Exame Resolvido - UEM-2005 - Questões 21-32

21. Indique o domínio da função seguinte.

Resolução:

O domínio de uma função \(f(x)\) são todos os valores da variável \(x\) para os quais \(f(x)\) tem sentido.
Sendo assim, apartir da leitura no gráfico podemos verificar que a função tem sentido em todo o conjunto de numeros reais excepto para \(x=-2\) e \( x=2\).

Entretanto, \(x\in ]-\infty;-2[ \cup ]-2;2[ \cup ]2;+\infty[ \).

22. O valor dos limites \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x) \) e \( \displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) \); sendo \( f(x) \) a função representada no gráfico do exercício anterior, são respectivamente.

Resolução:

No gráfico pode-se ver claramente que quando \( x \) tende ao mais infinito \(y=f(x)\) aproxima-se cada vez mais de \(-3\). E o quando \(x\) tende ao menos infinito o valor de \( f(x)\) aproxima-se de \(1\).

Entretanto, o valor de \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-3 \) e \( \displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=1\).

23. Calcule \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(\frac{a+x}{x})^{5x} \).

Resolução:

\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(\frac{a+x}{x})^{5x} \) \(\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}[(\frac{a}{x}+\frac{x}{x})^{x}]^5 \) \( \displaystyle =\lim_{x\to +\infty}[(1+\frac{a}{x})^{x}]^5\).

Assim, apartir do limite notável \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} (1+\frac{a}{x})^x=e^a\), teremos que:
\( \displaystyle \lim_{x\to +\infty}[(1+\frac{a}{x})^{x}]^5\) \( =(e^a)^5\) \( = e^{5a} \).

24. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função de domínio \( I\!\!R \bslash \{0\} \). Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica da função \( f' \) derivada de \( f \)?

Resolução:

Podemos afirmar sem duvida nenhuma que é a alternativa \( C\). Pois o intervalo onde a função \( f \) é decrescente a sua derivada deverá ser negativa e no intervalo em que ela é crescente a sua derivada deverá ser positiva. E o gráfico da alternativa \( C\) cumpre estas condiçōes.

25. Considere o triângulo seguinte. Tomando em consideração que \( b \) mede \( 4cm \), \( c \) mede \( 5cm \) e o ângulo formado pelos lados \( AB \) e \( AC \) é de \( 60° \). Quanto mede o lado \( a \)?

Resolução:

Para a resolução desta questão vamos aplicar a fórmula dos cossenos ( ver página \(9\) da tabela de matemática, física e química ).

\( a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos A \) \( \Rightarrow a=\sqrt{4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5 \cdot \cos 60° } \) \(=\sqrt{16+25-40\cdot \frac{1}{2}} \) \( = \sqrt{41-20} \) \( =\sqrt{21} \).

Entretanto, o lado \( a\) mede \( \sqrt{21} cm \).

26. Determine o valor de \( m \) ( ou os valores de \( m \) ) de modo a que tenha sentido a expressão: \( \mathrm{tg}\alpha =\frac{m+1}{m} \) e \( \alpha \in 2° \) Quadrante.

Resolução:

Como \( \alpha \in ]\frac{\pi}{2}; \pi[ \) então o valor de qualquer tangente de um ângulo nesse intervalo sempre será negativo.
Assim, temos que:
\[ \frac{m+1}{m} \lt 0 \]

Agora basta resolver esta inequação para encontrarmos os valores de \( m \) para os quais a expressão tenha sentido.
Para tal vamos achar os zeros do numerador e do denominador, de modo a elaboramos a tabela de sinais.

\( m+1=0 \wedge m=0 \) \( \Rightarrow m=-1 \wedge m=0 \).

\begin{align}{|c|c|c|c|c|c|}\hline m & ]-\infty; -1[ & -1 & ]-1;0[ & 0 & ]0;+\infty[ \\ \hline m+1 & - & 0 & + & 1 & + \\ \hline m & - & - & - & 0 & + \\ \hline \frac{m+2}{m} & + & 0 & - & \nexists & + \\ \hline \end{align}

27. Qual é o valor da soma? \( \mathrm{sen}240°-\cos 150°+\mathrm{tg}330° \).

Resolução:

Visto que os ângulos não estão no primeiro quadrante devemos começar por reduzir ao primeiro quadrante.
\( \mathrm{sen}240°=-\mathrm{sen}(240°-180°)=-\mathrm{sen}60° \).

\( \cos 150°=-\cos (180°-150°)=-\cos 30°\).

\( \mathrm{tg}330°=-\mathrm{tg}(360°-330°)=-\mathrm{tg}30°\).

Daí teremos que:
\( \mathrm{sen}240°-\cos 150°+\mathrm{tg}330° \) \( =-\mathrm{sen}60°-(-\cos 30°)-\mathrm{tg}30° \) \(=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(=-\frac{\sqrt{3}}{3}\).

28. Calcule a derivada de \( y= \mathrm{sen}(3x) \) onde \( x \) é igual a \( 20° \).

Resolução:

Primeiro vamos achar a derivada de \(y\).
Assim, \( y'=[\mathrm{sen}(3x)]'\) \(=(3x)'\cos (3x)\) \(=3\cos (3x)\).

Entretanto, a derivada de \(y\) para \( x=20°\) é igual a \( 3\cos (3\cdot 20°)\) \(=3\cos 60° \) \(= 3\cdot \frac{1}{2}\) \( =\frac{3}{2}\).

29. Qual o valor de \( k \) para o qual a função definida por \( f(x) \) é contínua.

Resolução:

Para que uma função \( f(x) \) seja contínua num ponto \( x=a\) é necessário e suficiente que \(\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) \).

Agora, visto que o ponto que suscita duvida é o ponto de abcissa \( x=0 \). Então, vamos fazer o teste de continuidade para esse ponto.

Assim, \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)\) \(= \displaystyle \lim_{x\to 0^-} 0 =0 \) e \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)\) \(= \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \ln (x+k)\) \(=\ln (0+k) \) = \( \ln k\) e \( f(0)=0 \).

Daí que \( 0=\ln k = 0 \).

De seguida vamos calcular o valor de \( k \).
\( \ln k=0 \) \( \Rightarrow k= e^0 \) \( \Rightarrow k=1 \).

Entretanto, o valor de \( k \) para o qual a dada função é contínua é \( k=1\).

30. Resolva a inequação: \( f(x)\lt \phi '(-1) \), se \( f(x)=x^2-3x+3 \) e \( \phi (x)=\frac{1}{2}x^2+2x \).

Resolução:

Vamos começar por determinar a primeira derivada de \( \phi (-1) \).
Para tal primeiro devemos achar \( \phi '(x)\):
\( \phi '(x) = (\frac{1}{2}x^2+2x)'\) \( =\frac{1}{2}\cdot 2x+2\) \(=x+2\).
Daí teremos que a primeira derivada de \(\phi (-1)\) é \(\phi '(-1)=-1+2\) \(=1\).

Agora substituindo o valor de \( \phi '(-1) \) na inequação \( f(x) \lt \phi '(-1)\) temos: \( x^2-3x+3 \lt 1\).

Em seguida vamos resolver esta inequação de a acharmos a solução:
\( x^2-3x+3 \lt 1\) \( \Rightarrow x^2-3x+3-1 \lt 0 \) \( \Rightarrow x^2-3x+2 \lt 0 \) \( \Rightarrow (x-2)(x-1) \lt 0 \).

Visto que a equação \( (x-2)(x-1) =0 \) tem como zeros \( x_1=1 \vee x_2=2\) então podemos esboçar o gráfico de modo a encontrarmos os valores de \( x\) para os quais a inequação se cumpre.

Entretanto, \( x\in ]1;2[ \).

31. Dada a função \( f(x)=\frac{x}{x^2+1} \) no intervalo \( x \in [0; +\infty[ \). Usando a derivada indique em qual dos pontos o gráfico tem um máximo.

Resolução:

\( f(x) \) tem o seu extremo no ponto de ordenada \(f(a)\) se \( f'(a)=0\).
Assim sendo, vamos iniciar por achar a primeira derivada da função \(f(x)\).
\( f'(x)=(\frac{x}{x^2+1})' \) \( = \frac{x'\cdot (x^2+1) -x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} \) \( = \frac{1\cdot (x^2+1) -x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} \) \( = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} \) \( = \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}\).

Agora, para que \( \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0\) é necessário que \( 1-x^2=0\). Logo basta encontrarmos os zeros desta equação quadrática para termos os extremos de \( f(x)\).
\( 1-x^2=0\) \( \Rightarrow (1-x)(1+x)=0 \) \( \Rightarrow 1-x=0 \vee 1+x=0 \) \( \Rightarrow x=1 \vee x=-1 \).

Em seguida vamos elaborar a tabela de sinais para determinarmos os intervais de monotonia e consequentemente o ponto máximo.

\begin{align*}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & ]-\infty; -1[ & -1 & ]-1;1[ & 1 & ]1;+\infty[ \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & Y_{min}=-\frac{1}{2} & \searrow & y_{máx}=\frac{1}{2} & \nearrow \\ \hline \end{align*}

Entretanto, o ponto máximo do gráfico é \( P(1;\frac{1}{2})\).

32. Na figura está representado o gráfico da função derivada de \( y=f(x) \). A função \( y=f(x) \) tem extremo(s) no(s) ponto(s) de abcissa:

Resolução:

Sabendo que as abcissas dos pontos extremos de uma função são os zeros da derivada dessa mesma função, então podemos afirmar categoricamente que a função \( y=f(x) \) tem extremos nos pontos de abcissa \( x=-1\) e \( x=3\).