Mini-Curso N°1> Lição 1 de 14 - Introdução aos Conjuntos
Introdução aos Conjuntos
Exemplo 1:
A Marta estava na aula de matemática com sua amiga Neila. Ela sussurrou para Neila que ela tinha acabado de comprar um conjunto de roupas de inverno. A coleção inclui um casaco, um chapéu, um lenço, luvas e botas. A professora, a Sra. Bibiana, ouviu a conversa e perguntou-lhes: O que é um conjunto?Solução:
Felizmente para Marta e Ana, seu colega Eduardo tinha um dicionário de matemática com ele! Ele rapidamente olhou para a palavra "conjunto" e definiu-a para a turma, como mostrado abaixo.Um conjunto é uma coleção de objetos que têm algo em comum ou seguem uma regra. Os objetos no conjunto são chamados de seus elementos. Para definir um conjunto usa-se chavetas, com elementos separados por ponto e vírgulas. Assim, o conjunto de roupas que a Marta comprou seria listado da seguinte forma:
\( A = \{casaco;\ chapéu;\ lenço;\ luvas;\ botas\}\), onde \( A \) é o nome do conjunto, e as chavetas indicam que os objetos escritos entre eles pertencem ao conjunto.
Cada objeto de um conjunto é exclusivo: o mesmo objeto pode não ser incluído no conjunto mais de uma vez.
Vejamos mais alguns exemplos de conjuntos.
Exemplo 2:
Qual é o conjunto de todos os dedos da mão de um ser humano?Solução:
\( P = \{polegar;\ indicador;\ médio;\ anelar;\ mindinho\}\)Observe que existe outro nome para o dedo médio que é também conhecido como o dedo maior. Assim, poderíamos ter listado o conjunto de dedos como:
\( P = \{polegar;\ indicador;\ maior;\ anelar;\ mindinho\}\)
Exemplo 3:
Qual é o conjunto de todos os números inteiros que são e encontram-se entre \( 0\) e \(10\)?Solução:
\( \displaystyle Q = \{2; 4; 6; 8\} \) Note que o uso da palavra entre significa que o intervalo de números dado não é inclusivo. Como resultado, os números \( 0 \) e \(10 \) não são listados como elementos deste conjunto.Exemplo 4:
Eduardo estava na aula de Educação Visual quando a professora escreveu isso no quadro: Nas artes plásticas, as cores primárias são conjuntos de cores que podem ser combinadas para criar uma gama útil de cores. Então ela perguntou a turma: Qual é o conjunto de cores primárias?Solução:
Eduardo respondeu: vermelho, azul e amarelo. Ana respondeu: Podemos usar a notação de conjunto para listar o conjunto de todas as cores primárias.Marta foi ao quadro e escreveu:
\( \displaystyle X = \{vermelho; azul; amarelo\}\)
A professora disse: Bom trabalho a todos.
Esta é uma combinação agradável de arte e matemática!
Nos exemplos 1 a 4, cada conjunto tinha um número diferente de elementos, e cada elemento dentro de um conjunto era único. Nestes exemplos, foram utilizadas certas convenções.
As convenções a seguir são usadas com conjuntos:
Letras maiúsculas são usadas para denotar conjuntos.
Letras minúsculas são usadas para denotar elementos de conjuntos.
As chavetas {} denotam uma lista de elementos de um conjunto.
Assim, para os exemplos 1 a 4, listamos os conjuntos da seguinte maneira:
1. \( \displaystyle A = \{casaco; chapéu; cachecol; luvas; botas\} \).
2. \( \displaystyle P = \{polegar; indicador, médio, anel, mindinho \} \).
3. \( \displaystyle Q = \{2; 4; 6; 8\} \).
4. \( \displaystyle X = \{vermelho; azul; amarelo\} \).
Estes conjuntos foram listados com a notação de listagem ou por extensão. Notação de listagem é uma lista de elementos, separados por ponto e vírgulas, fechados em chavetas. As chavetas são usadas para indicar que os elementos escritos entre eles pertencem a esse conjunto.
Vejamos alguns exemplos de conjuntos listados com notação de listagem ou extensão.
Exemplo 5:
Seja \(R\) o conjunto de todas as vogais do alfabeto português.Solução:
\( \displaystyle R = \{a; e; i; o; u\} \)Exemplo 6:
Seja \( G\) o conjunto de todos os números inteiros inferiores a dez.Solução:
\( \displaystyle G = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}\)Exemplo 7:
Seja \( T\) o conjunto de todos os dias em uma semana.Solução:
\( \displaystyle T = \{segunda-feira; terça-feira; quarta-feira; quinta-feira; sexta-feira; sábado; domingo\} \)Exemplo 8:
Seja \(X\) o conjunto de números ímpares inferiores a \( 12\).Solução:
\( \displaystyle X = \{1; 3; 5; 7; 9; 11\} \)Exemplo 9:
Seja \(Y \) o conjunto de todos os continentes do mundo.Solução:
\( Y = \{Ásia; África; América do Norte; América do Sul; Antártica; Europa; Austrália\} \)Há momentos em que não é prático listar todos os elementos de um conjunto. Neste caso, é melhor descrever o conjunto. A regra que os elementos seguem pode ser dada nas chavetas. Por exemplo:
\( \displaystyle R = \{vogais\} \) significa que \( R \) é o conjunto de todas as vogais do alfabeto português.
Isto é especialmente útil quando se trabalha com conjuntos grandes, como mostrado abaixo.
\( \displaystyle A = \{tipos \ de \ triângulos\}\)
\( \displaystyle G = \{letras \ do \ alfabeto \ português \} \)
\( \displaystyle J = \{números \ primos \ inferiores \ a \ 100\} \)
\( \displaystyle M = \{províncias \ de \ Moçambique \}\)
Ao descrever um conjunto, não é necessário listar todos os elementos desse conjunto. Assim, há dois métodos para indicar um conjunto de objetos: 1) listando os elementos por extensão e 2) descrevendo os elementos por compreensão. Vamos distinguir entre estes dois métodos nos exemplos 10 e 11 abaixo.
Exemplo 10:
Qual é o conjunto de todas as letras no alfabeto português?Listagem de elementos por extensão:
\( \displaystyle D = \{a; b; c; d; e; f; g; h; j; l; m; n; o; p; q; r; s; t; u; v; w; x; z\}\)
Descrevendo elementos por compreensão:
\( \displaystyle D = \{letras do alfabeto português \}\)
Exemplo 11:
Qual é o conjunto de todas as províncias de Moçambique?Solução:
\(\displaystyle R = \{todas \ as \ províncias \ de \ Moçambique \}\)No exemplo 10, o conjunto \( D \) tem \(23\) elementos, por isso é mais fácil descrever os seus elementos por compreensão do que listá-los por extensão. De modo semelhante, no exemplo 11, o conjunto \(R \) tem \(11\) elementos, por isso é mais fácil descrever os seus elementos por compreensão.
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