Exame Resolvido UEM-2005 - 11-20

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11. Compare o perimetro $P$ da circunferência maior e a soma $S$ do perímetros das circunferências menores.

Resolução:

O perímetro da circunferência maior é dada por: $P=2\pi r$.

Na figura podemos notar que o raio de uma circunferência imediatamente menor que a outra é sempre a metade do raio daquela circunferência.
Assim, podemos escrever que:
$P_1=2\pi \frac{r}{2} = \pi r$
$P_2=2\pi \frac{r}{4} =\frac{\pi}{2}$
$P_3=2\pi \frac{r}{8}= \frac{\pi}{4}$.

Daí teremos que a soma das outras três circunferências será dada por: $S=\pi r+\frac{\pi r}{2}+\frac{\pi r}{4}$ $=\frac{4\pi r+2\pi r+\pi r}{4}$ $=\frac{7\pi r}{4}$.

Em seguida comparamos os valores de $P$ e $S$.
Se assumirmos que $P \gt S$, então $2\pi r \gt \frac{7\pi r}{4}$ $\Rightarrow 2 \gt \frac{7\pi r}{4\pi r}$ $\Rightarrow 2 \gt \frac{7}{4}$.
O que é verdade.

Entretanto, $P \gt S$.

12. As raízes da equação $(5x+5)^2=100$ são:

Resolução:

$(5x+5)^2=100$ $\Rightarrow 5x+5=\pm \sqrt{100}$ $\Rightarrow 5x+5= 10 \vee 5x+5=-10$ $\Rightarrow 5x=10-5 \vee 5x=-10-5$ $\Rightarrow x=\frac{5}{5} \vee x=\frac{-15}{5}$ $\Rightarrow x=1 \vee x=-3$.

Entretanto, as raízes da dada equação são $-3$ e $1$.

13. Resolva a equação $\cos^x =\frac{1}{4}$, sendo $x \in [\pi; \frac{3}{2}\pi]$.

Resolução:

$\cos^2 x=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ $\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \vee \cos x=\frac{1}{2}$.

Agora, visto que o ângulo $x$ pertence ao terceiro quadrante, o valor do cosseno deve ser negativo.
Assim, $\cos x = -\frac{1}{2}$ $=-\cos \frac{\pi}{3}$ $=\cos (\pi+\frac{\pi}{3})$ $=\cos \frac{4\pi}{3}$.

Entretanto, a solução da equação é $x=\frac{4\pi}{3}$.

14. Simplifique o número $8^{2-2\cdot \log_4{\sqrt[3]{3}}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{49}4}$.

Resolução:

$8^{2-2\cdot \log_4{\sqrt[3]{3}}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{49}4}$ $=(2^3)^{2-2\cdot \log_{2^2}{3^{\frac{1}{3}}}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{7^2}{2^2}}$ $=2^{3\cdot (2-2\cdot \frac{1}{2} \cdot\frac{1}{3} \cdot \log_2{3})}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \log_{7}2}$ $=2^{6- \log_2{3}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{7}2}$ $= 2^6 \cdot 2^{-\log_23}+\frac{1}{3}\cdot 2^{\log_77}$ $=64\cdot \frac{1}{2^{\log_23}}+\frac{1}{3}\cdot 2^1$ $=64\cdot \frac{1}{3^{\log_22}}+\frac{2}{3}$ $=\frac{64}{3}+\frac{2}{3}$ $=\frac{66}{3}$ $=22$.

15. Resolva a equação $\frac{x+5}{x-5}+\frac{x-5}{x+5}=\frac{10}{3}$.

Resolução:

Para resolvermos esta questão o primeiro passo é fazer mmc.
$\frac{x+5}{x-5}+\frac{x-5}{x+5}=\frac{10}{3}$ $\Rightarrow 3(x+5)(x+5)+3(x-5)(x-5)=10(x-5)(x+5)$ $\Rightarrow 3(x^2+10x+25)+3(x^2-10x+25)=10(x^2-25)$ $\Rightarrow 3x^2+30x+75+3x^2-30x+75=10x^2-250$ $\Rightarrow 10x^2-250=6x^2+150$ $\Rightarrow 10x^2-6x^2=150+250$ $\Rightarrow 4x^2=400$ $\Rightarrow x^2=100$ $\Rightarrow x=\pm \sqrt{100}$ $\Rightarrow x=\pm 10$.

Entretanto, a equação tem como soluções $x=\{-10;10\}$.

16. Escreva o termo geral da sucessão que se segue: $\{2; 5; 8; 11;... \}$

Resolução:

Para determinar o termo geral de uma sucessão primeiro devemos verificar se ela é uma Progressão Aritmética ou Geométrica.

Verificado se trata-se de um P.A.:
A caracterista de uma Progressão Aritmética é que ela tem como constante a diferença entre dois termos consecutivos.
Assim, $5-2=8-5=11-8=3$. Logo, a sucessão dada é uma P.A.

A equação do termo geral de uma Progressão Aritmética é $a_n=a_1+(n-1)d$. Onde $d$ é a diferença.
Entretanto, $a_n=2+(n-1)\cdot 3$ $=2+3n-3$ $=3n-1$.

17. Calcule a soma de todos os termos da sucessão $6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; ...$

Resolução:

Como na questão anterior devemos começar por examinar se a sequência é uma P.A. ou P.G.
Claramente pode ser dito que a progressão não é aritmética. Então, basta testar se é geométrica ou não.
Uma Progressão Geométrica é aquela em que a razão entre dois termos consecutivos é igual.
Assim, $\frac{4}{6}=\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{\frac{16}{9}}{\frac{8}{3}}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{16}{9}\cdot \frac{3}{8}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.
Logo, a progressão é geométrica, porque a razão é constante.

Agora, sabendo que a equação da soma de todos os termos de uma progressão geométrica infinita é dada por $S=\frac{a_1}{1-q}$.
Então, $S=\frac{6}{1-\frac{2}{3}}$ $=\frac{6}{\frac{3-2}{3}}$ $=\frac{6}{\frac{1}{3}}$ $=6\cdot 3$ $=18$.

Entretanto, a soma dos termos desta sequência geométrica infinita é $18$.

18. Já figura está representada a função $y=f(x)$. Qual das expressões analíticas corresponde a representação gráfica.

Resolução:

Vamos examinar cada uma das alternativas.
A) Esta alternativa esta errada porque a distribuição dos conjuntos a que a variável $x$ pertence não faz sentido. Se $x\in I\!\!R$ para a primeira expressão, então não podemos ter mais outras expressões.

B) Se repararmos bem a terceiro expressão é quadrática, mas não é o que podemos encontrar gráfico no respectivo intervalo. Daí, esta alternativa tambem é incorrecta.

C) Nesta alternativa repete-se o caso da primeira, o valor $x=1$ pertence a dois intervais diferentes que representam expressões diferentes. Sendo assim, a alternativa não esta correcta.

D) Esta é a alternativa correcta. Nem precisa explicar porque!!!

19. A recta $y=3x$ é tangente ao gráfico de uma certa função $f$, no ponto de abcissa $x=1$. Qual das seguintes expressões pode definir a função $f$?

Resolução:

Uma recta $y=ax+b$ é tangente à uma certa função $f(x)$ no ponto $x=x_0$ se e somente se $f'(x_0)=a$.

Agora vamos avaliar cada alternativa com base na afirmação acima.
A) Se $f(x)=x^2+2x+1$ então $f'(x)=2x+2$ o que implica que $f'(1)=2\cdot 1+2=4\ne 3$. Logo esta alternativa é incorrecta.

B) $f(x)=x^2+3x$ $\Rightarrow f'(x)=2x+3$ $\Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+3=5\ne 3$. Esta alternativa tambem não esta correcta.

C) $f(x)=x^2+x+1$ $\Rightarrow f'(x)=2x+1$ $\Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+1=3$. Logo esta é a alternativa correcta.

D) $f(x)=x^2+3x+1$ $\Rightarrow f'(x)=2x+3$ $\Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+3=5\ne 3$. Alternativa errada.

20. A solução da inequação é $|x+1| \lt 0,01$ é:

Resolução:

$|x+1| \lt 0,01$ $\Rightarrow x+1 \lt 0,01 \wedge -(x+1) \lt 0,01$ $\Rightarrow x \lt 0,01-1 \wedge -x-1 \lt 0,01$ $\Rightarrow x\lt -0,99 \wedge -x \lt 0,01+1$ $\Rightarrow x\lt -0,99 \wedge x \gt -1,01$ $\Rightarrow -1,01\lt x \lt -0,99$.

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