Exame Resolvido de Matemática UEM - 2017

 Na figura estão representados os intervalos A e B contidos no conjunto U = [- 5;6[. Com base na informação responda as qüestões de 1, 2 e 3.

1. Os intervalos representados na figura são:

Solução:
Na figura podemos verificar que o conjunto \(B\) esta definido como intervalo fechado de \(-2\) até \(1\) e o conjunto \(A\) de \(0\) até \(3\), todos intervalos fechados (bolinha pintada), logo a alternativa correta é \(A\).


2. O resultado da operação A/B é:

Solução:
\(A/B\) significa todos os elementos de \(A\) que não fazem parte de \(B\), logo temos ]1; 3].


3. O conjunto [0;1[ é equivalente a:

Solução:
Exercício mal elaborado. Nenhuma das alternativas esta correta.

4. \( \sqrt {3}\) NÃO PERTENCE ao conjunto:

Solução:
Visto que \( 1\lt \sqrt {3} \lt 2\) então podemos claramente afirmar que \(\sqrt {3}\ni \{1; 2\} \) pois este conjunto só tem dois elementos o \(1\) e \(2\).

5. Em Dezembro registou-se um aumento de 50% no preço de um produto que custava 40.000,00 MT. O produto passou a custar:

Solução:
\(40000+50%\cdot 40000=\) \(40000+\frac{50}{100}\cdot 40000=\) \(40000+20000=60000\)
Entretanto, o produto passou a custar 60000, 00.


6. Três números inteiros consecutivos foram divididos por 2, 3 e 5 respectivamente, e a soma dos seus quocientes é igual a 9. A soma desses números é:

Solução:
Sejam definidos os números da seguinte forma:
O primeiro: \(x\)
O segundo: \(x+1\)
O terceiro: \(x+2\),

Logo,
\(\frac{x}{2} +\frac{x+1}{3} +\frac{x+2}{5}=9\) \(\Rightarrow\) \(15x+10x+10+6x+12=270\) \(\Rightarrow \) \(31x=270-22\) \(\Rightarrow \) \(x=\frac{248}{31}\) \(\Rightarrow \) \(x=8\)
Daí que, \(x + x+1 +x+2=3x+3\) \(=3\cdot 8+3=27\).


7. Simplificando a expressão \( \dfrac{p^2+2p}{(p+1)(p-1)+(p+1)} \) obtém-se:

Solução:
\(\dfrac{p^2+2p}{(p+1)(p-1)+(p+1)}=\) Primeiro no numerador colocamos o \(p\) em evidência e no denominador colocamos o \(p+1\) em evidência. Assim,
\(\dfrac{p(p+2)}{(p+1)(p-1+1)}=\) \(\dfrac{p(p+2)}{(p+1)p}=\) \(\dfrac{p+2}{p+1}\).

8. A expressão equivalente a \( \dfrac{a^3-5a^2+6a}{a^3-8} ÷ \dfrac{a^2-9}{a^2+2a+4}\)  é:

Solução:
\( \dfrac{a^3-5a^2+6a}{a^3-8} ÷ \dfrac{a^2-9}{a^2+2a+4}=\) \(\dfrac{a(a^2-5a+6)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \cdot \dfrac{a^2+2a+4}{(a-3)(a+3)}=\) \(\dfrac{a(a-3)(a-2)}{(a-2)(a-3)(a+3)}=\) \(\dfrac{a}{a+3}\)

9. O valor de \(\log_{7} (7\sqrt [5]{49})\) é:
Solução:
\(\log_{7} (7\sqrt [5]{49})=\) \(\log_{7} 7 + \log_{7} 7^\frac{2}{5}=\) \( 1+\frac{2}{5}=\) \(\frac{5+2}{5}=\) \(\frac{7}{5}\)

10.  O valor de \(\dfrac{a^2 \left(ba^{-2} -ab^{-2}\right)}{a^2-(-b^{-3})}\) se \( a=-2 \) e \(b=-1\) é:

Solução:
\(\dfrac{a^2 \left(ba^{-2} -ab^{-2}\right)}{a^2-(-b^{-3})}=\) \(\dfrac{a^2\cdot \frac{b}{a^2} - a^2 \cdot \frac{a}{b^2}}{a^2-(-\frac{1}{b^3})}=\) \( \dfrac{b-\frac{a^3}{b^2}}{a^2+\frac{1}{b^3}}=\) \(\dfrac{\frac{b^3-a^3}{b^2}}{\frac{b^3}{a^2\cdot b^3+1}}=\) \(\dfrac{b^3-a^3}{b^2} \cdot \dfrac{b^3}{a^2b^3+1}=\) \(\dfrac{b^4-ba^3}{a^2b^3+1}=\) \(\dfrac{(-1)^4-(-1)\cdot (-2)^3}{(-2)^2\cdot (-1)^3+1)}=\) \( \dfrac{1+1\cdot (-8)}{4\cdot (-1)+1}=\) \( \dfrac{1-8}{-4+1}=\) \( \dfrac{-7}{-3}=\) \(\dfrac{7}{3}\)