Exame Resolvido de Matemática UEM - 2017

 Na figura estão representados os intervalos A e B contidos no conjunto U = [- 5;6[. Com base na informação responda as qüestões de 1, 2 e 3.

1. Os intervalos representados na figura são:

Solução:
Na figura podemos verificar que o conjunto $B$ esta definido como intervalo fechado de $-2$ até $1$ e o conjunto $A$ de $0$ até $3$, todos intervalos fechados (bolinha pintada), logo a alternativa correta é $A$.


2. O resultado da operação A/B é:

Solução:
$A/B$ significa todos os elementos de $A$ que não fazem parte de $B$, logo temos ]1; 3].


3. O conjunto [0;1[ é equivalente a:

Solução:
Exercício mal elaborado. Nenhuma das alternativas esta correta.

4. $\sqrt {3}$ NÃO PERTENCE ao conjunto:

Solução:
Visto que $1\lt \sqrt {3} \lt 2$ então podemos claramente afirmar que $\sqrt {3}\ni \{1; 2\}$ pois este conjunto só tem dois elementos o $1$ e $2$.

5. Em Dezembro registou-se um aumento de 50% no preço de um produto que custava 40.000,00 MT. O produto passou a custar:

Solução:
$40000+50%\cdot 40000=$ $40000+\frac{50}{100}\cdot 40000=$ $40000+20000=60000$
Entretanto, o produto passou a custar 60000, 00.

6. Três números inteiros consecutivos foram divididos por 2, 3 e 5 respectivamente, e a soma dos seus quocientes é igual a 9. A soma desses números é:

Solução:
Sejam definidos os números da seguinte forma:
O primeiro: $x$
O segundo: $x+1$
O terceiro: $x+2$,

Logo,
$\frac{x}{2} +\frac{x+1}{3} +\frac{x+2}{5}=9$ $\Rightarrow$ $15x+10x+10+6x+12=270$ $\Rightarrow$ $31x=270-22$ $\Rightarrow$ $x=\frac{248}{31}$ $\Rightarrow$ $x=8$
Daí que, $x + x+1 +x+2=3x+3$ $=3\cdot 8+3=27$.


7. Simplificando a expressão $\dfrac{p^2+2p}{(p+1)(p-1)+(p+1)}$ obtém-se:

Solução:
$\dfrac{p^2+2p}{(p+1)(p-1)+(p+1)}=$ Primeiro no numerador colocamos o $p$ em evidência e no denominador colocamos o $p+1$ em evidência. Assim,
$\dfrac{p(p+2)}{(p+1)(p-1+1)}=$ $\dfrac{p(p+2)}{(p+1)p}=$ $\dfrac{p+2}{p+1}$.

8. A expressão equivalente a $\dfrac{a^3-5a^2+6a}{a^3-8} ÷ \dfrac{a^2-9}{a^2+2a+4}$  é:

Solução:
$\dfrac{a^3-5a^2+6a}{a^3-8} ÷ \dfrac{a^2-9}{a^2+2a+4}=$ $\dfrac{a(a^2-5a+6)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \cdot \dfrac{a^2+2a+4}{(a-3)(a+3)}=$ $\dfrac{a(a-3)(a-2)}{(a-2)(a-3)(a+3)}=$ $\dfrac{a}{a+3}$

9. O valor de $\log_{7} (7\sqrt [5]{49})$ é:
Solução:
$\log_{7} (7\sqrt [5]{49})=$ $\log_{7} 7 + \log_{7} 7^\frac{2}{5}=$ $1+\frac{2}{5}=$ $\frac{5+2}{5}=$ $\frac{7}{5}$

10.  O valor de $\dfrac{a^2 \left(ba^{-2} -ab^{-2}\right)}{a^2-(-b^{-3})}$ se $a=-2$ e $b=-1$ é:

Solução:
$\dfrac{a^2 \left(ba^{-2} -ab^{-2}\right)}{a^2-(-b^{-3})}=$ $\dfrac{a^2\cdot \frac{b}{a^2} - a^2 \cdot \frac{a}{b^2}}{a^2-(-\frac{1}{b^3})}=$ $\dfrac{b-\frac{a^3}{b^2}}{a^2+\frac{1}{b^3}}=$ $\dfrac{\frac{b^3-a^3}{b^2}}{\frac{b^3}{a^2\cdot b^3+1}}=$ $\dfrac{b^3-a^3}{b^2} \cdot \dfrac{b^3}{a^2b^3+1}=$ $\dfrac{b^4-ba^3}{a^2b^3+1}=$ $\dfrac{(-1)^4-(-1)\cdot (-2)^3}{(-2)^2\cdot (-1)^3+1)}=$ $\dfrac{1+1\cdot (-8)}{4\cdot (-1)+1}=$ $\dfrac{1-8}{-4+1}=$ $\dfrac{-7}{-3}=$ $\dfrac{7}{3}$