \quad \Longrightarrow \quad (12x_0-x_0^2)'=6 \) \( \quad \Longrightarrow \quad 12-2x_0=6 \)
\( \quad \Longrightarrow \quad x_0=3 \)
Agora, \( y_0=f(x_0)=12x_0-x_0^2 \) \( \quad \Longrightarrow \quad y_0=12\cdot 3-3^2\) \(=36-9 \) \( =27 \)
Entretanto, as coordenadas do ponto de tangencia sao: \( (3;27) \)
34. Qual é o ponto de inflexão do gráfico da função \(\displaystyle f(x)=x^3-6x^2?\)
Resolução:
Para achar os pontos de inflexao, basta achar os zeros da \( f''(x): \)
Assim, \( f''(x)=[f'(x)]' \) \(=[(x^3-6x^2)']'\) \(=(3x^2-12x)'\) \(=6x-12\)
Entretanto, \( f''(x)=0 \) \( \quad \Longrightarrow \quad 6x-12=0 \) \( \quad \Longrightarrow \quad x=2 \)
35. Em rectângulos que têm 60cm de perímetro. Quais são as medidas de comprimento e largura, respectivamente, do que tem maior área?
Resolução:
Seja o comprimento representado por \( x \) e a largura por \( y: \)
Assim, \( x+y=30 \)
Agora, a area maxima de um rectangulo é dado por: \( f(t)=-t^2+30t \)
Dai que, \(f'(t)=(-t^2+30t)'\) \(=-2t+30 \quad \Longrightarrow \) \( \Longrightarrow \quad -2t+30=0 \)
\( \quad \Longrightarrow \quad t_{Maximo}=15 \) \( \quad \Longrightarrow \quad x=15 \)
Entretanto , \( 15+y=30 \) \( \quad \Longrightarrow \quad y=15. \)
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