12Classe 21-30
21. Qual das aplicações \(\underline{NÃO}\) representa uma função?
Resolução:
Sempre que temos dois conjuntos e algum tipo de associacao entre eles,
que faca corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um unico elemento do segundo, ocorre uma funcao.
Assim, o grafico a seguir nao é funcao pois podemos notar que \( \exists ! \ x \) pertecente ao Dominio,
que esta associado a mais de um elemento do Contra Dominio.
22. Qual destas funções tem apenas como domínio \(I\!\!R^+?\)
Resolução:
Por definicao temos que:
A funcao \(f:I\!\!R^+\rightarrow I\!\!R\) definida por \(f(x)=\log_ax\), com \(a\ne 1\) e \(a\gt 0, \)
é chamada funcao logaritmica de base \(a\).
O dominio desta funcao é o cunjunto \(I\!\!R^+\) e o contra dominio \(I\!\!R.\)
Entretanto, a funcao que tem apenas como dominio \(I\!\!R^+\) é \(f(x)=log_2x\)
23. Qual é a expressão analítica de uma função do segundo grau, cujo gráfico passa pelo ponto P(0;-2) e tem como coordenadas de vértice \(V\left(\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right)?\)
Resolução:
Primeiro, \( f(x_P)=a(x_P-x_V)^2+f(x_V) \)
\( \quad \Longrightarrow \quad f(0)=a\left(0-\frac{3}{2}\right)^2+f\left(\frac{3}{2}\right) \)
\( \quad \Longrightarrow \quad -2=\frac{9}{4}a+\frac{1}{4} \) \( \quad \Longrightarrow \quad \frac{-8}{4}=\frac{9}{4}a+\frac{1}{4} \)
\( \quad \Longrightarrow \quad 9a=-8-1 \) \( \quad \Longrightarrow \quad a=-1 \)
Agora, \( f(x)=a(x-x_V)^2+f(x_V) \) \(=-1\cdot \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+f\left(\frac{3}{2}\right) \)
\( =-1\cdot \left[x^2-\cancel{2}\frac{3}{\cancel{2}}x+\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]+\frac{1}{4} \)
\( =-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{1}{4} \) \( =-x^2+3x-2 \)
Entretanto, \( f(x)=-x^2+3x-2 \)
24. Qual deve ser o valor de k para que a função \(m(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 3x+1; \ se \ x\ne 2 \\ x+k; \ \ se \ x=2 \end{array} \right.\) seja contínua no ponto de abcissa x=2?
Resolução:
Para que \(m(x)\) seja continua é necessario que:
\( \displaystyle \lim_{x\to2^-} f(x) \) \( = \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x) \) \( = f(2), \)
assim, \( \displaystyle \lim_{x\to2^-} (3x+1) \) \( = \displaystyle \lim_{x\to2^+} (3x+1) \) \( = x+k, \) para \( x=2 \)
\( \displaystyle \lim_{x\to2^-} (3\cdot 2+1) \) \( = \displaystyle \lim_{x\to2^+} (3\cdot 2+1) \) \( = 2+k \)
\( 7=7=2+k, \) \( \quad \Longrightarrow \quad k=7-2 \) \( \quad \Longrightarrow \quad k=5 \)
25. Qual é o valor de \(\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2-4}?\)
Resolução:
Primeiro achamos a indeterminacao: \( \displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2-4} \left|\frac{0}{0}\right| \)
Agora vamos leventar a indeterminacao:
\( \displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3-\sqrt{x+7}}{x^2-4} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{\left(3-\sqrt{x+7}\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}{\left(x^2-4\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}\)
\(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{3^2-\left(\sqrt{x+7}\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}\)
\(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{9-(x+7)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}\left(x+2\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}\)
\(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-1}{\left(2+2\right)\left(3+\sqrt{2+7}\right)}\)
\(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-1}{4\left(3+\sqrt{9}\right)}\) \(=\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{-1}{4\left(3+3\right)} \)
\(=-\frac{1}{24} \)
26. Qual é o valor de \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x-1)^5\cdot (x-5)}{(x+1)^2\cdot x^3}?\)
Resolução:
Primeiro achamos a indeterminacao:
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x-1)^5\cdot (x-5)}{(x+1)^2\cdot x^3} \left|\frac{\infty}{\infty}\right| \)
Agora para levantar a indeterminacao basta achar as partes mais velhas:
\( \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x-1)^5\cdot (x-5)}{(x+1)^2\cdot x^3} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{(2x)^5\cdot x}{x^2\cdot x^3} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{32x^5\cdot x}{x^5} \) \(=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{32x^6}{x^5}\)
\(=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{32x}{x}=\infty \)
27. Qual deve ser o valor de k para que \(\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{sen \left(\frac{x}{2}\right) }{kx}=\frac{2}{5}?\)
Resolução:
Primeiro vamos achar o limite:
\( \displaystyle \lim_{x\to0} \frac{sen \left(\frac{x}{2}\right) }{kx} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2}\cdot sen x}{kx} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2k}\cdot sen(kx)}{kx} \)
\(=\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2k}\cdot sen(kx)}{kx} \) \( =\frac{1}{2k} \)
Agora, \( \frac{2}{5} \) \( =\frac{1}{2k} \) \( \quad \Longrightarrow \quad 2\cdot 2k=1\cdot 5 \)
\( \quad \Longrightarrow \quad k=\frac{5}{4} \)
28. Qual é a equação da assímptota horizontal do gráfico da função \(h(x)=\frac{x^2}{x^2-4}?\)
Resolução:
Para achar equação da assímptota horizontal basta achar o \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x) \)
\( = \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2-4} \) \( =\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2} \) \(=1\)
Entretanto, \( A.H.: y=1 \)
Observe a figura que se segue e responda
Resolução:
Por definicao os extremos de \( f(x) \) sao os zeros da \( f'(x): \)
Entretanto, apartir do grafico temos que:
\( x=-2 \quad e \quad x=2 \)
Observe a figura que se segue e responda
Resolução: Por definicao \( f(x) \) é crescente quando \( f'(x)\gt0: \) Entretanto, apartir do grafico temos que: \( x\in ]-2;2[ \)
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