Exame Resolvido UEM-2005 - 11-20
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Na figura podemos notar que o raio de uma circunferência imediatamente menor que a outra é sempre a metade do raio daquela circunferência.
Assim, podemos escrever que:
\( P_1=2\pi \frac{r}{2} = \pi r \)
\( P_2=2\pi \frac{r}{4} =\frac{\pi}{2} \)
\( P_3=2\pi \frac{r}{8}= \frac{\pi}{4} \).
Daí teremos que a soma das outras três circunferências será dada por: \( S=\pi r+\frac{\pi r}{2}+\frac{\pi r}{4} \) \( =\frac{4\pi r+2\pi r+\pi r}{4} \) \( =\frac{7\pi r}{4} \).
Em seguida comparamos os valores de \( P \) e \( S \).
Se assumirmos que \( P \gt S \), então \( 2\pi r \gt \frac{7\pi r}{4} \) \( \Rightarrow 2 \gt \frac{7\pi r}{4\pi r} \) \( \Rightarrow 2 \gt \frac{7}{4} \).
O que é verdade.
Entretanto, \( P \gt S \).
Entretanto, as raízes da dada equação são \( -3 \) e \( 1 \).
Agora, visto que o ângulo \( x \) pertence ao terceiro quadrante, o valor do cosseno deve ser negativo.
Assim, \( \cos x = -\frac{1}{2} \) \( =-\cos \frac{\pi}{3} \) \( =\cos (\pi+\frac{\pi}{3}) \) \( =\cos \frac{4\pi}{3} \).
Entretanto, a solução da equação é \( x=\frac{4\pi}{3} \).
\( \frac{x+5}{x-5}+\frac{x-5}{x+5}=\frac{10}{3} \) \( \Rightarrow 3(x+5)(x+5)+3(x-5)(x-5)=10(x-5)(x+5) \) \( \Rightarrow 3(x^2+10x+25)+3(x^2-10x+25)=10(x^2-25) \) \( \Rightarrow 3x^2+30x+75+3x^2-30x+75=10x^2-250 \) \( \Rightarrow 10x^2-250=6x^2+150 \) \( \Rightarrow 10x^2-6x^2=150+250 \) \( \Rightarrow 4x^2=400 \) \( \Rightarrow x^2=100 \) \( \Rightarrow x=\pm \sqrt{100} \) \( \Rightarrow x=\pm 10 \).
Entretanto, a equação tem como soluções \( x=\{-10;10\} \).
Verificado se trata-se de um P.A.:
A caracterista de uma Progressão Aritmética é que ela tem como constante a diferença entre dois termos consecutivos.
Assim, \(5-2=8-5=11-8=3\). Logo, a sucessão dada é uma P.A.
A equação do termo geral de uma Progressão Aritmética é \( a_n=a_1+(n-1)d \). Onde \( d \) é a diferença.
Entretanto, \( a_n=2+(n-1)\cdot 3 \) \( =2+3n-3 \) \( =3n-1 \).
Claramente pode ser dito que a progressão não é aritmética. Então, basta testar se é geométrica ou não.
Uma Progressão Geométrica é aquela em que a razão entre dois termos consecutivos é igual.
Assim, \( \frac{4}{6}=\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{\frac{16}{9}}{\frac{8}{3}} \) \(\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{16}{9}\cdot \frac{3}{8} \) \( \Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \).
Logo, a progressão é geométrica, porque a razão é constante.
Agora, sabendo que a equação da soma de todos os termos de uma progressão geométrica infinita é dada por \( S=\frac{a_1}{1-q} \).
Então, \( S=\frac{6}{1-\frac{2}{3}} \) \( =\frac{6}{\frac{3-2}{3}} \) \( =\frac{6}{\frac{1}{3}} \) \( =6\cdot 3 \) \( =18 \).
Entretanto, a soma dos termos desta sequência geométrica infinita é \(18\).
A) Esta alternativa esta errada porque a distribuição dos conjuntos a que a variável \(x\) pertence não faz sentido. Se \(x\in I\!\!R \) para a primeira expressão, então não podemos ter mais outras expressões.
B) Se repararmos bem a terceiro expressão é quadrática, mas não é o que podemos encontrar gráfico no respectivo intervalo. Daí, esta alternativa tambem é incorrecta.
C) Nesta alternativa repete-se o caso da primeira, o valor \(x=1\) pertence a dois intervais diferentes que representam expressões diferentes. Sendo assim, a alternativa não esta correcta.
D) Esta é a alternativa correcta. Nem precisa explicar porque!!!
Agora vamos avaliar cada alternativa com base na afirmação acima.
A) Se \( f(x)=x^2+2x+1 \) então \( f'(x)=2x+2 \) o que implica que \( f'(1)=2\cdot 1+2=4\ne 3\). Logo esta alternativa é incorrecta.
B) \( f(x)=x^2+3x \) \( \Rightarrow f'(x)=2x+3 \) \( \Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+3=5\ne 3 \). Esta alternativa tambem não esta correcta.
C) \( f(x)=x^2+x+1 \) \( \Rightarrow f'(x)=2x+1 \) \( \Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+1=3 \). Logo esta é a alternativa correcta.
D) \( f(x)=x^2+3x+1 \) \( \Rightarrow f'(x)=2x+3 \) \( \Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+3=5\ne 3 \). Alternativa errada.
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11. Compare o perimetro \( P \) da circunferência maior e a soma \( S \) do perímetros das circunferências menores.
Resolução:
O perímetro da circunferência maior é dada por: \( P=2\pi r \).Na figura podemos notar que o raio de uma circunferência imediatamente menor que a outra é sempre a metade do raio daquela circunferência.
Assim, podemos escrever que:
\( P_1=2\pi \frac{r}{2} = \pi r \)
\( P_2=2\pi \frac{r}{4} =\frac{\pi}{2} \)
\( P_3=2\pi \frac{r}{8}= \frac{\pi}{4} \).
Daí teremos que a soma das outras três circunferências será dada por: \( S=\pi r+\frac{\pi r}{2}+\frac{\pi r}{4} \) \( =\frac{4\pi r+2\pi r+\pi r}{4} \) \( =\frac{7\pi r}{4} \).
Em seguida comparamos os valores de \( P \) e \( S \).
Se assumirmos que \( P \gt S \), então \( 2\pi r \gt \frac{7\pi r}{4} \) \( \Rightarrow 2 \gt \frac{7\pi r}{4\pi r} \) \( \Rightarrow 2 \gt \frac{7}{4} \).
O que é verdade.
Entretanto, \( P \gt S \).
12. As raízes da equação \( (5x+5)^2=100 \) são:
Resolução:
\( (5x+5)^2=100 \) \( \Rightarrow 5x+5=\pm \sqrt{100} \) \( \Rightarrow 5x+5= 10 \vee 5x+5=-10 \) \( \Rightarrow 5x=10-5 \vee 5x=-10-5 \) \( \Rightarrow x=\frac{5}{5} \vee x=\frac{-15}{5} \) \( \Rightarrow x=1 \vee x=-3\).Entretanto, as raízes da dada equação são \( -3 \) e \( 1 \).
13. Resolva a equação \( \cos^x =\frac{1}{4} \), sendo \( x \in [\pi; \frac{3}{2}\pi] \).
Resolução:
\( \cos^2 x=\frac{1}{4} \) \( \Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{\frac{1}{4}} \) \( \Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \vee \cos x=\frac{1}{2} \).Agora, visto que o ângulo \( x \) pertence ao terceiro quadrante, o valor do cosseno deve ser negativo.
Assim, \( \cos x = -\frac{1}{2} \) \( =-\cos \frac{\pi}{3} \) \( =\cos (\pi+\frac{\pi}{3}) \) \( =\cos \frac{4\pi}{3} \).
Entretanto, a solução da equação é \( x=\frac{4\pi}{3} \).
14. Simplifique o número \( 8^{2-2\cdot \log_4{\sqrt[3]{3}}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{49}4} \).
Resolução:
\( 8^{2-2\cdot \log_4{\sqrt[3]{3}}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{49}4} \) \( =(2^3)^{2-2\cdot \log_{2^2}{3^{\frac{1}{3}}}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{7^2}{2^2}} \) \( =2^{3\cdot (2-2\cdot \frac{1}{2} \cdot\frac{1}{3} \cdot \log_2{3})}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \log_{7}2} \) \( =2^{6- \log_2{3}}+\frac{1}{3}\cdot 7^{\log_{7}2} \) \( = 2^6 \cdot 2^{-\log_23}+\frac{1}{3}\cdot 2^{\log_77} \) \( =64\cdot \frac{1}{2^{\log_23}}+\frac{1}{3}\cdot 2^1 \) \( =64\cdot \frac{1}{3^{\log_22}}+\frac{2}{3} \) \( =\frac{64}{3}+\frac{2}{3} \) \( =\frac{66}{3} \) \( =22 \).15. Resolva a equação \( \frac{x+5}{x-5}+\frac{x-5}{x+5}=\frac{10}{3} \).
Resolução:
Para resolvermos esta questão o primeiro passo é fazer mmc.\( \frac{x+5}{x-5}+\frac{x-5}{x+5}=\frac{10}{3} \) \( \Rightarrow 3(x+5)(x+5)+3(x-5)(x-5)=10(x-5)(x+5) \) \( \Rightarrow 3(x^2+10x+25)+3(x^2-10x+25)=10(x^2-25) \) \( \Rightarrow 3x^2+30x+75+3x^2-30x+75=10x^2-250 \) \( \Rightarrow 10x^2-250=6x^2+150 \) \( \Rightarrow 10x^2-6x^2=150+250 \) \( \Rightarrow 4x^2=400 \) \( \Rightarrow x^2=100 \) \( \Rightarrow x=\pm \sqrt{100} \) \( \Rightarrow x=\pm 10 \).
Entretanto, a equação tem como soluções \( x=\{-10;10\} \).
16. Escreva o termo geral da sucessão que se segue: \( \{2; 5; 8; 11;... \} \)
Resolução:
Para determinar o termo geral de uma sucessão primeiro devemos verificar se ela é uma Progressão Aritmética ou Geométrica.Verificado se trata-se de um P.A.:
A caracterista de uma Progressão Aritmética é que ela tem como constante a diferença entre dois termos consecutivos.
Assim, \(5-2=8-5=11-8=3\). Logo, a sucessão dada é uma P.A.
A equação do termo geral de uma Progressão Aritmética é \( a_n=a_1+(n-1)d \). Onde \( d \) é a diferença.
Entretanto, \( a_n=2+(n-1)\cdot 3 \) \( =2+3n-3 \) \( =3n-1 \).
17. Calcule a soma de todos os termos da sucessão \( 6; 4; \frac{8}{3}; \frac{16}{9}; ... \)
Resolução:
Como na questão anterior devemos começar por examinar se a sequência é uma P.A. ou P.G.Claramente pode ser dito que a progressão não é aritmética. Então, basta testar se é geométrica ou não.
Uma Progressão Geométrica é aquela em que a razão entre dois termos consecutivos é igual.
Assim, \( \frac{4}{6}=\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{\frac{16}{9}}{\frac{8}{3}} \) \(\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{16}{9}\cdot \frac{3}{8} \) \( \Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \).
Logo, a progressão é geométrica, porque a razão é constante.
Agora, sabendo que a equação da soma de todos os termos de uma progressão geométrica infinita é dada por \( S=\frac{a_1}{1-q} \).
Então, \( S=\frac{6}{1-\frac{2}{3}} \) \( =\frac{6}{\frac{3-2}{3}} \) \( =\frac{6}{\frac{1}{3}} \) \( =6\cdot 3 \) \( =18 \).
Entretanto, a soma dos termos desta sequência geométrica infinita é \(18\).
18. Já figura está representada a função \( y=f(x) \). Qual das expressões analíticas corresponde a representação gráfica.
Resolução:
Vamos examinar cada uma das alternativas.A) Esta alternativa esta errada porque a distribuição dos conjuntos a que a variável \(x\) pertence não faz sentido. Se \(x\in I\!\!R \) para a primeira expressão, então não podemos ter mais outras expressões.
B) Se repararmos bem a terceiro expressão é quadrática, mas não é o que podemos encontrar gráfico no respectivo intervalo. Daí, esta alternativa tambem é incorrecta.
C) Nesta alternativa repete-se o caso da primeira, o valor \(x=1\) pertence a dois intervais diferentes que representam expressões diferentes. Sendo assim, a alternativa não esta correcta.
D) Esta é a alternativa correcta. Nem precisa explicar porque!!!
19. A recta \( y=3x \) é tangente ao gráfico de uma certa função \( f \), no ponto de abcissa \( x=1 \). Qual das seguintes expressões pode definir a função \( f \)?
Resolução:
Uma recta \( y=ax+b\) é tangente à uma certa função \(f(x)\) no ponto \(x=x_0\) se e somente se \( f'(x_0)=a\).Agora vamos avaliar cada alternativa com base na afirmação acima.
A) Se \( f(x)=x^2+2x+1 \) então \( f'(x)=2x+2 \) o que implica que \( f'(1)=2\cdot 1+2=4\ne 3\). Logo esta alternativa é incorrecta.
B) \( f(x)=x^2+3x \) \( \Rightarrow f'(x)=2x+3 \) \( \Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+3=5\ne 3 \). Esta alternativa tambem não esta correcta.
C) \( f(x)=x^2+x+1 \) \( \Rightarrow f'(x)=2x+1 \) \( \Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+1=3 \). Logo esta é a alternativa correcta.
D) \( f(x)=x^2+3x+1 \) \( \Rightarrow f'(x)=2x+3 \) \( \Rightarrow f'(1)=2\cdot 1+3=5\ne 3 \). Alternativa errada.
20. A solução da inequação é \( |x+1| \lt 0,01 \) é:
Resolução:
\( |x+1| \lt 0,01 \) \( \Rightarrow x+1 \lt 0,01 \wedge -(x+1) \lt 0,01 \) \( \Rightarrow x \lt 0,01-1 \wedge -x-1 \lt 0,01 \) \( \Rightarrow x\lt -0,99 \wedge -x \lt 0,01+1 \) \( \Rightarrow x\lt -0,99 \wedge x \gt -1,01 \) \( \Rightarrow -1,01\lt x \lt -0,99 \).Ir para:1-10
Estava precisando da resolucao, de 22 ate 32. Urgente. Do exame 2005
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