Resolução 30-39 Exame UEM-2013
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Agora vamos achar a soma das raizes de cada uma das equações:
Para \(x^2-x-4=0\):
\(\quad S_1=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1\)
Para \(x^2+x-4=0\):
\(\quad S_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1\).
Como a soma das raizes de \(x^2-\sqrt{x^2}=4\) é igual a soma das raizes de \(x^2-x-4=0\) e das raizes de \(x^2+x-4=0\), então teremos \(S_1+S_2=1+(-1)=0\).
Entretanto, a soma das raizes da equação dada é \(0\).
Então, podemos garantir que a grandeza \(xy\) vai pertecer ao intervalo \( ]-6;-2[\), porque \(-6\) é o menor valor do conjunto enquanto que \(-2\) é o maior.
\(x-\frac{25}{x} \le 0 \) \( \Rightarrow \frac{x^2-25}{x} \le 0 \).
Em seguida vamos achar os zeros do denominador e do numerador:
\(x^2-25=0\) \( \Rightarrow x=\pm \sqrt{25} \) \( \Rightarrow x=\pm 5 \).
\(x=0\).
Agora vamos elaborar a tabela de variação de sinais de modo a encontrarmos os intervais que satisfazem a desigualidade.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-\infty; -5[ & -5 & ]-5;0[ & 0 & ]0;5[ & 5 & ]5;+\infty[\\
\hline
x^2-25 & + & 0 & - & -25 & - & 0 & +\\
\hline
x & - & -5 & - & 0 & + & 5 & +\\
\hline
\frac{x^2-25}{x} & - & 0 & + & \nexists & - & 0 & +\\
\hline
\end{array}\)
Entretanto, \( x \in ]-\infty;-5] \cup ]0;5] \).
Agora, \( \log_2400 = \log_2(4 \cdot 100) \) \(=\log_22^2 +\log_2100\) \(=2\log_22+\log_{10^a}10^2\) \(=2+\frac{2}{a}\log_{10}10\) \(=2+\frac{2}{a}\).
Como trata-se de uma função do tipo \(y=A\cdot sen(x)+B\), então o contradomínio da função será dada por \( y \in [-A+B; A+B]\).
Entretanto, o contradomínio de \( y \) será \( [-2+3;2+3]=[1;5]\).
Para \(\cos x=0\): \(x \in \emptyset\), porque no intervalo de \(]\frac{\pi}{2};\pi] \) o cosseno nunca é \(0\).
Para \(\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}\): Temos que \(\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}30°\) \(\Rightarrow \mathrm{sen}x=\mathrm{sen}\frac{\pi}{6}\).
Agora, vamos transformar ou reduzir ao segundo quadrante.
\(\mathrm{sen}\frac{\pi}{6}=\mathrm{sen}(\pi-\frac{\pi}{6})\) \(\mathrm{sen}\frac{6\pi-\pi}{6}\) \(=\mathrm{sen}\frac{5\pi}{6}\).
Entretanto, \(x=\frac{5}{6}\pi\).
Assim, \((x+y)^2=2^2\) \( \Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\) \( \Rightarrow x^2+y^2=4-2xy \) \(\Rightarrow x^2+y^2=4-2\cdot (-4) \) \( \Rightarrow x^2+y^2=4+8\) \( \Rightarrow x^2+y^2=12 \).
\( g(0)=1-0=1 \).
Depois vamos determinar o valor de \(g(0)+1\):
\(g(0)+1=1+1=2\).
Por fim vamos achar o valor de \(f[g(0)+1]\):
\( f[g(0)+1]=f(2)=2\cdot 2=4\).
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30. A soma de todas as raizes da equação \(x^2-\sqrt{x^2}=4\) é igual a:
Resolução:
\( x^2-|x|=4\) \( \Rightarrow |x|=x^2-4\) \(\Rightarrow \begin{cases} x=x^2-4\\ -x=x^2-4 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} x^2-x-4=0\\ x^2+x-4=0 \end{cases} \).Agora vamos achar a soma das raizes de cada uma das equações:
Para \(x^2-x-4=0\):
\(\quad S_1=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1\)
Para \(x^2+x-4=0\):
\(\quad S_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1\).
Como a soma das raizes de \(x^2-\sqrt{x^2}=4\) é igual a soma das raizes de \(x^2-x-4=0\) e das raizes de \(x^2+x-4=0\), então teremos \(S_1+S_2=1+(-1)=0\).
Entretanto, a soma das raizes da equação dada é \(0\).
31. Se \( 2\lt x\lt 3 \) e \( -2 \lt y \lt -1\) então pode-se garantir que a grandeza \( xy \) pertence ao intervalo:
Resolução:
Primeiro devemos multiplicar os extremos dos intervais entre si, isto é: \(2 \cdot (-2) \); \(2 \cdot (-1)\); \( 3 \cdot (-2) \); \(3 \cdot (-1)\). Ao efectuarmos as multiplicações obtemos o seguinte conjunto, \( -4; -2; -6; -3 \).Então, podemos garantir que a grandeza \(xy\) vai pertecer ao intervalo \( ]-6;-2[\), porque \(-6\) é o menor valor do conjunto enquanto que \(-2\) é o maior.
32. Resolvendo a desigualidade \( x - \frac{ 25 }{ x } \le 0 \), obtemos o conjunto:
Resolução:
Antes de mais nada vamos transformar o primeiro membro numa fracção única.\(x-\frac{25}{x} \le 0 \) \( \Rightarrow \frac{x^2-25}{x} \le 0 \).
Em seguida vamos achar os zeros do denominador e do numerador:
\(x^2-25=0\) \( \Rightarrow x=\pm \sqrt{25} \) \( \Rightarrow x=\pm 5 \).
\(x=0\).
Agora vamos elaborar a tabela de variação de sinais de modo a encontrarmos os intervais que satisfazem a desigualidade.
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & ]-\infty; -5[ & -5 & ]-5;0[ & 0 & ]0;5[ & 5 & ]5;+\infty[\\
\hline
x^2-25 & + & 0 & - & -25 & - & 0 & +\\
\hline
x & - & -5 & - & 0 & + & 5 & +\\
\hline
\frac{x^2-25}{x} & - & 0 & + & \nexists & - & 0 & +\\
\hline
\end{array}\)
Entretanto, \( x \in ]-\infty;-5] \cup ]0;5] \).
33. Se \( \lg{2} = a \) então a grandeza \( \log_2400 \) é igual a:
Resolução:
Por definição \( \lg{2}=a\) \( \Rightarrow 10^a=2 \).Agora, \( \log_2400 = \log_2(4 \cdot 100) \) \(=\log_22^2 +\log_2100\) \(=2\log_22+\log_{10^a}10^2\) \(=2+\frac{2}{a}\log_{10}10\) \(=2+\frac{2}{a}\).
34. Qual dos números seguintes faz parte do contradomínio da função \( y = 2sen x + 3 \)?
Resolução:
Vamos começar por determinar o contradomínio da função:Como trata-se de uma função do tipo \(y=A\cdot sen(x)+B\), então o contradomínio da função será dada por \( y \in [-A+B; A+B]\).
Entretanto, o contradomínio de \( y \) será \( [-2+3;2+3]=[1;5]\).
35. Considere a função \( f(x)=senx\), definida no segmento \( [0;2 \pi ] \) e a função constante \( g(x)=c \) com \( -1 \le c \le 1 \). O conjunto dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções \( g(x) \) e \( f(x) \):
Resolução:
QUESTÃO ANULADA.36. A raiz da equação \( \mathrm{sen}2x- \cos x = 0 \) que pertence ao intervalo \( ] \frac{ \pi }{ 2 } ; \pi ] \) é:
Resolução:
\( \mathrm{sen}2x - \cos x=0\) \(\Rightarrow 2\mathrm{sen}x\cos{x}-\cos x=0\) \( \cos x (2\mathrm{sen}x-1)=0\) \(\Rightarrow \cos x=0 \vee 2\mathrm{sen}x-1=0\) \( \Rightarrow \cos x =0 \vee \mathrm{sen}x=\frac{1}{2}\).Para \(\cos x=0\): \(x \in \emptyset\), porque no intervalo de \(]\frac{\pi}{2};\pi] \) o cosseno nunca é \(0\).
Para \(\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}\): Temos que \(\mathrm{sen}x=\mathrm{sen}30°\) \(\Rightarrow \mathrm{sen}x=\mathrm{sen}\frac{\pi}{6}\).
Agora, vamos transformar ou reduzir ao segundo quadrante.
\(\mathrm{sen}\frac{\pi}{6}=\mathrm{sen}(\pi-\frac{\pi}{6})\) \(\mathrm{sen}\frac{6\pi-\pi}{6}\) \(=\mathrm{sen}\frac{5\pi}{6}\).
Entretanto, \(x=\frac{5}{6}\pi\).
37. Se \( x+y=2 \) e \( xy=-4\) então o valor da expressão \( x^2+y^2 \) é igual a:
Resolução:
Vamos começar por transformar \(x+y\) de modo a encontrarmos \(x^2+y^2\).Assim, \((x+y)^2=2^2\) \( \Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\) \( \Rightarrow x^2+y^2=4-2xy \) \(\Rightarrow x^2+y^2=4-2\cdot (-4) \) \( \Rightarrow x^2+y^2=4+8\) \( \Rightarrow x^2+y^2=12 \).
38. Qual é a negação da expressão lógica \( \exists x \in I \! \! R: f(x)=0 \)?
Resolução:
Como a negação de \( \exists \) é \( \forall \), e a negação de \(=\) é \( \ne \). Então teremos que a negação de \(\exists x\in I\!\!R:f(x)=0\) é \( \forall x \in I\!\!R:f(x) \ne 0\).39. Sejam dadas as funções \( f(x)=2x \) e \( g(x)=1-x \). O valor \( f[g(0)+1] \) é igual a:
Resolução:
Primeiro vamos determinar o valor de \(g(0)\):\( g(0)=1-0=1 \).
Depois vamos determinar o valor de \(g(0)+1\):
\(g(0)+1=1+1=2\).
Por fim vamos achar o valor de \(f[g(0)+1]\):
\( f[g(0)+1]=f(2)=2\cdot 2=4\).
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