12Classe 21-30

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21. Qual das aplicações $\underline{NÃO}$ representa uma função?

Resolução:

Sempre que temos dois conjuntos e algum tipo de associacao entre eles, que faca corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um unico elemento do segundo, ocorre uma funcao.

Assim, o grafico a seguir nao é funcao pois podemos notar que $\exists ! \ x$ pertecente ao Dominio, que esta associado a mais de um elemento do Contra Dominio.

22. Qual destas funções tem apenas como domínio $I\!\!R^+?$

Resolução:

Por definicao temos que:
A funcao $f:I\!\!R^+\rightarrow I\!\!R$ definida por $f(x)=\log_ax$, com $a\ne 1$ e $a\gt 0,$ é chamada funcao logaritmica de base $a$.
O dominio desta funcao é o cunjunto $I\!\!R^+$ e o contra dominio $I\!\!R.$

Entretanto, a funcao que tem apenas como dominio $I\!\!R^+$ é $f(x)=log_2x$

23. Qual é a expressão analítica de uma função do segundo grau, cujo gráfico passa pelo ponto P(0;-2) e tem como coordenadas de vértice $V\left(\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right)?$

Resolução:

Primeiro, $f(x_P)=a(x_P-x_V)^2+f(x_V)$ $\quad \Longrightarrow \quad f(0)=a\left(0-\frac{3}{2}\right)^2+f\left(\frac{3}{2}\right)$ $\quad \Longrightarrow \quad -2=\frac{9}{4}a+\frac{1}{4}$ $\quad \Longrightarrow \quad \frac{-8}{4}=\frac{9}{4}a+\frac{1}{4}$ $\quad \Longrightarrow \quad 9a=-8-1$ $\quad \Longrightarrow \quad a=-1$

Agora, $f(x)=a(x-x_V)^2+f(x_V)$ $=-1\cdot \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+f\left(\frac{3}{2}\right)$ $=-1\cdot \left[x^2-\cancel{2}\frac{3}{\cancel{2}}x+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]+\frac{1}{4}$ $=-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}$ $=-x^2+3x-2$

Entretanto, $f(x)=-x^2+3x-2$

24. Qual deve ser o valor de k para que a função $m(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 3x+1; \ se \ x\ne 2 \\ x+k; \ \ se \ x=2 \end{array} \right.$ seja contínua no ponto de abcissa x=2?

Resolução:

Para que $m(x)$ seja continua é necessario que:
$\displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x)$ $= \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x)$ $= f(2),$
assim, $\displaystyle \lim_{x\to2^-} (3x+1)$ $= \displaystyle \lim_{x\to2^+} (3x+1)$ $= x+k,$ para $x=2$
$\displaystyle \lim_{x\to2^-} (3\cdot 2+1)$ $= \displaystyle \lim_{x\to2^+} (3\cdot 2+1)$ $= 2+k$
$7=7=2+k,$ $\quad \Longrightarrow \quad k=7-2$ $\quad \Longrightarrow \quad k=5$

25. Qual é o valor de $\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2-4}?$

Resolução:

Primeiro achamos a indeterminacao: $\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2-4} \left|\frac{0}{0}\right|$
Agora vamos leventar a indeterminacao:

$\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2-4}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{\left(3-\sqrt{x+7}\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}{\left(x^2-4\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3^2-\left(\sqrt{x+7}\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{9-(x+7)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}\left(x+2\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-1}{\left(2+2\right)\left(3+\sqrt{2+7}\right)}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-1}{4\left(3+\sqrt{9}\right)}$ $=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-1}{4\left(3+3\right)}$ $=-\frac{1}{24}$

26. Qual é o valor de $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x-1)^5\cdot (x-5)}{(x+1)^2\cdot x^3}?$

Resolução:

Primeiro achamos a indeterminacao: $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x-1)^5\cdot (x-5)}{(x+1)^2\cdot x^3} \left|\frac{\infty}{\infty}\right|$

Agora para levantar a indeterminacao basta achar as partes mais velhas:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x-1)^5\cdot (x-5)}{(x+1)^2\cdot x^3}$ $=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x)^5\cdot x}{x^2\cdot x^3}$ $=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{32x^5\cdot x}{x^5}$ $=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{32x^6}{x^5}$ $=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{32x}{x}=\infty$

27. Qual deve ser o valor de k para que $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{sen \left(\frac{x}{2}\right) }{kx}=\frac{2}{5}?$

Resolução:

Primeiro vamos achar o limite:

$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{sen \left(\frac{x}{2}\right) }{kx}$ $=\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2}\cdot sen x}{kx}$ $=\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2k}\cdot sen(kx)}{kx}$ $=\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2k}\cdot sen(kx)}{kx}$ $=\frac{1}{2k}$

Agora, $\frac{2}{5}$ $=\frac{1}{2k}$ $\quad \Longrightarrow \quad 2\cdot 2k=1\cdot 5$ $\quad \Longrightarrow \quad k=\frac{5}{4}$

28. Qual é a equação da assímptota horizontal do gráfico da função $h(x)=\frac{x^2}{x^2-4}?$

Resolução:

Para achar equação da assímptota horizontal basta achar o $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)$ $= \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2-4}$ $=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2}$ $=1$

Entretanto, $A.H.: y=1$

Observe a figura que se segue e responda

29. Quais são as abscissas dos pontos em que $f'(x)=0?$

Resolução:

Por definicao os extremos de $f(x)$ sao os zeros da $f'(x):$

Entretanto, apartir do grafico temos que:
$x=-2 \quad e \quad x=2$

Observe a figura que se segue e responda

30. Em que intervalo do gráfico $f'(x)\gt0?$

Resolução:

Por definicao $f(x)$ é crescente quando $f'(x)\gt0:$

Entretanto, apartir do grafico temos que:

$x\in ]-2;2[$

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