Tudo sobre funções - parte 1
Em matemática, o termo Função é muito famoso, se olharmos para o fundo histórico, o termo função foi usado pela primeira vez pelo muito famoso matemático Leibniz em 1676, que colocou o significado da função em termos da dependência de uma quantidade em relação a outra quantidade.
Função é também conhecida como a entrada e o processamento da saída. Olhe para alguns exemplos para clarificar o conceito:
1. Considere a fórmula para encontrar a área de círculo, que é \(A = \pi r^2\), se observarmos cuidadosamente que a área \(A\) de qualquer círculo é dependente do raio \(r\) desse círculo, também dizemos que a Área \(A\) é uma função de Raio \(r\).
2. Um trabalhador de fábrica cujo salário pode ser dependente do número de horas trabalhadas. Neste exemplo, o Salário (Valor em Meticais) é em função das horas de trabalho (Tempo \(t\)).
3. O volume de um espaço ocupado por um gás com uma pressão constante depende da temperatura do gás. Neste exemplo, Volume (\(V\)) é uma função da Temperatura (\(T\)).
Todos os exemplos acima, que tem uma relação entre tais quantidades é muitas vezes dada por meio de função.
Seja \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios. Então uma função \(f\) é uma regra ou lei que associa cada elemento de \(A\) a um elemento único do conjunto \(B\).
(i) A função é usualmente denotada por letras pequenas i.é.: \(f\), \(g\), \(h\), etc e a letra grega i.é.: \(α\), \(β\), \(γ\), \(φ\), \(ψ\), etc.
(Ii) Se \(f\) é uma função de \(A\) para \(B\) então escrevemos \( f: A \to B\).
Sejam \(a\) e \(b\) quaisquer dois elementos, então um elemento \((a, b)\) é chamado par ordenado.
Por exemplo: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a, b, c\}\)
\(A × B = \{(1, a), (1, b), (1, c),\) \( (2, a), (2, b), (2, c), \) \((3, a), (3, b), (3, c)\}\)
Seja \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então o conjunto de todos os elementos da forma \((a, b)\), onde \( a∈A, b∈B\) é chamado produto cartesiano.
É denotado por \(A × B = \{(a, b): a∈A, b∈B\}\)
Seja \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então cada subconjunto de \(A × B\) é chamado relação binária de \(A\) a \(B\).
É denotado por \(R\) i.é. \(R ⊆A × B\).
Por exemplo: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a, b, c\}\)
\(A × B = \{(1, a), (1, b), (1, c), \) \((2, a), (2, b), (2, c), \) \( (3, a), (3, b), (3, c)\}\)
\(R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} ⊆A × B\)
\(R\) é uma relação binária de \(A\) para \(B\).
Sejam \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então uma relação binária \(R\) de \(A\) para \(B\) é chamada função se satisfizer as duas condições a seguir.
(i) Domínio de \(I\!\!R = A\) i.é.: Dom(\(A\))= \(A\).
(Ii) Para cada elemento \(x\) de \(A\) existe um elemento único \(y∈B\) tal que \((x, y) ∈ R\).
O conjunto dos primeiros elementos de todo par ordenado em uma relação é chamado de domínio de uma relação.
Por exemplo: \(R=\{(1,2), (3,4), (5, 6)\}\)
Dom(\(R\)) \(=\{1,3,5\}\).
O conjunto dos segundos elementos do par ordenado em uma relação é chamado, Contradominio de uma relação.
Por exemplo: \(R =\{(1, a), (2, b), (3, c)\}\)
Contradominio(\(R\))\(= \{a, b, c\}\).
Por exemplo: \(y = \frac{1}{x-2}\).
Para \(x = 0 \), \(y = \frac{1}{0-2} = \frac{-1}{2} ∈I\!\!R\)Para \(x = 1\), \(y = \frac{1}{1-2} = - 1∈I\!\!R\)
Para \(x = 2\), \(y = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0} = ∞\)
Para \(x = 3\), \(y = \frac{1}{3-2} = \frac{1}{1} = 1∈I\!\!R\)
Domínio \(= \{0,1,3,... \}\)
O conjunto de todos os valores de \(x\) para os quais \(y\) é finito, número real definido, é chamado domínio da função.
Exemplo: Encontre o contradominio da função \(f(x) =\frac{x + 1}{x-1}\).
Solução:
Temos \(f(x) = \frac{x + 1}{x-1}\)
Ponha \(x = 1\), \(f(1) =\frac{1 + 1}{0} = ∞\)
Assim, o domínio é, \(∀x∈I\!\!R- {1}\).
Agora, para o Contradominio, temos \(f(x) = \frac{x + 1}{x-1}\)
Entretanto, \(y = \frac{x + 1}{x-1}\) \(⇒ xy-y = x + 1\) \( ⇒ xy-x = y + 1\)
\(x = \frac{y + 1}{y-1}\).
Para \(y = 1\), \(x = \frac{1 + 1}{0} = ∞\).
Assim, o Contradominio da função \(f\) é \(\{y: y ≠ 1\} \) \(=] - ∞, 1 [∪] 1, ∞ [\).
Exemplo:
Seja \(f(x) = \frac{x}{x^2 -16}\). Encontre o domínio e o contradominio de \(f \).
Solução:
Temos \(f(x) = \frac{x}{x^2 -16}\).
Para \(x = 4\), \( f(4) = \frac{4}{16-16} = ∞\)
Para \(x = -4\), \( f(-4) = \frac{-4}{16 -16} = ∞\)
Assim, o domínio é \(∀x∈I\!\!R- \{4, -4\}\).
Agora para o Contradominio, temos \(f(x) = \frac{x}{x^2 -16} \) \(⇒y = \frac{x}{x^2 -16}\) \(⇒y (x^2 -16)= x\) \(⇒yx^2 -x-16y = 0 \) \(⇒x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^2-4y (-16y)}}{2y}\) \( ⇒x = \frac{1 \pm \sqrt {1 - 64y^2}}{2y}\).
Para \( y = 0\), \( x = \frac{1 \pm \sqrt {1 + 0}}{0} = ∞\).
Assim, o intervalo da função \(f = I\!\!R/ \{0 \}\).
Seja \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então uma função \(f\) de \(A\) para \(B\) é chamada Função Constante se e somente se o contradominio de \(f\) for um unico elemento.
A função definida pela expressão algébrica é denominada função algébrica.
Por exemplo: \(f(x) = x^2 + 3x + 6\).
Uma função da forma \( P(x) = a_nx^n + a_ {n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\).
Onde \(n \) é um inteiro positivo e \(a_n, a_ {n-1}, ... a_1, a_0 \) são números reais
É chamada função polinomial de grau \(n \).
Uma função polinomial com grau \(1\) é chamada de função linear. A forma mais geral da função linear é \(f (x) = ax + b \).
Uma função polinomial com grau \(2 \) é chamada função quadrática. A forma mais geral da equação quadrática é \(f (x) = ax^2 + bx + c \).
Uma função polinomial com grau \(3 \) é chamada função cúbica. A forma mais geral da função cúbica é \(f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).
Seja \(f: A \to B \) uma função, então \(f \) é chamado de função identidade. Se \(f(x) = x\), \(∀x∈A\).
Uma função \(R(x)\) definida por \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\), Onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são funções polinomial é chamado função racional.
Uma função \(f(x)=sinx\), \(f(x)=cosx\), etc., então \(f(x)\) é chamada função trigonométrica.
Uma função na qual a variável aparece como expoente (potência) é chamada função exponencial.
Por exemplo: (i) \(f(x)=a^x\), (ii) \(f(x)=3^x\).
Uma função na qual a variável aparece como um argumento de logarítmico é chamada função logarítmica.
Por exemplo. \(f(x)=log_a x\).
Função é também conhecida como a entrada e o processamento da saída. Olhe para alguns exemplos para clarificar o conceito:
1. Considere a fórmula para encontrar a área de círculo, que é \(A = \pi r^2\), se observarmos cuidadosamente que a área \(A\) de qualquer círculo é dependente do raio \(r\) desse círculo, também dizemos que a Área \(A\) é uma função de Raio \(r\).
2. Um trabalhador de fábrica cujo salário pode ser dependente do número de horas trabalhadas. Neste exemplo, o Salário (Valor em Meticais) é em função das horas de trabalho (Tempo \(t\)).
3. O volume de um espaço ocupado por um gás com uma pressão constante depende da temperatura do gás. Neste exemplo, Volume (\(V\)) é uma função da Temperatura (\(T\)).
Todos os exemplos acima, que tem uma relação entre tais quantidades é muitas vezes dada por meio de função.
Seja \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios. Então uma função \(f\) é uma regra ou lei que associa cada elemento de \(A\) a um elemento único do conjunto \(B\).
Notação:
(i) A função é usualmente denotada por letras pequenas i.é.: \(f\), \(g\), \(h\), etc e a letra grega i.é.: \(α\), \(β\), \(γ\), \(φ\), \(ψ\), etc.
(Ii) Se \(f\) é uma função de \(A\) para \(B\) então escrevemos \( f: A \to B\).
Par ordenado:
Sejam \(a\) e \(b\) quaisquer dois elementos, então um elemento \((a, b)\) é chamado par ordenado.
Produto cartesiano:
Por exemplo: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a, b, c\}\)
\(A × B = \{(1, a), (1, b), (1, c),\) \( (2, a), (2, b), (2, c), \) \((3, a), (3, b), (3, c)\}\)
Seja \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então o conjunto de todos os elementos da forma \((a, b)\), onde \( a∈A, b∈B\) é chamado produto cartesiano.
É denotado por \(A × B = \{(a, b): a∈A, b∈B\}\)
Relação binária:
Seja \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então cada subconjunto de \(A × B\) é chamado relação binária de \(A\) a \(B\).
É denotado por \(R\) i.é. \(R ⊆A × B\).
Por exemplo: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{a, b, c\}\)
\(A × B = \{(1, a), (1, b), (1, c), \) \((2, a), (2, b), (2, c), \) \( (3, a), (3, b), (3, c)\}\)
\(R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} ⊆A × B\)
\(R\) é uma relação binária de \(A\) para \(B\).
Função como uma relação binária:
Sejam \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então uma relação binária \(R\) de \(A\) para \(B\) é chamada função se satisfizer as duas condições a seguir.
(i) Domínio de \(I\!\!R = A\) i.é.: Dom(\(A\))= \(A\).
(Ii) Para cada elemento \(x\) de \(A\) existe um elemento único \(y∈B\) tal que \((x, y) ∈ R\).
Domínio de uma Relação:
O conjunto dos primeiros elementos de todo par ordenado em uma relação é chamado de domínio de uma relação.
Por exemplo: \(R=\{(1,2), (3,4), (5, 6)\}\)
Dom(\(R\)) \(=\{1,3,5\}\).
Contradominio de uma Relação:
O conjunto dos segundos elementos do par ordenado em uma relação é chamado, Contradominio de uma relação.
Por exemplo: \(R =\{(1, a), (2, b), (3, c)\}\)
Contradominio(\(R\))\(= \{a, b, c\}\).
Domínio da Função:
Por exemplo: \(y = \frac{1}{x-2}\).
Para \(x = 0 \), \(y = \frac{1}{0-2} = \frac{-1}{2} ∈I\!\!R\)Para \(x = 1\), \(y = \frac{1}{1-2} = - 1∈I\!\!R\)
Para \(x = 2\), \(y = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0} = ∞\)
Para \(x = 3\), \(y = \frac{1}{3-2} = \frac{1}{1} = 1∈I\!\!R\)
Domínio \(= \{0,1,3,... \}\)
O conjunto de todos os valores de \(x\) para os quais \(y\) é finito, número real definido, é chamado domínio da função.
Exemplo: Encontre o contradominio da função \(f(x) =\frac{x + 1}{x-1}\).
Solução:
Temos \(f(x) = \frac{x + 1}{x-1}\)
Ponha \(x = 1\), \(f(1) =\frac{1 + 1}{0} = ∞\)
Assim, o domínio é, \(∀x∈I\!\!R- {1}\).
Agora, para o Contradominio, temos \(f(x) = \frac{x + 1}{x-1}\)
Entretanto, \(y = \frac{x + 1}{x-1}\) \(⇒ xy-y = x + 1\) \( ⇒ xy-x = y + 1\)
\(x = \frac{y + 1}{y-1}\).
Para \(y = 1\), \(x = \frac{1 + 1}{0} = ∞\).
Assim, o Contradominio da função \(f\) é \(\{y: y ≠ 1\} \) \(=] - ∞, 1 [∪] 1, ∞ [\).
Exemplo:
Seja \(f(x) = \frac{x}{x^2 -16}\). Encontre o domínio e o contradominio de \(f \).
Solução:
Temos \(f(x) = \frac{x}{x^2 -16}\).
Para \(x = 4\), \( f(4) = \frac{4}{16-16} = ∞\)
Para \(x = -4\), \( f(-4) = \frac{-4}{16 -16} = ∞\)
Assim, o domínio é \(∀x∈I\!\!R- \{4, -4\}\).
Agora para o Contradominio, temos \(f(x) = \frac{x}{x^2 -16} \) \(⇒y = \frac{x}{x^2 -16}\) \(⇒y (x^2 -16)= x\) \(⇒yx^2 -x-16y = 0 \) \(⇒x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^2-4y (-16y)}}{2y}\) \( ⇒x = \frac{1 \pm \sqrt {1 - 64y^2}}{2y}\).
Para \( y = 0\), \( x = \frac{1 \pm \sqrt {1 + 0}}{0} = ∞\).
Assim, o intervalo da função \(f = I\!\!R/ \{0 \}\).
Função Constante:
Seja \(A\) e \(B\) quaisquer dois conjuntos não vazios, então uma função \(f\) de \(A\) para \(B\) é chamada Função Constante se e somente se o contradominio de \(f\) for um unico elemento.
Função algébrica:
A função definida pela expressão algébrica é denominada função algébrica.
Por exemplo: \(f(x) = x^2 + 3x + 6\).
Função polinomial:
Uma função da forma \( P(x) = a_nx^n + a_ {n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\).
Onde \(n \) é um inteiro positivo e \(a_n, a_ {n-1}, ... a_1, a_0 \) são números reais
É chamada função polinomial de grau \(n \).
Função linear:
Uma função polinomial com grau \(1\) é chamada de função linear. A forma mais geral da função linear é \(f (x) = ax + b \).
Função quadrática:
Uma função polinomial com grau \(2 \) é chamada função quadrática. A forma mais geral da equação quadrática é \(f (x) = ax^2 + bx + c \).
Função Cúbica:
Uma função polinomial com grau \(3 \) é chamada função cúbica. A forma mais geral da função cúbica é \(f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).
Função de Identidade:
Seja \(f: A \to B \) uma função, então \(f \) é chamado de função identidade. Se \(f(x) = x\), \(∀x∈A\).
Função racional:
Uma função \(R(x)\) definida por \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\), Onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são funções polinomial é chamado função racional.
Função trigonométrica:
Uma função \(f(x)=sinx\), \(f(x)=cosx\), etc., então \(f(x)\) é chamada função trigonométrica.
Função exponencial:
Uma função na qual a variável aparece como expoente (potência) é chamada função exponencial.
Por exemplo: (i) \(f(x)=a^x\), (ii) \(f(x)=3^x\).
Função Logarítmica:
Uma função na qual a variável aparece como um argumento de logarítmico é chamada função logarítmica.
Por exemplo. \(f(x)=log_a x\).
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