Progressão Aritmética

Uma Progressão Aritmetica(abreviado como P.A.) é uma sequência em que cada termo depois do primeiro é obtido adicionando ao termo precedente um número fixo que chama-se diferença.
Em outras palavras, valores são ditos estar em Progressão Aritimetica (P.A.), quando eles aumentam ou diminuem por uma diferença comum. Entretanto cada uma das sequências seguintes formam uma progressão aritimetica.

1. $3;8;13;18;…$
2. $6,2;-2;-6;…$
3. $a_1;a_1+d;a_1+2d;a_1+3d;…$

A diferença é determinada ao subtrair qualquer termo da sucessão por aquele que vem logo a sua traz. No primeiro dos exemplos acima, a diferença é: 5;
No segundo é: −4;
No terceiro é: d.

Porem 1;2;4;8;16;... não é uma progressão aritimetica. Aqui o segundo termo memos o primeiro termo é 1, enquanto que o terceiro termo menos o segundo é 2, a diferença assim obtida não se mantem constante.

O termo geral de uma Progressão Aritimetica:
Seja $a_1$ o primeiro termo e $d$ a diferença constante. Então o segundo termo é $a_1+d$, o terceiro termo é $a_1+2d$. Em cada um destes teremos, o coeficiente de $d$ é $1$ a menos que o número do termo.

De forma semelhante, o decimo termo é $a_1+9d$. O n-esimo termo é o n-esimo menos um depois do primeiro termo e é obtido depois de o $d$ ser adicionado $n-1$ vezes sucessivamente. Entretanto, se $a_n$ representa o n-esimo termo, então $a_n=a_1+(n-1)d$.

Exemplo: Encontre o setimo termo de uma Progressão Aritimetica (P.A.) em que o primeiro é 11 e a diferença é 4.
Solução:
O setimo termo pode ser designado como $a_7$, e vamos usar $a_n=a_1+(n-1)d$ como formula e substituir as variaveis para encontrar $a_7$.
Assim, $n=7, a1=11, d=4$.

∴ $a_n7=11+(7−1)4=11+6\cdot4=35$
Entretanto, o setimo termo que procuramos é 35.

Exemplo: Encontrar o decimo terceiro termo da seguinte progressão aritimetica.
7;17;27;…
Solução:
Como $n=13, a_1=7$ e $d=17−7=10$
∴ $a_n=a1+(n−1)d$
O que nos dá $a_{13}=7+(13−1)(10)=7+120=127$
Entretanto, o decimo terceiro termo que procuramos é $127$.

Exemplo: Encontre o vigésimo termo de uma P.A. cujo terceiro termo é $7$ e o oitavo termo é 17.
Solução:
Usando a fórmula $a_n=a1+(n−1)d$, temos:
$a_3=a_1+(3−1)d$ $⇒7=a_1+2d$ ------- (1)
$a_8=a_1+(8−1)d$ $⇒17=a_1+7d$ ------- (2)

Ao subtrair (1) e (2), temos $10=5d ⇒d=2$
Agora, colocando o valor $d=2$ em (1), temos que $7=a_1+2\cdot2$ $⇒7=a_1+4$ $⇒a_1=3$
Em seguida, colocando $a_1=3, d=2, n=20$ em $a_n=a_1+(n−1)d$ obtemos $a_{20}=3+(20−1)2$ $=3+79×2$ $=3+38=41$



A Soma do termos de uma P.A.
Agora vamos aprender como encontrar a soma dos primeiro $n$ teremos de uma Progressão Aritmética.
Prove que a soma dos $n$ primeiros termos ($S_n$) de uma PA onde o primeiro termo é $a$ e a diferença é $d$ é: $S_n=\frac{n}{2}\cdot [2a1 + (n - 1)d]. Prova: Suponha que \(a1; a2; a3; ......... seja uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é \(a$ e a diferença comum é $d$.
Então, $a_1 = a$
$a_2 = a+ d$
$a_3 = a + 2d$
$a_4 = a + 3d$
................
................
$a_n = a + (n - 1) d$
Agora,
$S_n= a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n-1} + a_n$
$i) S_n= a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... + {a + (n - 2) d} + {a + (n - 1) d}$
Ao escrever os termos de $S_n$ na ordem inversa, obtemos,
$i) \{a + (n - 1) d\}$ $+ \{a + (n - 2) d\}$ $+ \{a + (n - 3) d\}$ $+ ... +$ $(a + 3d)$ $+ (a + 2d)$ $+ (a + d)$ $+ a$
Adicionando os termos correspondentes de (i) e (ii), obtemos
$2S = {2a + (n - 1) d}$ $+ {2a + (n - 1) d}$ $+ {2a + (n - 1) d}$ $+ ... +$ ${a + (n - 2) d}$
$2S = n [2a + (n-1) d$ $⇒ S =\frac{n}{2} \cdot [2a + (n - 1) d]$

Podemos também encontrar a soma dos primeiros n termos de uma Progressão Aritmética de acordo com o processo abaixo.
Suponha que S denote a soma dos primeiros n termos da Progressão Aritmética $(a$, $a + d$, $a + 2d$, $a + 3d$, $a + 4d$, $a + 5d...)$.
Agora o n-ésimo termo da dada Progressão Aritmética é $a + (n - 1) d$
Seja o n-ésimo termo da dada Progresso Aritmética $=l$
Portanto, $a + (n - 1) d = l$
Portanto, o termo anterior ao último termo é $l - d$.
O termo anterior ao termo $(l - d)$ é $l - 2d$ e assim por diante.
Portanto, $S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... a_n$.
Ou, $S = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... + (l - 2d) + (l - d) + l$ … (i)
Escrevendo a série acima em ordem inversa, obtemos
$S = l + (l-d) + (l-2d) + ... + (A + 2d) + (a + d) + a$  ....... (ii)
Adicionando os termos correspondentes de (i) e (ii), obtemos
$2S = (a + l) + (a + l) + (a + l) +...$ Para n termos
$⇒ 2S = n (a + l)$
$⇒ S = \frac{n }{2} \cdot (a + l)$
$⇒ S =$ $\frac{\text{Número de termos}{2} \cdot (\text{Primeiro termo + Último termo})$ ... (iii)
$⇒ S = \frac{n }{2} \cdot [a + a + (n - 1) d]$, Desde o último termo $l = a + (n - 1) d$
$⇒ S = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]$
Resolvido exemplos para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
1. Encontre a soma das seguintes séries aritméticas:
$1 + 8 + 15 + 22 + 29 + 36 +...$ até 17 termos.
Solução:
Primeiro termo da dada série aritmética $= 1$
Segundo termo da série aritmética dada $= 8$
Terceiro termo da série aritmética dada $= 15$
Quarto termo da dada série aritmética $= 22$
Quinto termo da série aritmética dada $= 29$
Agora, Segundo mandato - Primeiro termo $= 8 - 1 = 7$
Terceiro mandato - Segundo mandato $= 15 - 8 = 7$
Quarto termo - Terceiro termo $= 22 - 15 = 7$
Portanto, a diferença comum da série aritmética dada é $7$.
O número de termos da dada série é $n= 17$.
Sabemos que a soma dos primeiros n termos do Progressão Aritmético, cujo primeiro termo $= a$ e diferença comum $= d$ é $S_n = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]$
Portanto, a soma necessária dos primeiros $20$ termos da série $= \frac{17 }{2} \cdot [2 + 16 \cdot 7]$ $= \frac{17 }{2} \cdot [2 \cdot 1 + (17 - 1)\cdot 7]$ $= \frac{17 }{2} \cdot [2 + 112]$ $= \frac{17}{2} \cdot 114$ $= 17\cdot 57$ $= 969$
2. Encontre a soma da seguinte P.A.: $7 +$ $15 +$ $23 +$ $31 +$ $39 +$ $47 + ... + 255$
Solução:
Primeiro termo da série aritmética dada $= 7$
Segundo termo da série aritmética dada $= 15$
Terceiro termo da série aritmética dada $= 23$
Quarto termo da série aritmética dada $= 31$
Quinto termo da série aritmética dada $= 39$
Agora, Segundo termo - Primeiro termo $= 15 -7 = 8$
Terceiro termo - Segundo termo $= 23 - 15 = 8$
Quarto termo - Terceiro termo $= 31 - 23 = 8$
Portanto, a sequência dada é uma série aritmética com a diferença comum $8$.
Seja $n$ o número de termos na progressão aritmética dada. Então $a_n = 255$ $⇒ a + (n - 1) d = 255$ $⇒ 7 + (n - 1) \cdot 8 = 255$ $⇒ 7 + 8n - 8 = 255$ $⇒ 8n - 1 = 255$ $⇒ 8n = 256$ $⇒ n = 32$.
Portanto, a soma pucurada da progressão $= \frac{32 }{2} \cdot [2\cdot 7 + (32 - 1)\cdot 8]$ $= 16 [14 + 31\cdot 8]$ $= 16 [14 + 248]$ $= 16 × 262$ $= 4192$.
Nota:
1. Sabemos que a fórmula para encontrar a soma dos primeiros $n$ termos de uma Progressão Aritmética é $S_n = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]$. Na fórmula existem quatro quantidades. Eles são $S_n, a, n$ e $d$. Se forem conhecidas três quantidades, a quarta quantidade pode ser determinada.
Suponha que quando duas quantidades são dadas então, as duas quantidades restantes são fornecidas por alguma outra relação.
2. Quando a soma $S_n$ de $n$ termos de uma Progressão Aritmética é dada, então o n-ésimo termo $a_n$ da Progressão Aritmética pode ser determinado pela fórmula $a_n = Sn-Sn-1$.