Progressão Aritmética
Uma Progressão Aritmetica(abreviado como P.A.) é uma sequência em que cada termo depois do primeiro é obtido adicionando ao termo precedente um número fixo que chama-se diferença.
Em outras palavras, valores são ditos estar em Progressão Aritimetica (P.A.), quando eles aumentam ou diminuem por uma diferença comum. Entretanto cada uma das sequências seguintes formam uma progressão aritimetica.
1. \( 3;8;13;18;…\)
2. \(6,2;-2;-6;…\)
3. \(a_1;a_1+d;a_1+2d;a_1+3d;…\)
A diferença é determinada ao subtrair qualquer termo da sucessão por aquele que vem logo a sua traz. No primeiro dos exemplos acima, a diferença é: 5;
No segundo é: −4;
No terceiro é: d.
Porem 1;2;4;8;16;... não é uma progressão aritimetica. Aqui o segundo termo memos o primeiro termo é 1, enquanto que o terceiro termo menos o segundo é 2, a diferença assim obtida não se mantem constante.
O termo geral de uma Progressão Aritimetica:
Seja \(a_1\) o primeiro termo e \(d\) a diferença constante. Então o segundo termo é \(a_1+d\), o terceiro termo é \(a_1+2d\). Em cada um destes teremos, o coeficiente de \(d\) é \(1\) a menos que o número do termo.
De forma semelhante, o decimo termo é \(a_1+9d\). O n-esimo termo é o n-esimo menos um depois do primeiro termo e é obtido depois de o \(d\) ser adicionado \(n-1\) vezes sucessivamente. Entretanto, se \(a_n\) representa o n-esimo termo, então \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Exemplo: Encontre o setimo termo de uma Progressão Aritimetica (P.A.) em que o primeiro é 11 e a diferença é 4.
Solução:
O setimo termo pode ser designado como \(a_7\), e vamos usar \(a_n=a_1+(n-1)d\) como formula e substituir as variaveis para encontrar \(a_7\).
Assim, \(n=7, a1=11, d=4\).
∴ \(a_n7=11+(7−1)4=11+6\cdot4=35\)
Entretanto, o setimo termo que procuramos é 35.
Exemplo: Encontrar o decimo terceiro termo da seguinte progressão aritimetica.
7;17;27;…
Solução:
Como \(n=13, a_1=7\) e \(d=17−7=10\)
∴ \(a_n=a1+(n−1)d\)
O que nos dá \(a_{13}=7+(13−1)(10)=7+120=127\)
Entretanto, o decimo terceiro termo que procuramos é \(127\).
Exemplo: Encontre o vigésimo termo de uma P.A. cujo terceiro termo é \(7\) e o oitavo termo é 17.
Solução:
Usando a fórmula \(a_n=a1+(n−1)d\), temos:
\( a_3=a_1+(3−1)d\) \( ⇒7=a_1+2d\) ------- (1)
\(a_8=a_1+(8−1)d \) \(⇒17=a_1+7d\) ------- (2)
Ao subtrair (1) e (2), temos \( 10=5d ⇒d=2\)
Agora, colocando o valor \(d=2\) em (1), temos que \(7=a_1+2\cdot2 \) \(⇒7=a_1+4 \) \(⇒a_1=3\)
Em seguida, colocando \(a_1=3, d=2, n=20\) em \(a_n=a_1+(n−1)d\) obtemos \(a_{20}=3+(20−1)2\) \(=3+79×2\) \(=3+38=41\)
A Soma do termos de uma P.A.
Agora vamos aprender como encontrar a soma dos primeiro \(n\) teremos de uma Progressão Aritmética.
Prove que a soma dos \(n\) primeiros termos (\(S_n\)) de uma PA onde o primeiro termo é \(a\) e a diferença é \(d\) é: \(S_n=\frac{n}{2}\cdot [2a1 + (n - 1)d].
Prova:
Suponha que \(a1; a2; a3; ......... seja uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é \(a\) e a diferença comum é \(d\).
Então, \(a_1 = a\)
\(a_2 = a+ d\)
\(a_3 = a + 2d\)
\(a_4 = a + 3d\)
................
................
\(a_n = a + (n - 1) d\)
Agora,
\(S_n= a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n-1} + a_n\)
\( i) S_n= a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... + {a + (n - 2) d} + {a + (n - 1) d}\)
Ao escrever os termos de \(S_n\) na ordem inversa, obtemos,
\( i) \{a + (n - 1) d\} \) \(+ \{a + (n - 2) d\}\) \( + \{a + (n - 3) d\} \) \(+ ... +\) \( (a + 3d) \) \(+ (a + 2d) \) \(+ (a + d) \) \(+ a\)
Adicionando os termos correspondentes de (i) e (ii), obtemos
\(2S = {2a + (n - 1) d}\) \( + {2a + (n - 1) d} \) \(+ {2a + (n - 1) d}\) \( + ... +\) \( {a + (n - 2) d}\)
\(2S = n [2a + (n-1) d\) \( ⇒ S =\frac{n}{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\)
Podemos também encontrar a soma dos primeiros n termos de uma Progressão Aritmética de acordo com o processo abaixo.
Suponha que S denote a soma dos primeiros n termos da Progressão Aritmética \((a\), \(a + d\), \(a + 2d\), \(a + 3d\), \(a + 4d\), \(a + 5d...)\).
Agora o n-ésimo termo da dada Progressão Aritmética é \(a + (n - 1) d\)
Seja o n-ésimo termo da dada Progresso Aritmética \(=l\)
Portanto, \(a + (n - 1) d = l\)
Portanto, o termo anterior ao último termo é \( l - d\).
O termo anterior ao termo \((l - d) \) é \( l - 2d\) e assim por diante.
Portanto, \(S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... a_n\).
Ou, \(S = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... + (l - 2d) + (l - d) + l\) … (i)
Escrevendo a série acima em ordem inversa, obtemos
\( S = l + (l-d) + (l-2d) + ... + (A + 2d) + (a + d) + a\) ....... (ii)
Adicionando os termos correspondentes de (i) e (ii), obtemos
\(2S = (a + l) + (a + l) + (a + l) +... \) Para n termos
\( ⇒ 2S = n (a + l) \)
\( ⇒ S = \frac{n }{2} \cdot (a + l) \)
\( ⇒ S = \) \( \frac{\text{Número de termos}{2} \cdot (\text{Primeiro termo + Último termo}) \) ... (iii)
\( ⇒ S = \frac{n }{2} \cdot [a + a + (n - 1) d]\), Desde o último termo \( l = a + (n - 1) d \)
\( ⇒ S = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\)
Resolvido exemplos para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
1. Encontre a soma das seguintes séries aritméticas:
\(1 + 8 + 15 + 22 + 29 + 36 +...\) até 17 termos.
Solução:
Primeiro termo da dada série aritmética \(= 1\)
Segundo termo da série aritmética dada \(= 8\)
Terceiro termo da série aritmética dada \(= 15\)
Quarto termo da dada série aritmética \(= 22\)
Quinto termo da série aritmética dada \(= 29\)
Agora, Segundo mandato - Primeiro termo \(= 8 - 1 = 7\)
Terceiro mandato - Segundo mandato \(= 15 - 8 = 7\)
Quarto termo - Terceiro termo \(= 22 - 15 = 7\)
Portanto, a diferença comum da série aritmética dada é \( 7\).
O número de termos da dada série é \( n= 17\).
Sabemos que a soma dos primeiros n termos do Progressão Aritmético, cujo primeiro termo \(= a\) e diferença comum \(= d\) é \(S_n = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\)
Portanto, a soma necessária dos primeiros \( 20\) termos da série \(= \frac{17 }{2} \cdot [2 + 16 \cdot 7]\) \( = \frac{17 }{2} \cdot [2 \cdot 1 + (17 - 1)\cdot 7] \) \(= \frac{17 }{2} \cdot [2 + 112] \) \(= \frac{17}{2} \cdot 114\) \( = 17\cdot 57\) \( = 969\)
2. Encontre a soma da seguinte P.A.: \(7 + \) \(15 + \) \(23 + \) \(31 + \) \(39 + \) \(47 + ... + 255\)
Solução:
Primeiro termo da série aritmética dada \(= 7\)
Segundo termo da série aritmética dada \(= 15\)
Terceiro termo da série aritmética dada \(= 23\)
Quarto termo da série aritmética dada \(= 31\)
Quinto termo da série aritmética dada \(= 39\)
Agora, Segundo termo - Primeiro termo \(= 15 -7 = 8\)
Terceiro termo - Segundo termo \(= 23 - 15 = 8\)
Quarto termo - Terceiro termo \(= 31 - 23 = 8\)
Portanto, a sequência dada é uma série aritmética com a diferença comum \(8\).
Seja \(n\) o número de termos na progressão aritmética dada. Então \(a_n = 255\) \( ⇒ a + (n - 1) d = 255\) \( ⇒ 7 + (n - 1) \cdot 8 = 255 \) \(⇒ 7 + 8n - 8 = 255\) \( ⇒ 8n - 1 = 255 \) \(⇒ 8n = 256 \) \(⇒ n = 32\).
Portanto, a soma pucurada da progressão \(= \frac{32 }{2} \cdot [2\cdot 7 + (32 - 1)\cdot 8] \) \(= 16 [14 + 31\cdot 8] \) \(= 16 [14 + 248] \) \(= 16 × 262\) \( = 4192\).
Nota:
1. Sabemos que a fórmula para encontrar a soma dos primeiros \(n\) termos de uma Progressão Aritmética é \( S_n = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\). Na fórmula existem quatro quantidades. Eles são \(S_n, a, n\) e \(d\). Se forem conhecidas três quantidades, a quarta quantidade pode ser determinada.
Suponha que quando duas quantidades são dadas então, as duas quantidades restantes são fornecidas por alguma outra relação.
2. Quando a soma \(S_n\) de \(n\) termos de uma Progressão Aritmética é dada, então o n-ésimo termo \(a_n\) da Progressão Aritmética pode ser determinado pela fórmula \(a_n = Sn-Sn-1\).
Em outras palavras, valores são ditos estar em Progressão Aritimetica (P.A.), quando eles aumentam ou diminuem por uma diferença comum. Entretanto cada uma das sequências seguintes formam uma progressão aritimetica.
1. \( 3;8;13;18;…\)
2. \(6,2;-2;-6;…\)
3. \(a_1;a_1+d;a_1+2d;a_1+3d;…\)
A diferença é determinada ao subtrair qualquer termo da sucessão por aquele que vem logo a sua traz. No primeiro dos exemplos acima, a diferença é: 5;
No segundo é: −4;
No terceiro é: d.
Porem 1;2;4;8;16;... não é uma progressão aritimetica. Aqui o segundo termo memos o primeiro termo é 1, enquanto que o terceiro termo menos o segundo é 2, a diferença assim obtida não se mantem constante.
O termo geral de uma Progressão Aritimetica:
Seja \(a_1\) o primeiro termo e \(d\) a diferença constante. Então o segundo termo é \(a_1+d\), o terceiro termo é \(a_1+2d\). Em cada um destes teremos, o coeficiente de \(d\) é \(1\) a menos que o número do termo.
De forma semelhante, o decimo termo é \(a_1+9d\). O n-esimo termo é o n-esimo menos um depois do primeiro termo e é obtido depois de o \(d\) ser adicionado \(n-1\) vezes sucessivamente. Entretanto, se \(a_n\) representa o n-esimo termo, então \(a_n=a_1+(n-1)d\).
Exemplo: Encontre o setimo termo de uma Progressão Aritimetica (P.A.) em que o primeiro é 11 e a diferença é 4.
Solução:
O setimo termo pode ser designado como \(a_7\), e vamos usar \(a_n=a_1+(n-1)d\) como formula e substituir as variaveis para encontrar \(a_7\).
Assim, \(n=7, a1=11, d=4\).
∴ \(a_n7=11+(7−1)4=11+6\cdot4=35\)
Entretanto, o setimo termo que procuramos é 35.
Exemplo: Encontrar o decimo terceiro termo da seguinte progressão aritimetica.
7;17;27;…
Solução:
Como \(n=13, a_1=7\) e \(d=17−7=10\)
∴ \(a_n=a1+(n−1)d\)
O que nos dá \(a_{13}=7+(13−1)(10)=7+120=127\)
Entretanto, o decimo terceiro termo que procuramos é \(127\).
Exemplo: Encontre o vigésimo termo de uma P.A. cujo terceiro termo é \(7\) e o oitavo termo é 17.
Solução:
Usando a fórmula \(a_n=a1+(n−1)d\), temos:
\( a_3=a_1+(3−1)d\) \( ⇒7=a_1+2d\) ------- (1)
\(a_8=a_1+(8−1)d \) \(⇒17=a_1+7d\) ------- (2)
Ao subtrair (1) e (2), temos \( 10=5d ⇒d=2\)
Agora, colocando o valor \(d=2\) em (1), temos que \(7=a_1+2\cdot2 \) \(⇒7=a_1+4 \) \(⇒a_1=3\)
Em seguida, colocando \(a_1=3, d=2, n=20\) em \(a_n=a_1+(n−1)d\) obtemos \(a_{20}=3+(20−1)2\) \(=3+79×2\) \(=3+38=41\)
A Soma do termos de uma P.A.
Agora vamos aprender como encontrar a soma dos primeiro \(n\) teremos de uma Progressão Aritmética.
Prove que a soma dos \(n\) primeiros termos (\(S_n\)) de uma PA onde o primeiro termo é \(a\) e a diferença é \(d\) é: \(S_n=\frac{n}{2}\cdot [2a1 + (n - 1)d].
Prova:
Suponha que \(a1; a2; a3; ......... seja uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é \(a\) e a diferença comum é \(d\).
Então, \(a_1 = a\)
\(a_2 = a+ d\)
\(a_3 = a + 2d\)
\(a_4 = a + 3d\)
................
................
\(a_n = a + (n - 1) d\)
Agora,
\(S_n= a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_{n-1} + a_n\)
\( i) S_n= a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... + {a + (n - 2) d} + {a + (n - 1) d}\)
Ao escrever os termos de \(S_n\) na ordem inversa, obtemos,
\( i) \{a + (n - 1) d\} \) \(+ \{a + (n - 2) d\}\) \( + \{a + (n - 3) d\} \) \(+ ... +\) \( (a + 3d) \) \(+ (a + 2d) \) \(+ (a + d) \) \(+ a\)
Adicionando os termos correspondentes de (i) e (ii), obtemos
\(2S = {2a + (n - 1) d}\) \( + {2a + (n - 1) d} \) \(+ {2a + (n - 1) d}\) \( + ... +\) \( {a + (n - 2) d}\)
\(2S = n [2a + (n-1) d\) \( ⇒ S =\frac{n}{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\)
Podemos também encontrar a soma dos primeiros n termos de uma Progressão Aritmética de acordo com o processo abaixo.
Suponha que S denote a soma dos primeiros n termos da Progressão Aritmética \((a\), \(a + d\), \(a + 2d\), \(a + 3d\), \(a + 4d\), \(a + 5d...)\).
Agora o n-ésimo termo da dada Progressão Aritmética é \(a + (n - 1) d\)
Seja o n-ésimo termo da dada Progresso Aritmética \(=l\)
Portanto, \(a + (n - 1) d = l\)
Portanto, o termo anterior ao último termo é \( l - d\).
O termo anterior ao termo \((l - d) \) é \( l - 2d\) e assim por diante.
Portanto, \(S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... a_n\).
Ou, \(S = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ... + (l - 2d) + (l - d) + l\) … (i)
Escrevendo a série acima em ordem inversa, obtemos
\( S = l + (l-d) + (l-2d) + ... + (A + 2d) + (a + d) + a\) ....... (ii)
Adicionando os termos correspondentes de (i) e (ii), obtemos
\(2S = (a + l) + (a + l) + (a + l) +... \) Para n termos
\( ⇒ 2S = n (a + l) \)
\( ⇒ S = \frac{n }{2} \cdot (a + l) \)
\( ⇒ S = \) \( \frac{\text{Número de termos}{2} \cdot (\text{Primeiro termo + Último termo}) \) ... (iii)
\( ⇒ S = \frac{n }{2} \cdot [a + a + (n - 1) d]\), Desde o último termo \( l = a + (n - 1) d \)
\( ⇒ S = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\)
Resolvido exemplos para encontrar a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
1. Encontre a soma das seguintes séries aritméticas:
\(1 + 8 + 15 + 22 + 29 + 36 +...\) até 17 termos.
Solução:
Primeiro termo da dada série aritmética \(= 1\)
Segundo termo da série aritmética dada \(= 8\)
Terceiro termo da série aritmética dada \(= 15\)
Quarto termo da dada série aritmética \(= 22\)
Quinto termo da série aritmética dada \(= 29\)
Agora, Segundo mandato - Primeiro termo \(= 8 - 1 = 7\)
Terceiro mandato - Segundo mandato \(= 15 - 8 = 7\)
Quarto termo - Terceiro termo \(= 22 - 15 = 7\)
Portanto, a diferença comum da série aritmética dada é \( 7\).
O número de termos da dada série é \( n= 17\).
Sabemos que a soma dos primeiros n termos do Progressão Aritmético, cujo primeiro termo \(= a\) e diferença comum \(= d\) é \(S_n = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\)
Portanto, a soma necessária dos primeiros \( 20\) termos da série \(= \frac{17 }{2} \cdot [2 + 16 \cdot 7]\) \( = \frac{17 }{2} \cdot [2 \cdot 1 + (17 - 1)\cdot 7] \) \(= \frac{17 }{2} \cdot [2 + 112] \) \(= \frac{17}{2} \cdot 114\) \( = 17\cdot 57\) \( = 969\)
2. Encontre a soma da seguinte P.A.: \(7 + \) \(15 + \) \(23 + \) \(31 + \) \(39 + \) \(47 + ... + 255\)
Solução:
Primeiro termo da série aritmética dada \(= 7\)
Segundo termo da série aritmética dada \(= 15\)
Terceiro termo da série aritmética dada \(= 23\)
Quarto termo da série aritmética dada \(= 31\)
Quinto termo da série aritmética dada \(= 39\)
Agora, Segundo termo - Primeiro termo \(= 15 -7 = 8\)
Terceiro termo - Segundo termo \(= 23 - 15 = 8\)
Quarto termo - Terceiro termo \(= 31 - 23 = 8\)
Portanto, a sequência dada é uma série aritmética com a diferença comum \(8\).
Seja \(n\) o número de termos na progressão aritmética dada. Então \(a_n = 255\) \( ⇒ a + (n - 1) d = 255\) \( ⇒ 7 + (n - 1) \cdot 8 = 255 \) \(⇒ 7 + 8n - 8 = 255\) \( ⇒ 8n - 1 = 255 \) \(⇒ 8n = 256 \) \(⇒ n = 32\).
Portanto, a soma pucurada da progressão \(= \frac{32 }{2} \cdot [2\cdot 7 + (32 - 1)\cdot 8] \) \(= 16 [14 + 31\cdot 8] \) \(= 16 [14 + 248] \) \(= 16 × 262\) \( = 4192\).
Nota:
1. Sabemos que a fórmula para encontrar a soma dos primeiros \(n\) termos de uma Progressão Aritmética é \( S_n = \frac{n }{2} \cdot [2a + (n - 1) d]\). Na fórmula existem quatro quantidades. Eles são \(S_n, a, n\) e \(d\). Se forem conhecidas três quantidades, a quarta quantidade pode ser determinada.
Suponha que quando duas quantidades são dadas então, as duas quantidades restantes são fornecidas por alguma outra relação.
2. Quando a soma \(S_n\) de \(n\) termos de uma Progressão Aritmética é dada, então o n-ésimo termo \(a_n\) da Progressão Aritmética pode ser determinado pela fórmula \(a_n = Sn-Sn-1\).
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