Tudo sobre funções - parte 1

Em matemática, o termo Função é muito famoso, se olharmos para o fundo histórico, o termo função foi usado pela primeira vez pelo muito famoso matemático Leibniz em 1676, que colocou o significado da função em termos da dependência de uma quantidade em relação a outra quantidade.
Função é também conhecida como a entrada e o processamento da saída. Olhe para alguns exemplos para clarificar o conceito:
1. Considere a fórmula para encontrar a área de círculo, que é $A = \pi r^2$, se observarmos cuidadosamente que a área $A$ de qualquer círculo é dependente do raio $r$ desse círculo, também dizemos que a Área $A$ é uma função de Raio $r$.
2. Um trabalhador de fábrica cujo salário pode ser dependente do número de horas trabalhadas. Neste exemplo, o Salário (Valor em Meticais) é em função das horas de trabalho (Tempo $t$).
3. O volume de um espaço ocupado por um gás com uma pressão constante depende da temperatura do gás. Neste exemplo, Volume ($V$) é uma função da Temperatura ($T$).
Todos os exemplos acima, que tem uma relação entre tais quantidades é muitas vezes dada por meio de função.

Seja $A$ e $B$ dois conjuntos não vazios. Então uma função $f$ é uma regra ou lei que associa cada elemento de $A$ a um elemento único do conjunto $B$.

Notação:

(i) A função é usualmente denotada por letras pequenas i.é.: $f$, $g$, $h$, etc e a letra grega i.é.: $α$, $β$, $γ$, $φ$, $ψ$, etc.
(Ii) Se $f$ é uma função de $A$ para $B$ então escrevemos $f: A \to B$.

Par ordenado:

Sejam $a$ e $b$ quaisquer dois elementos, então um elemento $(a, b)$ é chamado par ordenado.

Produto cartesiano:

Por exemplo: $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a, b, c\}$
$A × B = \{(1, a), (1, b), (1, c),$ $(2, a), (2, b), (2, c),$ $(3, a), (3, b), (3, c)\}$
Seja $A$ e $B$ quaisquer dois conjuntos não vazios, então o conjunto de todos os elementos da forma $(a, b)$, onde $a∈A, b∈B$ é chamado produto cartesiano.
É denotado por $A × B = \{(a, b): a∈A, b∈B\}$

Relação binária:

Seja $A$ e $B$ quaisquer dois conjuntos não vazios, então cada subconjunto de $A × B$ é chamado relação binária de $A$ a $B$.
É denotado por $R$ i.é. $R ⊆A × B$.
Por exemplo: $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a, b, c\}$
$A × B = \{(1, a), (1, b), (1, c),$ $(2, a), (2, b), (2, c),$ $(3, a), (3, b), (3, c)\}$
$R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} ⊆A × B$
$R$ é uma relação binária de $A$ para $B$.

Função como uma relação binária:

Sejam $A$ e $B$ quaisquer dois conjuntos não vazios, então uma relação binária $R$ de $A$ para $B$ é chamada função se satisfizer as duas condições a seguir.
(i) Domínio de $I\!\!R = A$ i.é.: Dom($A$)= $A$.
(Ii) Para cada elemento $x$ de $A$ existe um elemento único $y∈B$ tal que $(x, y) ∈ R$.

Domínio de uma Relação:

O conjunto dos primeiros elementos de todo par ordenado em uma relação é chamado de domínio de uma relação.
Por exemplo: $R=\{(1,2), (3,4), (5, 6)\}$
Dom($R$) $=\{1,3,5\}$.

Contradominio de uma Relação:

O conjunto dos segundos elementos do par ordenado em uma relação é chamado, Contradominio de uma relação.
Por exemplo: $R =\{(1, a), (2, b), (3, c)\}$
Contradominio($R$)$= \{a, b, c\}$.

Domínio da Função:

Por exemplo: $y = \frac{1}{x-2}$.
Para $x = 0$, $y = \frac{1}{0-2} = \frac{-1}{2} ∈I\!\!R$Para $x = 1$, $y = \frac{1}{1-2} = - 1∈I\!\!R$
Para $x = 2$, $y = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0} = ∞$
Para $x = 3$, $y = \frac{1}{3-2} = \frac{1}{1} = 1∈I\!\!R$
Domínio $= \{0,1,3,... \}$
O conjunto de todos os valores de $x$ para os quais $y$ é finito, número real definido, é chamado domínio da função.

Exemplo: Encontre o contradominio da função $f(x) =\frac{x + 1}{x-1}$.
Solução:
Temos $f(x) = \frac{x + 1}{x-1}$
Ponha $x = 1$, $f(1) =\frac{1 + 1}{0} = ∞$
Assim, o domínio é, $∀x∈I\!\!R- {1}$.
Agora, para o Contradominio, temos $f(x) = \frac{x + 1}{x-1}$
Entretanto, $y = \frac{x + 1}{x-1}$ $⇒ xy-y = x + 1$ $⇒ xy-x = y + 1$
$x = \frac{y + 1}{y-1}$.
Para $y = 1$, $x = \frac{1 + 1}{0} = ∞$.
Assim, o Contradominio da função $f$ é $\{y: y ≠ 1\}$ $=] - ∞, 1 [∪] 1, ∞ [$.


Exemplo:
Seja $f(x) = \frac{x}{x^2 -16}$. Encontre o domínio e o contradominio de $f$.
Solução:
Temos $f(x) = \frac{x}{x^2 -16}$.
Para $x = 4$, $f(4) = \frac{4}{16-16} = ∞$
Para $x = -4$, $f(-4) = \frac{-4}{16 -16} = ∞$
Assim, o domínio é $∀x∈I\!\!R- \{4, -4\}$.
Agora para o Contradominio, temos $f(x) = \frac{x}{x^2 -16}$ $⇒y = \frac{x}{x^2 -16}$ $⇒y (x^2 -16)= x$ $⇒yx^2 -x-16y = 0$ $⇒x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^2-4y (-16y)}}{2y}$ $⇒x = \frac{1 \pm \sqrt {1 - 64y^2}}{2y}$.
Para $y = 0$, $x = \frac{1 \pm \sqrt {1 + 0}}{0} = ∞$.
Assim, o intervalo da função $f = I\!\!R/ \{0 \}$.

Função Constante:

Seja $A$ e $B$ quaisquer dois conjuntos não vazios, então uma função $f$ de $A$ para $B$ é chamada Função Constante se e somente se o contradominio de $f$ for um unico elemento.

Função algébrica:

A função definida pela expressão algébrica é denominada função algébrica.
Por exemplo: $f(x) = x^2 + 3x + 6$.

Função polinomial:

Uma função da forma $P(x) = a_nx^n + a_ {n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$.
Onde $n$ é um inteiro positivo e $a_n, a_ {n-1}, ... a_1, a_0$ são números reais
É chamada função polinomial de grau $n$.

Função linear:

Uma função polinomial com grau $1$ é chamada de função linear. A forma mais geral da função linear é $f (x) = ax + b$.

Função quadrática:

Uma função polinomial com grau $2$ é chamada função quadrática. A forma mais geral da equação quadrática é $f (x) = ax^2 + bx + c$.

Função Cúbica:

Uma função polinomial com grau $3$ é chamada função cúbica. A forma mais geral da função cúbica é $f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Função de Identidade:

Seja $f: A \to B$ uma função, então $f$ é chamado de função identidade. Se $f(x) = x$, $∀x∈A$.

Função racional:

Uma função $R(x)$ definida por $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, Onde $P(x)$ e $Q(x)$ são funções polinomial é chamado função racional.

Função trigonométrica:

Uma função $f(x)=sinx$, $f(x)=cosx$, etc., então $f(x)$ é chamada função trigonométrica.

Função exponencial:

Uma função na qual a variável aparece como expoente (potência) é chamada função exponencial.
Por exemplo: (i) $f(x)=a^x$, (ii) $f(x)=3^x$.

Função Logarítmica:

Uma função na qual a variável aparece como um argumento de logarítmico é chamada função logarítmica.
Por exemplo. $f(x)=log_a x$.